增强区块链抗审查能力 - 高级机制和数学模型

简介

保持抗审查能力（Censorship Resistance, CR）对于确保去中心化应用（dApps）的完整性、公平性和去中心化至关重要。抗审查能力防止恶意行为者试图操纵交易处理过程，从而维护区块链系统的基本原则。

Atlas 框架通过引入失败成本和 gas 托管机制，阻止恶意 Solver（预验证者）从事可能损害系统完整性的行为。通过将 Solver 的激励与系统健康对齐，Atlas 促进了一个公平且具有韧性的交易处理环境。

然而，随着区块链生态系统变得越来越复杂，增强机制以提高抗审查能力的需求变得尤为明显。本文探讨了一些旨在扩展和优化 Atlas 框架的高级机制和数学模型。通过分析和讨论，我们提出了一系列增强措施，旨在提高框架的鲁棒性、适应性和可扩展性。

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动态 Gas 定价模型及其对失败成本的影响

概述

原始的 Atlas 框架在计算失败成本时采用了静态 gas 价格（$\phi_t$）。然而，现实中的区块链环境表现出 gas 价格的波动性，受网络拥堵、交易需求和其他随机因素的影响。引入动态 gas 定价模型可以增强失败成本的鲁棒性，确保在不同网络条件下，防范机制仍然有效。

动机

将随机 gas 价格模型集成到原始的确定性失败成本模型中，可以将框架扩展为更现实和适应性更强。此外，基于预期 gas 价格引入动态出价调整，使 Solver 的激励与实时网络条件保持一致，从而促进更韧性和公平的 Solver 生态系统。

原始数学表示

Atlas 框架中的失败成本定义为：

$$cfail(o_i) = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i)$$

其中，$b(o_i)$ 表示 Solver 操作 $o_i$ 的出价，$b(o^_i)$ 是成功 Solver 操作 $o^_i$ 的出价，$g(o_i)$ 表示 Solver 操作 $o_i$ 预留的 gas，$\Gamma$ 是为 Solver 操作提供的总 gas。

提议的数学改进

为了更好地捕捉现实世界中的 gas 价格动态，我们可以引入一个对 gas 价格的随机模型：

$$ \phi_t \sim \mathcal{F}(\mu, \sigma^2) $$

在这个等式中，$\mathcal{F}$ 表示一个概率分布（例如正态分布或对数正态分布），$\mu$ 为平均 gas 价格，$\sigma^2$ 为方差。

将其纳入失败成本公式，我们可以调整公式以考虑动态 gas 价格：

$$ cfail(o_i, \phi_t) = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) \cdot \phi_t $$

这一修正确保惩罚反映了当前的网络状况，维持了对恶意 Solver 行为的经济威慑。

此外，我们可以在随机 gas 价格下推导出预期的失败成本：

$$ \mathbb{E}[cfail(o_i)] = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) \cdot \mathbb{E}[\phi_t] $$

假设 $\phi_t$ 与 $o_i$ 无关，则期望简化为：

$$ \mathbb{E}[cfail(o_i)] = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) \cdot \mu $$

进一步的数学分析

在 gas 价格模型中引入 $\sigma^2$ 对 Solver 策略产生了显著影响。Solver 现在不仅需要考虑预期的失败成本，还需要考虑其变异性，这可以通过使用风险厌恶效用函数来建模：

$$ U_i(b_i, v_i, \phi_t) = P(o_i \text{ wins}) \times (v_i - b_i - \phi_t) + P(o_i \text{ fails}) \times (\mathbb{E}[cfail(o_i)] - \phi_t) - \gamma \cdot \text{Var}[cfail(o_i)] $$

这里，$\gamma$ 表示风险厌恶系数。为了在不确定性下最大化效用，Solver 可能采用策略来对冲高 gas 价格情景：

$$ \max_{b_i} \mathbb{E}[U_i(b_i, v_i, \phi_t)] $$

约束条件为：

$$ b_i \leq v_i $$

将动态失败成本纳入考虑后，预期效用变为：

$$ \mathbb{E}[U_i(b_i, v_i, \phi_t)] = P(o_i \text{ wins}) \times (v_i - b_i - \mu) + P(o_i \text{ fails}) \times \left(\frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) \cdot \mu - \mu \right) $$

影响

通过考虑动态 gas 价格，系统在面对 gas 费用的突然上涨或下降时保持韧性，确保失败成本机制能够实时调整以保持有效的威慑。Solver 被迫采用更复杂的出价策略，将 gas 价格波动纳入考量，促进公平竞争，并防止利用可预测的 gas 成本进行操纵。

附加值

动态失败成本确保无论网络状况如何，惩罚都保持适当且有效，防止 Solver 利用可预测的 gas 定价。这种方法增强了系统在多样化情景下的鲁棒性，即使在波动的网络状态下也能保持完整性和公平性。

