（Uniswap）常数乘积公式的另类理解

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一. Uniswap的常数乘积公式简介

　　Uniswap的常数乘积公式，是指：x * y = k，其中 x是资产tokenX的数量，y是资产tokenY的数量，k是一个常数（每个池子仅包含两个资产tokenX和tokenY）。\ 　　下图表显示了恒定乘积公式的图形，其中x是tokenX的数量，y是池中tokenY的数量，曲线上点的斜率是现货价格。\ 　　备注：上文所指的“常数”，是指每次发生买入或者卖出时，交易的前后该值k保持不变。在添加流动性或者退出流动性时k将发生变化。

　　现在用一个例子来解释。（以下计算不考虑手续费）\ 　　假设某一时刻AVAX 的价格为100 USDC一个， AVAX/USDC 池由 20 个 AVAX 和 2000 个 USDC 组成。因为 20 AVAX 相当于 2000 USDC，所以资产价值的比例是 1:1。那么使用常数乘积公式，我们得到 k = 20 * 2000 = 40000。\ 　　这个数字在兑换期间保持不变，只有在增加更多流动性时才会改变。\ 　　现在假设 Alice 想要售出 5 个 AVAX。她会得到多少USDC作为回报？\ 　　重新计算 y 的公式，我们得到 y = k/x。所以兑换后池中的 USDC 数量为 y = 40000 / (20+5) = 1600 USDC。所以 Alice 用 5 个 AVAX 收到了 400 USDC。\ 　　该池现在包括 25 AVAX 和 1600 USDC。AVAX 的现货价格现在从 100 USDC 变为 1600/25 = 64 (USDC/个)。\ 　　该交易对池子内AVAX的价格影响为 (64-100) / 100 = -36%。\ 　　而Alic实际的平均售出价格为400 / 5 = 80 (USDC/个)。

二. 本人对常数乘机公式的另类业务理解

　　以下内容均是基于小学三年级数学知识的个人脑补，未与其他官方材料佐证，仅供学习交流。 \ 　　想象一下，你是一个交易对AVAX/USDC的管理员，目前你的库存中拥有20个AVAX和2000个USDC，但是作为管理员，你无法获知外部世界对AVAX与USDC的定价信息。此时，对你来说，AVAX与USDC的价值是相等的，因此存在等式20 * price0 = 2000，此时price0 = 100。\ 　　当某一时刻，一个外部用户Alice试图用 5 个 AVAX 与你交易，即该用户向你出售AVAX。整个流程应该是这样的：\ 　　1. Alice给你5个AVAX;\ 　　2. 你计算需要给Alic多少USDC;\ 　　3. 你将相应USDC的数量给到Alice;\ 　　4. OVER.

　　这里的步骤b，你应该如何计算呢，因为你无法从其他渠道获取额外信息为AVAX和USDC定价，此时若认为仓库内的两种代币的总价值仍然相等，也不失为一种合理的设定，基于此设定，那么存在等式(20 + 5) * price1 = 2000，此时price1 = 80，则按此价格计算需要给出去的USDC的数量为80 * 5 = 400。计算结果与前面根据常数乘机公式计算的结果相同。

　　现在看看基于这个场景，是否能够推出与"常数乘机公式"一样的数学公式x*y=k：

1. 设流动性池子内原先两个代币AVAX、USDC的数量分别为x、y，基于"设定"两种代币的价值相等，则此时存在某个价格price0，满足x * price0 = y;
2. 当外部用户向池子出售AVAX时，若出售数量为m，基于"设定"两种代币的价值相等，则此时存在新的价格price1，满足( x + m ) * price1 = y;
3. 新的price1价格值为：price1 = y / ( x + m ), 基于新价格计算需要支付给用户USDC的数量为y / ( x + m ) * m;
4. 向用户支付USDC之后，池子内剩余USDC数量为y - (y / ( x + m ) * m);
5. 按照常数乘机公式，此时 k = (x + m) * (y - (y / ( x + m ) * m)), 该式子化简步骤如下：

k = (x + m) * (y - (y / ( x + m ) * m))
  = x * (y - (y / ( x + m ) * m)) + m * (y - (y / ( x + m ) * m))
  = x*y - x*(y / ( x + m ) * m) + m*y - m*(y / ( x + m ) * m)
  = x*y - x*y/(x+m)*m + m*y - m*y/(x+m)*m
  = x*y - m*x*y/(x+m) + m*y - m*m*y/(x+m)
  = x*y + m*y - (m*x*y+m*m*y)/(x+m)
  = x*y + m*y - m*y*(x+m)/(x+m)
  = x*y + m*y - m*y
  = x*y

　　当将出售AVAX换成购买AVAX时，结果一样，只是m值是一个负数。基于该场景流程，交易前后k的值没有发生变化。\ 　　由此可见，基于下面的"设定"与uniswap的常数乘积公式完全契合：\ 　　当需要[流动池]来计算其中一种代币应该增加或减少的数量时，此时按照“两种代币的价值相等”的原则进行计算即可。\ 　　另：添加流动性池子时，首次添加，池子是空的，由添加人随意设定比例；后续添加时，两种代币的数量比例应该与池子内已有的比例保持一致。