本文是RareSkills零知识证明书中关于数论变换（NTT）的教程系列介绍。NTT是一种在有限域上以O(n log n)时间评估多项式值的算法，与快速傅里叶变换（FFT）在功能上相同。文章指出大多数教程仅关注奇偶分裂，而忽略了算法背后的数学原理，如单位根、循环子群、Vandermonde矩阵等。系列从第一性原理出发，逐步引导读者重新发现NTT，并附有可选证明。前置知识要求：有限域和群论基础。文章还提供代码示例（Python实现NTT）和完整的目录链接。

本文介绍了信号流图（SFG）作为一种可视化算法表示的工具。它详细解释了SFG的组成部分：节点（代表变量）和边（代表操作），包括输入节点、输出节点和混合节点，以及边的权重如何影响运算（如加法、减法）。文章通过斐波那契数列的示例，展示了如何逐步构建SFG来表示递推关系。信号流图可以直观地描述变量间的相互作用，适用于多种算法和问题，为后续讲解数论变换（NTT）奠定基础。

本文深入探讨了数论变换（NTT）在多项式乘法中的应用，通过Rollup定理证明了将多项式从系数形式转换为点值形式、进行点乘、再逆变换的步骤与直接Rollup等价。文章详细推导了数学过程，展示了如何利用NTT将乘法复杂度从O(n²)降至O(n log n)，并强调了正交性在证明中的关键作用。

本文详细介绍了Starknet/Cairo中三种哈希函数：Pedersen、Poseidon和Keccak-256。

本文详细介绍了Starknet中的系统调用（syscalls），包括存储读写、跨合约调用、部署合约、事件日志、区块哈希、执行上下文、类哈希、库调用、合约升级、Keccak-256、SHA-256、L1消息发送以及meta_tx_v0。每个syscall都与Solidity中的对应操作进行对比，并提供了完整的函数签名、参数说明和代码示例。文章还解释了Cairo中存储地址的哈希计算方式，以及如何通过低层级syscall访问任意存储槽。

本文详细讲解了逆数论变换（INTT）的手工计算方法。通过将多项式插值重新解释为对另一个多项式的评估，利用快速算法（类似NTT）避免矩阵乘法，将时间复杂度从O(k²)降至O(k log k)。文章以4阶多项式为例，展示了如何通过分组奇偶项和利用单位根性质进行递归计算，并验证了与范德蒙矩阵方法的一致性。最后推广至任意2的幂次阶多项式。

本文详细介绍了在Starknet上部署ERC-20合约的完整流程，包括使用Starknet Foundry（sncast）和Starknet.js两种方法。内容涵盖账户设置、合约类声明、实例部署以及与部署后合约的交互。提供了清晰的代码示例和截图，适合希望学习Starknet开发的人员。

本文详细介绍了Starknet上跨合约调用的两种方式：使用合约调度器（常规和安全）以及直接调用call_contract_syscall。通过银行合约示例展示了如何调用ERC-20代币合约的transfer和transfer_from函数，并对比了与Solidity的相似性。安全调度器允许捕获错误而不回滚整个交易，但系统级失败仍会导致回滚。文章推荐使用调度器进行类型安全的调用，仅在特殊需求时使用直接syscall。

本文证明了一个关键性质：对于由本原k次单位根ω生成的范德蒙德矩阵V(ω)，其逆矩阵是1/k乘以另一个范德蒙德矩阵V(ω⁻¹)。通过两种方式证明：1) 直接矩阵乘法，利用单位根的正交性得到单位矩阵；2) 通过系数向量与多项式求值的变换，验证两次变换后恢复原系数。该性质是数论变换（NTT）逆变换的基础。

本文是《零知识书》中关于逆数论变换（INTT）的章节，详细解释了如何将多项式从点值形式（单位根上的求值）转换回系数形式（插值）。通过Vandermonde矩阵和其逆矩阵的乘法进行推导，以四次单位根为例，验证了逆矩阵的正确性，并推广到一般k次单位根的情形。