其他讨论点

分布 $\mathcal{F}$ 的选择很重要；虽然正态分布提供了分析的便利性，但对数正态分布可能更好地捕捉实际 gas 价格数据中的偏态。校准风险厌恶系数 $\gamma$ 是确保模型准确反映 Solver 偏好和市场现实的关键。此外，评估动态 gas 定价对整体交易吞吐量的影响是必要的，以识别并缓解这一增强可能引入的潜在瓶颈或效率低下。

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针对女巫攻击和共谋攻击的鲁棒性

概述

女巫攻击（Sybil）和共谋攻击通过使恶意行为者能够操纵投标过程并垄断区块空间，对去中心化系统的完整性构成了重大威胁。增强 Atlas 框架以抵御此类攻击对于维护抗审查能力和公平的 Solver 竞争至关重要。

动机

集成信誉评分和质押需求扩展了原始的失败成本和 gas 托管模型，引入了阻止协调恶意行为的先进机制。此外，应用联盟博弈论模型确保了共谋不再是一个有利可图的策略，进一步增强了对协调攻击的系统安全性。

原始数学表示

Atlas 框架中的原始失败成本定义为：

$$ cfail(o_i) = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) $$

提议的数学改进

为了减轻女巫攻击和共谋攻击带来的风险，我们可以引入几个关键的增强措施：

女巫攻击概率建模

我们定义一组女巫身份能够影响投标结果的概率为：

$$ P_{\text{Sybil}} = \left( \frac{M}{N} \right)^k $$

其中，$M$ 表示恶意女巫身份的数量，$N$ 是 Solver 的总数，$k$ 表示同时进行的恶意尝试次数。

共谋博弈论框架

利用联盟博弈理论，我们对 Solver 共谋及其对系统稳定性的影响进行建模。设 $\mathcal{C}$ 为 $m$ 个 Solver 的联盟，旨在操纵投标过程。联盟的效用为：

$$ U{\mathcal{C}} = \sum{i \in \mathcal{C}} V_i $$

$\mathcal{C}$ 中的 Solver 以最大化集体效用为目标制定策略：

$$ \max_{bi \forall i \in \mathcal{C}} U{\mathcal{C}} = \sum_{i \in \mathcal{C}} \left( v_i - b_i - \phi_t - cfail(o_i) \right) $$

基于信誉的防御机制

我们集成了一个信誉系统 $\rho_i$，对过去恶意行为的 Solver 进行惩罚，减少女巫攻击和共谋攻击的影响：

$$ \rho_i = f(\text{Historical Success}, \text{Behavior Metrics}) $$

函数 $f$ 结合可靠性和行为指标计算信誉评分。将信誉纳入投标调整 Solver 的出价如下：

$$ b_i(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i \cdot \rho_i $$

质押机制

为了进一步阻止恶意行为，我们要求 Solver 质押资金，一旦检测到女巫攻击或共谋攻击，这些资金将被削减：

$$ s_i \geq \kappa \cdot \phi_t \cdot g(o_i) $$

其中，$s_i$ 是 Solver $i$ 质押的金额，$\kappa$ 是一个确保大量质押的乘数。削减机制定义为：

$$ \text{If } o_i \text{ is malicious, then } s_i \leftarrow s_i - \lambda \cdot s_i $$

其中，$\lambda$ 是对恶意 Solver 应用的削减百分比。

进一步的数学分析

引入信誉评分 $\rho_i$ 通过按比例减少女巫身份的信誉，有效降低了其影响力。假设恶意 Solver 的 $\rho_i < 1$，调整后的女巫攻击概率为：

$$ P_{\text{Sybil}}^{\text{Adjusted}} = \left( \frac{M \cdot \rho_i}{N} \right)^k $$

应用博弈论原理，我们确保联盟不再有利可图。通过信誉评分和质押对联盟进行惩罚，系统保持了纳什均衡的稳定性，阻止 Solver 形成共谋群体：

$$ \forall \mathcal{C}, \quad U{\mathcal{C}}^{\text{Adjusted}} < U{\mathcal{C}}^{\text{Non-Adjusted}} $$

信誉函数 $f$ 可以建模为：

$$ \rho_i = \frac{\text{Number of Successful Bids}}{\text{Total Bids Submitted}} \cdot e^{-\lambda \cdot \text{Penalties Incurred}} $$

其中，$\lambda$ 是惩罚的衰减率，确保信誉准确反映最近的 Solver 行为。

影响

通过结合信誉评分和质押机制，Solver 在经济上被阻止从事女巫攻击或共谋攻击，因为削减的潜在损失超过了操纵的收益。基于信誉的防御机制确保只有值得信赖的 Solver 才能有效参与投标过程，维护系统的公平性和完整性。

附加值

信誉系统和质押机制的结合创建了一个多层次的安全框架，显著增强了系统对女巫攻击和共谋攻击的抵御能力。经济威慑将 Solver 的激励与系统完整性对齐，促进了一个合作且公平的 Solver 生态系统。

