深入解析 Uniswap V2 的手续费计算：公式推导与代码详解

Uniswap V2 的手续费计算

1. 通过增发 share 的方式把手续费给项目方

$$ x \cdot y = k $$

$$ L = \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{k} $$

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$

求 Sm

我们需要从方程

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$ 中解出 Sm。

解题步骤

1. 整理方程：

   从方程中我们可以得到： $$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$

2. 交叉相乘：

   将分数的两边交叉相乘，得到： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot (Sm + S1) $$

3. 展开右侧：

   展开右侧的括号： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm + (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

4. 将 ( Sm ) 相关项移到一边：

   将含 ( Sm ) 的项移到方程的一侧： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

5. 提取 ( Sm )：

   提取 ( Sm )： $$ Sm \cdot (\sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})) = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 简化括号中的表达式： $$ \sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) = \sqrt{k1} $$ 所以： $$ Sm \cdot \sqrt{k1} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

6. 解出 Sm ：

   通过除以$\sqrt{k1}$解出Sm：

   $$ Sm = \frac{(\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k1}} $$

最终结果

$$ Sm = \frac{(\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k1}} $$

2. 通过使 S1 增值的方式把手续费给 LP

原来 S1 => $\sqrt{k1}$

现在 S1 = $\sqrt{k2}$

增值比例 $$ \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}} $$ LP Token

1 LPT => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ $\sqrt{k2}$ > $\sqrt{k1}$

1 LPT => 1 token A => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ token A

1 LPT => 1 token B => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ token B

3. 项目方想分走手续费里的一定比例，该比例用 $\Phi$ 表示

Uniswap V2 的手续费计算

增值又增发

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$

求 Sm

我们通过以下步骤来推导：

原始公式

原始公式是：

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$

交叉相乘

首先，将公式两边交叉相乘以消除分母：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot (Sm + S1) $$

展开和重新排列

展开右侧的表达式：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm + \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 将包含 ( Sm ) 的项移到一边：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} - \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 提取 ( Sm )：

$$ Sm \cdot \left(\sqrt{k2} - \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})\right) = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

简化

分母部分可以简化为：

$$ \sqrt{k2} - \phi \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 进一步简化为：

$$ \left(1 - \phi\right) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$

求解 ( Sm )

将分母形式替换回公式中，得到：

$$ Sm = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\left(1 - \phi\right) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}} $$

将分母部分进行化简

我们需要将分母部分调整成适当的形式。可以通过对分母进行重新表达来实现这一点：

$$ (1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 首先，我们从分母部分开始：

$$ (1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 为了将其变形为$ \frac{1}{\phi} - 1$ 的形式，我们可以使用以下变换：

1. 计算 $\frac{1}{\phi} - 1$:

这两个表达式相等的原因可以通过简单的代数变换来解释。我们将证明以下等式：

$$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1 - \phi}{\phi} $$

证明过程

1. 开始于左侧表达式:

   $$ \frac{1}{\phi} - 1 $$

2. 将 1 变成分母为 $\phi$的分数:

   我们知道 1 可以写成 $\frac{\phi}{\phi}$。因此，我们有：

   $$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1}{\phi} - \frac{\phi}{\phi} $$

3. 合并分数:

   为了合并这两个分数，我们需要它们具有相同的分母。现在它们都有分母 (\phi)，可以合并为一个分数：

   $$ \frac{1 - \phi}{\phi} $$

总结

通过代数变换，我们可以看到：

$$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1 - \phi}{\phi} $$ 这说明这两个表达式是相等的。 $$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1 - \phi}{\phi} $$

将这个变换应用到分母中，得到：

$$ \frac{(1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}}{\phi}\ \frac{(1 - \phi) \cdot \sqrt{k2}}{\phi} + \frac{\phi}{\phi} \cdot \sqrt{k1}\ \ \left(\frac{1 - \phi}{\phi}\right) \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1} $$

注意：整理后推导过程

从给定的公式推导

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$ 以下是详细的推导过程：

1. 开始从等式：

   $$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$

2. 将分母统一：

   我们可以将分数两边的 ( Sm + S1 ) 移到右边：

   $$ Sm = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} \cdot (Sm + S1) $$

3. 展开右边的表达式： $$ Sm = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm}{\sqrt{k2}} + \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k2}} $$

4. 将含有 ( Sm ) 的项移到等式的一边：

   $$ Sm - \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm}{\sqrt{k2}} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k2}} $$

