Uniswap的简史及其数学原理

自动化做市商（AMM）是一种在特定市场中进行价格发现的算法方法。这与传统做市商所使用的订单簿模型形成对比。

AMM 在公共区块链上的故事以 Uniswap 为核心，它是按 TVL/交易量计算的最成功的 AMM，并激发了许多其他 AMM 协议的诞生。

本文其余部分总结了 Uniswap 的历史和使其成为可能的数学原理。

事件时间线

2016年10月：Vitalik Buterin 发布了一篇 Reddit 帖子 介绍了“链上自动化做市商（AMM）”的概念。

2017年5月：Bancor 发布了一份 白皮书，描述了第一个 AMM。Bancor 的方法受到了一 些批评，这可能抑制了项目的增长。

2017年6月：Vitalik 发布了一篇 博客文章，介绍了恒定乘积 AMM。这将成为 Uniswap v1 的基础。（Vitalik 将此特定 AMM 公式的发起者归功于 Gnosis 的 Martin Köppelmann，但 Hayden 表示实际上是 Gnosis 的 Alan Lu 提出了这个想法。）

2017年10月：Hayden Adams 构建了 Uniswap 的概念验证（“POC”）。该 POC 从未在以太坊主网上推出，仅由一个流动性池组成，即它允许将 ETH 交换为“UNI”（一个通用的测试网络 ERC20 代币）。此外，流动性池仅支持一个流动性提供者，即两个或多个钱包不能共同为流动性池提供流动性。

2017年11月：Karl Floersch 在 Devcon 3 上讨论 AMM，并 简要展示了 Hayden 的概念验证网站。参加 Karl 的演讲的 Pascal Van Hecke 成为 Hayden 的顾问。

2018年3月：Hayden Adams 和几个朋友（“Uniswap”）构建了 Uniswap v1 的第一个 全面功能演示。v1 具有一个工厂合约，使第三方能够创建任意数量的流动性池。此外，每个流动性池可以由任意数量的钱包进行资助。

2018年4月：Karl Floersch 在 Deconomy 2018 会议上将 Hayden Adams 介绍给 Vitalik。Vitalik 鼓励 Hayden 申请 以太坊基金会的资助。

2018年7月：Uniswap 获得了以太坊基金会的 100,000 美元资助。

2018年10月：Hayden Adams 完成了 Uniswap v1 白皮书 并从 Runtime Verification 收到 审计结果。 （Runtime Verification 还制作了该协议的 正式规范。）与此同时，Kyokan 的 Jacky Chan 构建了 Uniswap v1 UI 的完全新版本。

2018年11月：Hayden Adams 在 Devcon 4 上发布 Uniswap v1。

2019年4月：Uniswap 进行了一轮 种子融资，由 Paradigm 主导。

2020年3月：Uniswap v2 正式推出。Uniswap v2 对 v1 进行了一些微小的改进。例如，它支持直接的 ERC20 到 ERC20 转账；v1 需要 ETH 作为所有此类交易的中介。

2021年5月：Uniswap v3 正式推出，这是一种集中流动性的新设计。

恒定乘积 AMM

注意：以下内容假定读者具备微分计算的基本知识。

Uniswap v1 和 v2 实现了普通的恒定乘积 AMM。这是一种用于交易两种可替代代币 α 和 β 的算法。设 x 为 α 的流动性池储备，y 为 β 的储备。市场有储备 x > 0 和 y > 0，恒定乘积 xy = L²。

考虑这种情况：一个人希望以 Δx 单位的 α 交换 Δy 单位的 β。当手续费为 0 时，

“恒定乘积市场”这一名称来源于这样的事实：任何交易 Δx 转换为 Δy 必须以这样的方式改变储备，使得 x 和 y 的乘积保持等于常数 L²。

在每次交易后，储备以以下方式更新：y ↦ y − Δy, x ↦ x + Δx, 以及 L² ↦ L²。

从实现的角度来看，有两种情况需要考虑：

1. 交易者想要出售 Δx 单位的 α，智能合约需要计算 Δy
2. 交易者想要购买 Δy 单位的 β，智能合约需要计算 Δx

对于第一种情况，我们有

对于第二种情况，我们有

这些公式在 Uniswap v1 的 这里 和 这里 中实现，在 Uniswap v2 的 这里 和 这里 中实现。（注意，本文中未考虑手续费。）

用户实现的价格很简单

此外，我们可以定义一个边际价格，或当前价格 (P)，作为在小变动中实现的交换价格，即

该公式暗示了另一种进行交换计算的方法。注意到

和

或者

这意味着

这些公式代表了在给定 Δy 的情况下计算 Δx 的替代方法（反之亦然）。实际上，这正是 Uniswap v3 所采取的方法，以“避免在计算交换时进行任何平方根计算”。（白皮书没有更多详细分析这种方法背后的动机，但 v3 中的所有数学计算都基于价格的平方根；前端应用程式在显示给用户之前将 √P 转换为 P，反之亦然。）

集中流动性

Uniswap v3 的主要创新是集中流动性。正如白皮书所说明的，Uniswap v1 和 v2“设计为在整个价格范围 (0, ∞) 内提供流动性。这……意味着池中持有的大部分资产从未被触及。考虑到这一点，允许流动性提供者在比 (0, ∞) 更小的价格范围内集中他们的流动性似乎是合理的。”

换句话说，Uniswap v3 允许用户的所有流动性在指定价格范围内得到利用，即在该价格范围的边界上所有储备都被耗尽。

这涉及将恒定乘积 AMM 公式变换为 3 个范围，具体如下：

要理解该公式为何有意义，我们可以考虑边界，即我们要求在 y = 0 时 P = pₐ，以及在 x = 0 时 P = pᵦ。

所以当 x = 0 时，

当 y = 0 时，

通过替代，还可以看出

换句话说，x 是 1/√P 的线性函数，而 y 是 √P 的线性函数。

因此，与 Uniswap v1 和 v2 一样，

正如 Uniswap v3 白皮书所述，“在将一种代币交换为另一种代币时，池合约首先可以计算新的 √P……然后可以计算要发送出的（x）或（y）的数量……”。（如前所述，在 Uniswap v3 中，所有计算都使用 √P 作为中间变量；前端有责任在显示给用户之前对 √P 进行平方操作。）

就这样！使 v3 的代码复杂化（与 v1 和 v2 相比）的，是微妙的位置账户管理。现在每对的流动性池不再只是单个，而是可能有无数个位置，每个位置都有自己独特的 pₐ 和 pᵦ 值。

参考文献

Hayden Adams 的 Uniswap 早期历史总结

Vitalik 早期关于改善抢跑阻力的帖子

Uniswap v2 白皮书

Uniswap v3 白皮书

对 Uniswap 市场的分析

Uniswap v3 的流动性数学

Uniswap v3 流动性公式解释

• 原文链接： pandichef.medium.com/a-b...
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