其他讨论点

校准信誉评分涉及确定最佳权重因子和衰减率，以准确反映 Solver 的可信度，而不会引入不必要的复杂性或偏见。设计公平有效的削减规则对于惩罚恶意行为而不误伤诚实的 Solver 至关重要。此外，确保信誉系统在 Solver 数量增加时保持可扩展性和效率是必要的，以防止瓶颈或漏洞。

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用于 Solver 可信度的高级信誉系统

概述

一个强大的信誉系统对于维护 Solver 的可信度至关重要，尤其是在容易受到女巫攻击和共谋攻击的环境中。通过跟踪 Solver 的表现和行为，系统可以激励诚实参与并惩罚恶意行为，从而增强整体系统安全性和公平性。

动机

引入集成的信誉评分系统扩展了原始的失败成本机制，提供了一种数学上稳健的方法来评估并将 Solver 的可信度纳入投标和选择过程。此外，动态信誉调整确保信誉评分保持相关性和准确性，适应 Solver 随时间变化的行为。

原始数学表示

虽然原始论文没有明确定义信誉系统，但它提到了补充机制以增强抗审查能力。

提议的数学改进

为了开发一个全面的信誉系统，我们提出了一个多方面的信誉评分 $\rho_i$，结合了历史表现和行为指标：

$$ \rho_i = \alpha R_i + \beta S_i + \gamma P_i $$

在这个等式中，$R_i$ 表示历史可靠性评分（例如成功投标的百分比），$S_i$ 表示 Solver 操作的成功率（例如 $o_i \in O^*_i$ 的次数），$P_i$ 表示因失败或恶意投标而受到的惩罚。系数 $\alpha, \beta, \gamma$ 决定了每个组成部分对整体信誉评分的影响。

为了确保 $\rho_i$ 反映当前的 Solver 表现，我们实现了一个动态信誉调整机制，结合了时间衰减和近期行为：

$$ \rho_i(t) = e^{-\lambda t} \rho_i(t-1) + \mu \cdot \text{Recent Performance}(t) $$

其中，$\lambda$ 是旧表现数据的衰减率，$\mu$ 是分配给近期表现更新的权重。

基于信誉的 Solver 选择概率

Solver 操作被选择的概率根据其信誉评分进行调整：

$$ P(o_i \text{ selected}) = \frac{b(o_i) \times \rhoi}{\sum{j=1}^{N} b(o_j) \times \rho_j} $$

这个公式确保高信誉的 Solver 有更高的机会被选中，从而奖励一致且值得信赖的行为。

信誉对失败成本的影响

我们将信誉评分纳入失败成本计算，以动态调整惩罚：

$$ cfail(o_i, \rho_i) = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) \cdot \rho_i $$

低信誉的 Solver 面临更高的失败成本，进一步阻止了恶意行为。

进一步的数学分析

Solver 旨在最大化其信誉评分，以增加其被选择的概率并最小化失败成本。考虑到信誉评分，他们的效用函数为：

$$ U_i = P(o_i \text{ selected}) \times (v_i - b_i - \phi_t) + (1 - P(o_i \text{ selected})) \times (cfail(o_i, \rho_i) - \phi_t) + \eta \cdot \rho_i $$

约束条件为：

$$ \rho_i = \alpha R_i + \beta S_i + \gamma P_i $$

将信誉评分纳入考虑后，投标博弈的纳什均衡受到影响：

$$ b_i^*(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i \cdot \rho_i $$

这一调整将 Solver 的激励与诚实行为对齐，因为更高的 $\rho_i$ 直接增强了其投标的有效性和效用。

影响

量化 Solver 的可信度促进了问责制，确保只有可靠和诚实的 Solver 在投标过程中受到青睐。信誉系统将 Solver 的激励与期望行为对齐，促进了一个合作且公平的 Solver 生态系统。此外，时间衰减机制确保信誉评分反映当前行为，防止长期信誉掩盖最近的恶意行为。

附加值

全面且动态的信誉评分系统为评估 Solver 可信度提供了一个可扩展的框架，通过减少女巫攻击和共谋攻击的有效性，显著增强了系统的安全性。通过保持对 Solver 行为的准确和最新反映，信誉系统确保只有值得信赖的参与者获得奖励，从而维护系统的公平性和完整性。

其他讨论点

设计信誉函数 $f$ 需要在历史表现和近期行为之间取得平衡，以防止信誉膨胀并确保及时惩罚恶意行为。确定权重因子 $\alpha, \beta, \gamma$ 的最佳值对于有效平衡可靠性、成功率和惩罚至关重要。此外，保护信誉系统免受旨在人为提高信誉评分的潜在攻击是维护其完整性的关键。

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激励兼容机制和真实出价策略

概述

确保投标机制是激励兼容的对于维护系统的完整性至关重要。激励兼容性确保 Solver 有动力出价其真实估值（$v_i$），而不是为了个人利益操纵出价，从而促进公平并防止策略性操纵。

动机

应用高级机制设计原则，如 Myerson 的揭示原理和 VCG 机制，确保投标策略是激励兼容的。此外，将信誉评分纳入 Solver 的效用函数提供了一个更细致的激励结构，促进长期的诚实行为。