5. 合并 ( Sm ) 的项：

   $$ Sm \left(1 - \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}}\right) = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k2}} $$

6. 简化分母： $$ \begin{align} 1 - \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} &= \frac{\sqrt{k2} - \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} \

   \ &= \frac{\sqrt{k2} - \phi \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} \

   \ &= \frac{(1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} \end{align} $$

7. 代入分母并进一步简化：

   将分母代入到 ( Sm ) 的公式中：

   $$ Sm = \frac{\frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k2}}}{\frac{(1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}}}

   = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{(1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}} $$

8. 将分子分母同时除以$\phi$：

   $$ Sm = \frac{\frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\phi}}{\frac{\left(1 - \phi\right) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}}{\phi}} $$ 然后我们将分子分母约去$\phi$得到目标公式： $$ Sm = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\left(\frac{1}{\phi} - 1\right) \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1}} \cdot S1 $$

因此，通过上述推导，我们可以得出目标公式。即最终公式是： $$ Sm = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\left(\frac{1}{\phi} - 1\right) \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1}} \cdot S1 $$ 这是正确的公式，可以用于计算 ( Sm )。 $$ \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{(\frac{1}{\phi} - 1) \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1}} \cdot S1 $$

并求当 $\phi$ 等于$\frac{1}{6}$ 时，Sm 的表达式：

当$ \phi = \frac{1}{6}$ 时，我们可以将 $\phi$代入公式进行求解。首先，将 $\phi = \frac{1}{6}$ 代入公式：

$$ Sm = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\left(\frac{1}{\phi} - 1\right) \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1}} \cdot S1 $$ 代入 $\phi = \frac{1}{6}$ 后，我们先计算 $\frac{1}{\phi}$：

$$ \frac{1}{\phi} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $$ 然后计算 $\frac{1}{\phi} - 1$：

$$ \frac{1}{\phi} - 1 = 6 - 1 = 5 $$ 将这些值代入原公式中，我们得到：

$$ Sm = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{5 \cdot \sqrt{k2} + \sqrt{k1}} \cdot S1 $$ 这是当$ \phi = \frac{1}{6}$ 时的 (Sm) 表达式。

这也就是 Uniswap V2 的手续费计算公式

更多详情可参考Uniswap V2 白皮书：https://uniswap.org/whitepaper.pdf

https://www.rareskills.io/post/uniswap-v2-mintfee

这是 Uniswap V2 源码对手续费的计算

https://github.com/Uniswap/v2-core/blob/master/contracts/UniswapV2Pair.sol

feeTo 是从工厂合约中获取的费用接收地址。如果地址不是零地址，则说明费用开启。

虽然函数中没有使用显式的 return 语句，feeOn 变量作为返回值在函数结尾处隐式返回。你可以依赖函数 _mintFee 的返回值来确定费用是否启用。

目前这个收手续费的开关是关闭的，其实是把所有的手续费给了 LP

这个手续费是在添加和移除流动性的时候收取

每次添加移除都会带来总量的mint或者是 burn

Uniswap V2 的设计目标是将 1/6 的手续费计入协议。由于手续费为 0.3%，其 1/6 为 0.05%，因此每笔交易的 0.05% 将计入协议。

因此，当流动性提供者调用burn 或 mint时，就会收取费用。由于这些操作与交换 token相比并不频繁，因此可以节省 gas。为了收取 mintFee ，合约会计算自上次发生以来收取的费用金额，并向受益人地址铸造足够的 LP 代币，以使受益人有权获得 1/6 的费用。

可以使用feeOn标志来开启或关闭费用,但是此功能从未真正启用过。

feeOn = feeTo != address(0);：如果 feeTo 不等于零地址 (address(0))，则 feeOn 为 true，表示启用了费用；否则，feeOn 为 false，表示费用未启用。

参考

• https://github.com/Uniswap/v2-core/blob/master/contracts/UniswapV2Pair.sol
• https://www.rareskills.io/post/uniswap-v2-mintfee
• https://github.com/Uniswap/v2-periphery
• https://jeiwan.net/posts/programming-defi-uniswapv2-1/
• https://uniswap.org/
• https://app.uniswap.org/explore
• https://www.coinbase.com/zh-cn/learn/crypto-basics/what-is-uniswap
• https://github.com/qiaopengjun5162/V2-Core-08