技术详解 | Divide and Conquer：ZK除法中隐藏的漏洞

ZK的崛起与演变

曾几何时，零知识证明（以下简称ZK）仍然被认为是密码学教科书中的理论概念，至少在传统安全研究中很少被主流社群深入探索。然而在Web3.0领域，区块链技术的迅速发展，用短短几年时间实现了ZK从理论到实践的跨越式进展，一路蓬勃，高歌猛进。

1985年诞生，2014年ZCash才用SNARKs证明了ZK不仅是书本上的传说，也是实打实的“江湖绝学”，2019年开始，随着zkSync和Polygon的崛起，ZK从隐私保护的小众技术，摇身一变成了区块链扩展性问题的关键。到了2022年，Tornado Cash轰然倒下，美国财政部的制裁引发了一场关于隐私与自由的广泛讨论，也让ZK成为了茶余饭后的热门话题。2023年起，随着PLONK、Halo2等新型ZK协议的成熟，ZK技术在区块链领域高速发展，成为Web3.0的新宠。

ZK的崛起不仅仅是因为它在区块链世界中的广泛应用，也与这些年来不断创新的开发工具密不可分。尽管这些工具的核心目标都是将代码逻辑电路化，但几年间，从最初合约级应用的Circom，到链上层为性能优化推出的EVM兼容或等价的zkVM，更新速度之快令人目不暇接，甚至连应用生态脚步都还没稳住，下一次升级迭代已呼啸而至。

ZK原理概述

想理解ZK，可以从其共性的漏洞入手。在传统安全里有个经验：直接分析代码逻辑来理清全局往往难度极大，有时不如跑个crash看dump来得直观，也就是通过漏洞回溯代码的方式去理解内在逻辑。

初识ZK，可能会被各种专有名词包围 — SNARK、STARK、PLONK、QAP、R1CS、Groth16。这些名词乍听还可理解，一旦深入探究，就会发现背后需要扎实的数学功底。所以，很多介绍ZK的内容，要么是光彩夺目的概念科普，要么是晦涩难懂的协议分析，仿佛置身于一片高深莫测的领域。今天这篇文章，希望能带给你一种不同的体验。我们将从一个简单的除法证明问题出发，从工程实践的角度带你走近ZK的世界线。

在我们讨论后续问题之前，我们先用一个实践向的直观视角来解释一下ZK，以便后续讨论时有一个共同的基础。在智能合约和区块链中应用ZK技术解决的核心问题是如何在不暴露答案本身的情况下，证明自己知道这个正确的答案，例如一个多项式方程的解。越过原理，只想说目前有成熟方法能够实现这个目标：首先，将一个复杂的问题通过多个仅涉及乘法和加法的简单问题加以描述；然后，将这些简单问题转换为矩阵和代表正解的witness相乘的形式；接下来，将矩阵转化为verification-key；同时，witness则进一步转换为proof。

简而言之：一个复杂问题被转化为一组特定的key，而答案被分解为多个witness，最终演变为proof；proof能够用verification-key以固定的算法验证。一方面验证成功说明生成proof的人确实知道问题的正确答案，另一方面通过proof却无法反推出原解，保护了隐私。这一验证过程可以用于提款的同时不暴露存款凭证；也可以用于证明一个transaction引发的合约代码执行结果的真实性，进而用短proof代替多人执行transaction造成的资源消耗。

约束挑战

由于ZK所有相关计算都在椭圆曲线上进行，只有加法和乘法是直接定义的。要证明一个复杂问题，必须将其拆解成包含这些基本运算的简单子问题，即电路化。电路化的过程也是目前出问题最多的地方。 

拆分出来的简单的子问题被称为“约束”，它们联立后必须与原始复杂问题等效。如果某个约束缺失，可能导致构造出符合所有约束但不是正确答案的witness，从而伪造证明。这些伪造的证明仍然能够通过verification-key的检查，带来一系列严重后果：如合约级别的双重支付、或者zkVM级别的修改计算中间结果等。另一方面，若约束过于严格，超出了原问题的需求，则可能导致无法找到合适的witness，进而导致交易无法被证明，造成链级别的拒绝服务攻击或合约应用的功能失效。第一种利用欠约束伪造证明看起来更有趣，它相当于直接控制了执行过程，类比于传统安全漏洞利用时的控PC指针。

除法的案例分析

下面就来看一个简单的除法问题在ZK的语境下该怎么约束，又能惹出多少乱子。

设想如下场景，zkVM在运行时，执行了一个a除以b的运算，且我们要证明商是q，余数是r。在这里，a、b、q、r都是witness，我们需要确保它们满足除法的约束。假设a和b已经由前序执行过程约束确定，我们仅关注q和r的约束。直觉上，既然a=b*q+r是除法的乘法表达形式，是不是一个约束多项式就够用了呢？绝对不是！在实际的工程实现中，情况要复杂得多。例如，zkSync曾经的除法验证过程涉及的代码如下：