原始数学表示

Atlas 框架中的原始均衡出价策略定义为：

$$ b_i(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i $$

其中，$b_i(v_i)$ 是 Solver $i$ 基于其估值 $v_i$ 的出价，$N$ 是 Solver 的总数。

提议的数学改进

为了确保真实出价是 Solver 的占优策略，我们应用机制设计的原则。具体来说，我们将投标机制与 Myerson 的揭示原理对齐，确保 Solver 通过真实出价最大化其效用。

我们将均衡概念扩展到考虑私人信息和对其他 Solver 出价的信念，使用贝叶斯纳什均衡框架。贝叶斯 Solver 效用表示为：

$$ U_i(b_i, v_i) = P(b_i \text{ wins}) \times (v_i - b_i - \phi_t) + P(b_i \text{ fails}) \times (cfail(o_i) - \phi_t) $$

均衡条件要求：

$$ \forall i, \quad b_i^*(vi) = \arg\max{b_i} \mathbb{E}[U_i(b_i, v_i)] $$

将信誉评分 $\rho_i$ 和动态失败成本纳入 Solver 的效用函数，进一步对齐激励：

$$ U_i(b_i, v_i, \rho_i) = P(o_i \text{ selected}) \times (v_i - b_i - \phi_t) + (1 - P(o_i \text{ selected})) \times (cfail(o_i, \rho_i) - \phi_t) + \eta \cdot \rho_i $$

此外，我们应用 Vickrey-Clarke-Groves (VCG) 机制原则来验证真实出价是否最大化 Solver 效用。VCG 支付定义为：

$$ Vi^{VCG} = \sum{j \neq i} v_j \cdot \mathbb{I}(b_j > b_i) - \text{Externality}_i $$

通过证明当前出价策略与 VCG 原则一致，我们可以确认投标机制的激励兼容性。

进一步的数学分析

通过证明真实出价最大化 Solver 效用，无论其他 Solver 的策略如何，实现占优策略激励兼容性（DSIC）：

$$ \forall i, \forall v_i, \forall b_i' \neq b_i(v_i), \quad U_i(b_i(v_i), v_i, \rho_i) \geq U_i(b_i', v_i, \rho_i) $$

通过设置 $b_i(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i$，Solver 在不偏离真实出价的情况下最大化其预期效用。

通过调整均衡出价策略以纳入信誉评分，保持贝叶斯纳什均衡稳定性：

$$ b_i^*(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i \cdot \rho_i $$

这一调整确保 Solver 基于其估值和信誉评分优化出价，即使系统参数发生变化，也能保持均衡稳定性。

最后，将出价策略与 VCG 机制对齐，确保外部性被考虑，进一步促进真实出价作为最优策略：

$$ Vi = \sum{j \neq i} v_j \cdot \mathbb{I}(b_j > b_i) - \text{Externality}_i = \text{Current Mechanism Payoff} $$

影响

确保真实出价是占优策略，防止 Solver 从事出价压低或过高出价，从而保持公平竞争和系统完整性。将信誉评分纳入效用函数激励 Solver 保持高信誉，将其利益与诚实参与对齐。

附加值

应用机制设计原则确保激励兼容性，保证投标过程保持公平和透明。通过防止策略性出价操纵，系统维护了去中心化和公平的原则，这对区块链的完整性至关重要。

其他讨论点

需要正式证明来证明所提出的出价策略与 VCG 机制一致，确保激励兼容性。评估信誉集成的可扩展性至关重要，尤其是在大规模 Solver 环境中。此外，探索 Solver 在新出价策略下如何优化其效用，考虑估值和信誉评分，可以提供对 Solver 行为和系统动态的更深入理解。

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多阶段拍卖和动态出价策略

概述

实施多阶段拍卖为投标过程引入了时间维度，允许 Solver 根据前一阶段的结果动态调整其出价。这种方法可以增强公平性，更均匀地分配执行机会，并减轻战略性 Solver 垄断区块空间的风险。

动机

将原始的单阶段投标机制扩展为多阶段结构，增加了一个时间层，增强了公平性和系统韧性。使 Solver 能够根据阶段结果迭代优化其出价，促进了一个更具适应性和战略性的 Solver 生态系统。

原始数学表示

Atlas 框架中的原始均衡出价策略定义为：

$$ b_i(v_i) = \frac{N - 1}{N} v_i $$

其中，$b_i(v_i)$ 是 Solver $i$ 基于其估值 $v_i$ 的出价，$N$ 是 Solver 的总数。

提议的数学改进

为了纳入多阶段拍卖，我们将投标过程结构化为多个不同的阶段。每个阶段允许 Solver 根据前一阶段的结果提交或调整其出价。在第 $k$ 阶段，出价调整可以表示为：

$$ b_i^{(k)}(v_i) = \frac{N_k - 1}{N_k} v_i + \alpha_k \cdot \phi_t^{(k)} $$

其中，$N_k$ 表示第 $k$ 阶段的活跃 Solver 数量，$\alpha_k$ 是基于第 $k$ 阶段 gas 价格的调整因子，$\phi_t^{(k)}$ 是第 $k$ 阶段的 gas 价格。

Solver 可以根据前一阶段出价的成功或失败迭代调整其出价：

$$ b_i^{(k+1)}(v_i) = b_i^{(k)}(v_i) + \Delta b_i^{(k)} $$

其中，$\Delta b_i^{(k)}$ 表示基于第 $k$ 阶段结果的出价增量或减量。

分阶段 Solver 选择和迭代

在多阶段拍卖系统中，Solver 选择在阶段之间迭代进行。如果第 $k$ 阶段的出价失败，系统进入第 $k+1$ 阶段，允许下一个 Solver 尝试执行。第 $k$ 阶段 Solver $i$ 的支付定义为：

$$ V_i^{(k)} = \begin{cases} v_i - b_i^{(k)} - \phi_t^{(k)} - cfail(o_i^{(k)}) & \text{if } o_i^{(k)} \in O^{(k)}_i \ -\phi_t^{(k)} - cfail(o_i^{(k)}) & \text{if } o_i^{(k)} \notin O^{(k)}_i \text{ and } o_i^{(k)} \in \text{Reverted Operations} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

进一步的数学分析

确定最佳阶段数 $K$ 和 Solver 在阶段之间的分布对于最大化系统效率和公平性至关重要。目标是在确保所有阶段的活跃 Solver 总数等于 Solver 总数的前提下，最大化所有阶段的总 Solver 支付：

$$ \max{K} \sum{k=1}^{K} \sum_{i=1}^{N_k} V_i^{(k)} $$

约束条件为：

$$ \sum_{k=1}^{K} N_k = N $$

Solver 在阶段之间的决策可以使用动态规划或强化学习框架进行建模，以识别最佳出价调整：

$$ \pii = \arg\max{\pii} \sum{k=1}^{K} \gamma^k U_i^{(k)}(b_i^{(k)}, v_i) $$

其中，$\pi_i$ 是 Solver $i$ 的策略函数，$\gamma$ 是未来效用的折扣因子。

评估多阶段结构对系统稳定性的影响涉及分析效用函数对出价调整的偏导数：

$$ \frac{\partial U_i}{\partial b_i^{(k)}} = 0 \quad \forall i, \forall k $$

影响

多阶段拍卖通过将执行机会分布在多个阶段，防止单个 Solver 垄断区块空间，促进公平性和多样性。Solver 可以根据前一阶段观察到的结果优化其出价策略，导致更智能和响应性更强的行为。此外，通过多个阶段迭代，系统可以在不过度负担任何单个阶段的情况下处理更多交易，优化整体吞吐量和效率。

附加值

引入时间公平性确保所有 Solver，无论其初始出价强度如何，都有多次机会执行其操作。战略性出价洞察为理解动态环境中的 Solver 行为提供了一个框架，从而进一步优化拍卖机制。

其他讨论点

确定每个阶段的最佳持续时间和频率对于平衡响应性和系统效率至关重要。前一阶段信息的可用性和传播对 Solver 出价策略有显著影响。此外，评估多阶段拍卖的额外复杂性是否在公平性和系统韧性方面带来足够的收益是重要的。

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与 Layer-2 解决方案和跨链互操作性的集成

概述

随着区块链生态系统的扩展，将 Atlas 框架与 Layer-2（L2）扩展解决方案集成并确保跨链互操作性变得至关重要。这种集成增强了可扩展性，降低了交易成本，并扩大了框架在多样化区块链网络中的适用性。

动机

将失败成本和 gas 托管机制扩展到 Layer-2 解决方案和跨链交互，确保在不同区块链环境中保持一致的安全性和公平性。此外，引入跨链信誉同步机制，保持 Solver 可信度的一致性，增强了跨互联链的可靠性和信任。

原始数学表示

原始的 Atlas 框架调整 gas 限制，以保留任何 Solver 操作所需的最小 gas：

$$ \Gamma' = \Gamma - \min {g(o) : o \in O} $$

其中，$\Gamma'$ 表示在保留最小 Solver 操作 gas 后的调整 gas 限制。

提议的数学改进

Layer-2 Gas 动态建模

为了适应 Layer-2 解决方案的独特 gas 价格结构和可扩展性特征，我们扩展了失败成本和 gas 托管机制：

$$ \phi_t^{(L2)} = g(\phi_t^{(L1)}, \lambda) $$

在这个等式中，$\phi_t^{(L2)}$ 是 Layer-2 上的 gas 价格，$g$ 是建模 Layer-1（$L1$）和 Layer-2（$L2$）gas 价格关系的函数，$\lambda$ 是基于 Layer-2 可扩展性参数的缩放因子。