首先，a（src0_view）和b（src1_view）通过allocate_div_result_unchecked计算出q和r，这部分仅仅是算数运算，先验地根据a和b求出作为witness的q和r，不涉及约束。

出于优化考虑，zkSync将乘法和除法放在同一个函数里进行约束，所以接下来是根据乘或除，通过带有约束的选择器取出要约束的变量，即r、q、**b、a，并增加乘法约束MulDivRelation*，也就是要求a=b\q+r。

MulDivRelation的乘法约束在指令循环即将结束前才由enforce_mul_relation函数施加。然而，由于zkSync选择了Goldilock域（域阶为0xffffffff00000001），这个域空间并不足以表示所有的uint64类型数据。因此，uint256需要分解成八个uint32来记录。为了处理这部分的乘法，系统采用了逐轮计算的方式，每一轮通过fma_with_carry门对两个uint32执行乘法约束。

乘法结束时，先用一次enforce_equal门约束计算结果没有进位，再用一次保证乘加的累积结果和a相等。第二个enforce_equal的目的容易理解，也就是用于满足我们之前反复提及的a=b*q+r。

第一个没有进位的约束确保了商q和余数r的值不会超出预期的范围，避免了计算结果出现溢出。除了进位检查，另一个常用方法是约束比特长度（通过限制商和余数比特数，确保计算的结果符合预期的范围）。zkSync记得带上了这个约束，但其实这是个很容易被忽略的细节，比如renegade项目计算fee相关用到的除法就漏掉过这个约束：

再比如Circom中的大整数求模库函数Bigmod也曾出现过类似的漏洞。具体来说，Bigmod函数在实现过程中，只检查了商q的比特长度，而忽略了对余数r的长度检测：

之所以要有这个约束，是因为有限域内的溢出会让结果回滚仍落入域内，使得q和r不唯一。比如给定一个新的r'=r-k，总能通过q'=(a-r')*b^(-1)计算得到一个满足条件的q'使攻击者修改除法计算结果。对于日常使用的a和b，这样修改r通常会导致一个非常大的q。

在zkSync的代码中，乘法约束的设置只是第一步。接下来，它要比较r和b（除数），确保r\<b。具体来说，allocate_subtraction_result_unchecked执行了这一比较操作，它做的只是计算出r-b，并将结果存入变量subtraction_result_unchecked和remainder_is_less_than_divisor。其中remainder_is_less_than_divisor记录了长减法是否发生了借位。借位了则意味着r\<b，这是我们期望看到的情况（由conditionally_enforce_true约束保证正确性）。之后b、r-b (subtraction_result_unchecked)、r、of (r**emainder_is_less_than_divisor)会被放入AddSubRelation**。

在指令循环结束前，通过enforce_addition_relation函数施加UIntXAddGate加法门约束。确保(r-b)+b=r+of*2^256，其中of代表的是加法过程中产生的进位。这个约束的逻辑在于，r-b的结果应该为负数，域内表现为一个非常大的正数。为了让这个结果能够被正确表示，r-b与b相加时，必然会超过2^256导致进位，使得remainder_is_less_than_divisor的约束得以满足：

这么一套约束的目的是避免攻击者通过构造另一组商q'和余数r'来绕过除法约束，进而伪造计算结果。比如我们设定新的q'=q-k和r'=r+b*k，很容易就找到了一组也符合乘法关系的witness篡改计算结果。这个约束在实际代码中也很容易被忽略。例如，Polygon项目就曾经在代码中误加了过于宽松的r\<a约束：

在zkSync的除法计算过程中，表面上看似乎所有必要的约束都已经施加，但代码实现上仍然存在漏洞。这个漏洞和zkSync的代码设计相关，之前提到，uint256类型的数据是通过八个uint32表示的，而每个uint32背后实际上是variable类型，它代表的是Goldilock域中的元素。因此，每个variable实际上最大可以表示0xffffffff00000000。

如果希望uint32中的variable仅表示32位整数，则必须为每个uint32额外施加比特长度约束，以确保其数值范围受限。但在allocate_subtraction_result_unchecked函数中，并没有对计算结果subt**raction_result_unchecked中的每个uint32施加这种比特长度约束。这意味着，虽然subtraction_result_unchecked被定义为[uint32; 8]，但其中每个uint32实际上表示的最大值是0xffffffff00000000**，而不是期望的32位限制。

因此，如果把subtraction_result_unchecked中最后一个uint32的第32比特篡改为1，则后面加法门的计算过程中必然会有进位，使得remainder_is_less_than_divisor约束天然满足。之后令r'=r+b*k和q'=q-k就可以产生同样合法的q和r的组合了。

总结

通过探讨除法约束在工程实现中一些tricky的细节，我们初步感受了一下ZK世界的复杂与精妙。每个细节都可能隐藏着影响整个系统安全性的潜在风险，也正是这些细微之处构成了ZK证明技术的核心，推动了其在区块链领域的广泛应用。未来的篇章里，CertiK会继续深入ZK的技术细节，敬请期待。