跨链 Solver 操作映射

我们定义跨多个链的 Solver 操作，以确保一致应用失败成本和 gas 托管机制：

$$ O_{Solver}^{(Chaini)} = { o{i1}, o{i2}, \dots, o{in} } $$

每个链 $i$ 上的 Solver 操作 $o_{ij}$ 都有相关的失败成本：

$$ cfail(o_{ij}, \phi_t^{(Chaini)}) = \frac{b(o{ij}) - b(o^*_{ij})}{\Gammai} g(o{ij}) \cdot \phi_t^{(Chain_i)} $$

其中，$\Gamma_i$ 是链 $i$ 上的总 gas，$\phi_t^{(Chain_i)}$ 是链 $i$ 上的 gas 价格。

互操作性约束和优化

为了确保跨链交互不会损害失败成本机制或 gas 托管要求，我们建立了以下约束：

$$ \sum_{i=1}^{C} \Gammai' \geq \Gamma{\text{Total}} $$

其中，$C$ 是互连链的数量，$\Gammai'$ 是链 $i$ 上的调整 gas 限制，$\Gamma{\text{Total}}$ 是所有链上所需的总 gas 限制。

跨链一致的均衡出价策略

为了保持跨链的公平性，我们调整均衡出价策略以适应跨链 Solver：

$$ b_i^{*(Chain_j)}(v_i) = \frac{N_j - 1}{N_j} v_i \cdot \rho_i $$

在这个等式中，$N_j$ 是链 $j$ 上的 Solver 数量，$\rho_i$ 是 Solver $i$ 的信誉评分。

跨链信誉同步

为了在多个链上保持 Solver 的可信度，我们确保信誉评分 $\rho_i$ 是同步或可转移的：

$$ \rho_i^{(Chain_j)} = h(\rho_i^{(Chain_k)}) $$

其中，$h$ 是确保链 $j$ 和 $k$ 之间信誉评分一致的函数。

进一步的数学分析

建模集成多个 Layer-2 解决方案对系统可扩展性和 gas 使用效率的影响涉及：

$$ \Gamma{\text{Total}} = \sum{i=1}^{C} (\Gamma_i' \cdot \eta_i) $$

其中，$\eta_i$ 是链 $i$ 的效率因子。

通过保持成比例的信誉和出价金额，确保跨链的公平 Solver 选择：

$$ P(o_i^{(Chain_j)} \text{ selected}) = \frac{b(o_i^{(Chain_j)}) \times \rhoi}{\sum{k=1}^{C} \sum_{m=1}^{N_k} b(o_m^{(Chain_k)}) \times \rho_m} $$

这个公式确保信誉和出价金额在跨链时得到公平加权，保持公平的 Solver 选择概率。

影响

与 Layer-2 解决方案的集成使 Atlas 框架能够以更低的 gas 成本处理更高的交易量，增强了整体系统的可扩展性和效率。跨链互操作性扩展了框架的适用性，使其能够在多样化的区块链生态系统中无缝运行。跨链同步信誉评分确保 Solver 的可信度保持一致，防止由于跨链活动导致信誉膨胀或缩水。

附加值

利用 Layer-2 的可扩展性特征，使 Atlas 框架能够在不损害系统完整性或效率的情况下管理增加的交易量。跨链互操作性扩大了框架的范围和影响力，促进了其在多个区块链网络中的采用。跨链的统一信誉管理确保 Solver 的可信度一致，增强了系统的安全性和公平性。

其他讨论点

设计高效且安全的协议以同步不同区块链网络之间的信誉评分和 Solver 状态至关重要。开发准确且响应迅速的函数 $g(\phi_t^{(L1)}, \lambda)$ 以建模 Layer-1 和 Layer-2 解决方案之间的 gas 价格动态，对于维护系统稳定性至关重要。此外，评估跨链交互可能引入的潜在漏洞，并开发保障措施以减轻相关风险，是确保系统安全的关键。

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部分回滚和交易原子性

概述

部分回滚允许交易中的特定 Solver 操作失败，而不会导致整个交易回滚。这种机制通过确保仅对目标操作进行惩罚，增强了系统的灵活性和用户体验，同时保持整体交易的完整性。

动机

正式定义的部分回滚机制引入了一个数学上严谨的框架，用于处理 Solver 操作失败而不中断整个交易。建立迭代的 Solver 选择过程增强了系统的韧性和公平性，确保在成功出价之前持续进行交易处理。

原始数学表示

Atlas 框架中的原始 Solver 支付结构定义为：

$$ V_i = \begin{cases} v_i - b(o_i) - \phi_t - cfail(o_i) & \text{if } o_i \in O^_i \ -\phi_t - cfail(o_i) & \text{if } o_i \notin O^i \text{ and } \exists o{-i} \in O^*_i \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

其中，$V_i$ 表示 Solver $i$ 的支付，$O^*_i$ 是成功 Solver 操作的集合。

提议的数学改进

为了实现部分回滚，我们引入了原子性约束，确保单个 Solver 操作的执行不会损害整个交易的原子性：

$$ \forall o_i \in O, \quad \text{Execute}(o_i) \Rightarrow \text{Atomicity}(O) $$

这意味着每个 Solver 操作 $o_i$ 被视为一个原子单元，其中一个操作的执行不要求其他操作的执行或失败。

部分回滚功能允许特定 Solver 操作回滚而不影响同一交易中的其他操作：

$$ \text{Revert}(o_i) \neq \text{Revert}(O) $$

这确保只有个别操作可以失败，保持整个交易的完整性。

修改后的 Solver 支付结构适应部分回滚如下：

$$ V_i = \begin{cases} v_i - b(o_i) - \phi_t - cfail(o_i) & \text{if } o_i \in O^_i \ -\phi_t - cfail(o_i) & \text{if } o_i \notin O^_i \text{ and } o_i \in \text{Reverted Operations} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

其中，$\text{Reverted Operations}$ 是 $O$ 中特定 Solver 操作失败的子集。

引入顺序 Solver 迭代以实现迭代的 Solver 选择过程。如果第 $k$ 阶段的出价失败，系统进入第 $k+1$ 阶段，允许下一个 Solver 尝试执行，直到找到成功的出价：

$$ \forall o_i \in O, \quad \text{if } oi \text{ fails}, \quad \text{move to } o{i+1} $$

进一步的数学分析

为了在部分回滚的情况下保持交易一致性，我们定义了交易完整性约束，确保整体交易状态保持一致：

$$ \sum_{o_i \in O} \text{State}(o_i) = \text{Consistent} $$

Solver 优化其出价以最大化其效用，考虑部分回滚的可能性：

$$ \max_{b_i} U_i = P(o_i \text{ succeeds}) \times (v_i - b_i - \phi_t - cfail(o_i)) + P(o_i \text{ fails}) \times (-\phi_t - cfail(o_i)) $$

通过为最小 Solver 操作保留 gas，确保 gas 资源分配高效：

$$ \Gamma' = \Gamma - \min {g(o) : o \in O} $$

这确保后续 Solver 有足够的 gas 尝试执行，而不会过度分配资源。

影响

部分回滚防止由于孤立的 Solver 操作失败而导致整个交易失败，减少了用户重新提交订单的需求，增强了整体用户体验。这种灵活性使系统能够处理多样化的 Solver 操作，适应高回报和低回报的交易，而不会损害交易完整性。此外，顺序 Solver 迭代确保多个 Solver 有机会执行其操作，促进公平性并防止任何单个 Solver 垄断。

附加值

引入部分回滚允许对仅恶意或失败的 Solver 操作进行细粒度惩罚，保留合法操作的执行并维护交易完整性。此外，优化 gas 利用确保资源在 Solver 操作之间高效分配，最大化系统吞吐量并最小化资源浪费。

其他讨论点

开发正式证明以确保部分回滚不会在交易状态中引入不一致性或漏洞是必要的。分析部分回滚的可能性如何影响 Solver 出价策略，以确定其是否有效阻止恶意行为是重要的。此外，探索高效的 Solver 迭代和选择算法可以进一步优化系统吞吐量，同时保持公平性。

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探索失败成本和 gas 托管之外的替代机制

概述

虽然失败成本和 gas 托管构成了 Atlas 框架安全和威慑机制的基石，但探索其他机制可以进一步增强系统的鲁棒性和公平性。这一研究领域调查了补充策略，如时间锁定承诺、随机 Solver 选择、质押要求、多维出价和激励再分配。

动机

集成时间锁定、质押要求、多维出价和激励再分配扩展了原始的失败成本和 gas 托管机制。这些高级机制提供了一个全面的安全和公平框架，使系统能够动态适应不同的 Solver 策略和网络条件。

原始数学表示

原始的 Atlas 框架结合了失败成本并调整 gas 限制如下：

$$ cfail(o_i) = \frac{b(o_i) - b(o^*_i)}{\Gamma} g(o_i) $$

$$ \Gamma' = \Gamma - \min {g(o) : o \in O} $$

提议的数学改进

时间锁定承诺为了确保出价的稳定性，我们为每个 Solver 操作 $o_i$ 定义了一个时间锁到期时间：

$$ T_i(o_i) = t_i + \Delta t $$

其中 $T_i(o_i)$ 是时间锁到期时间，$t_i$ 是当前时间，$\Delta t$ 是时间锁的固定持续时间。

Solver 承诺约束

Solver 受到以下约束：

$$ \text{在 } T_i(o_i) \text{ 之前不能更改 } b(o_i) \text{ 或撤回 } e(i) $$

违反此承诺将导致额外的惩罚：

$$ \text{惩罚}(o_i) = \lambda \cdot cfail(o_i) $$

其中，$\lambda$ 是承诺违反的惩罚乘数。

调整后的 Solver 收益与时间锁承诺

Solver 的收益结构被修改为包含承诺违反的惩罚：

$$ V_i = \begin{cases} v_i - b(o_i) - \phi_t - cfail(o_i) & \text{如果 } o_i \in O^_i \text{ 且 } T_i(o_i) \leq t \ -\phi_t - cfail(o_i) - \lambda \cdot cfail(o_i) & \text{如果 } o_i \notin O^_i \text{ 且 } o_i \in \text{回滚操作} \ 0 & \text{否则} \end{cases} $$

随机化 Solver 选择

在 Solver 操作执行中引入随机性可以减少可预测性，并阻止有针对性的审查。Solver $i$ 的操作 $o_i$ 被选中的概率调整如下：

$$ P(o_i \text{ 被选中}) = \frac{b(o_i) \times \rhoi}{\sum{j=1}^{N} b(o_j) \times \rho_j} \times \theta $$

其中 $\theta$ 是确保非确定性选择的随机性因子。

质押要求

为了进一步阻止恶意行为，Solver 需要质押一定数量的资金，这些资金在检测到 Sybil 或合谋攻击时可以被削减：

$$ s_i \geq \kappa \cdot \phi_t \cdot g(o_i) $$

其中 $s_i$ 是 Solver $i$ 质押的金额，$\kappa$ 是确保重大经济承诺的质押乘数。削减机制定义如下：

$$ \text{如果 } o_i \text{ 是恶意的，则 } s_i \leftarrow s_i - \lambda \cdot s_i $$

多维出价

允许 Solver 在多个维度（例如出价金额、声誉权重）上进行出价，引入了一个出价向量：

$$ b_i(o_i) = (b_i^{(1)}, b_i^{(2)}, \dots, b_i^{(k)}) $$

其中每个分量 $b_i^{(k)}$ 表示在维度 $k$ 上的出价。

激励再分配

将一部分 MEV 或 Gas 费用分配给所有参与的 Solver，可以促进合作行为。再分配公式如下：

$$ V_i = \begin{cases} v_i - b(o_i) - \phi_t - cfail(oi) + \beta \cdot \sum{j=1}^{N} V_j & \text{如果 } o_i \in O^_i \ -\phi_t - cfail(oi) + \beta \cdot \sum{j=1}^{N} V_j & \text{如果 } o_i \notin O^_i \text{ 且 } oi \in \text{回滚操作} \ \beta \cdot \sum{j=1}^{N} V_j & \text{否则} \end{cases} $$

其中，$\beta$ 是再分配系数。

进一步的数学分析

时间锁承诺的影响

承诺遵守的强制执行

为了确保 Solver 遵守其承诺，我们形式化约束如下：

$$ \forall o_i \in O, \quad b_i(t < T_i(o_i)) = b_i(t = T_i(o_i)) = b_i^{(original)}(v_i) $$

该方程确保在时间锁到期之前出价保持不变，从而保持出价的稳定性。

惩罚优化

确定最优的惩罚乘数 $\lambda$ 对于在威慑有效性和不过度惩罚诚实 Solver 之间取得平衡非常重要：

$$ \lambda \cdot cfail(o_i) \geq \text{Solver 从违反中获得的最大收益} $$

这确保 Solver 被阻止进行出价更改或托管提款，因为惩罚超过了任何潜在的收益。

效用函数调整

调整后的效用函数考虑了与承诺违反相关的惩罚：

$$ U_i(b_i, v_i, T_i) = P(o_i \text{ 被选中}) \times (v_i - b_i - \phi_t - cfail(o_i)) + (1 - P(o_i \text{ 被选中})) \times (-\phi_t - cfail(o_i) - \lambda \cdot cfail(o_i)) $$

这种公式激励 Solver 遵守其承诺，以避免额外的惩罚，使其策略与系统完整性保持一致。

随机化 Solver 选择的影响

在 Solver 选择中引入随机元素减少了可预测性，从而阻止了有针对性的攻击。选择概率的方差为：

$$ \text{Var}(P(o_i \text{ 被选中})) = \theta(1 - \theta) \cdot \left( \frac{b(o_i) \times \rhoi}{\sum{j=1}^{N} b(o_j) \times \rho_j} \right) \left(1 - \frac{b(o_i) \times \rhoi}{\sum{j=1}^{N} b(o_j) \times \rho_j}\right) $$

更高的方差意味着更大的随机性，增强了对可预测 Solver 策略的威慑。

质押与削减动态

通过质押和削减惩罚来建模 Solver 效用：

$$ U_i(b_i, v_i, s_i) = P(o_i \text{ 被选中}) \times (v_i - b_i - \phi_t) + P(o_i \text{ 失败}) \times (cfail(o_i) - \phi_t) - s_i \cdot \mathbb{I}(o_i \text{ 恶意}) $$

多维出价优化

在多个维度上求解最优出价向量涉及在 Solver 出价预算约束下最大化其效用：

$$ \max_{b_i^{(1)}, b_i^{(2)}, \dots, b_i^{(k)}} Ui = \sum{k=1}^{K} \left[ P(o_i^{(k)} \text{ 被选中}) \times (v_i^{(k)} - b_i^{(k)} - \phi_t^{(k)}) + P(o_i^{(k)} \text{ 失败}) \times (cfail(o_i^{(k)}) - \phi_t^{(k)}) \right] + \eta \cdot \rho_i $$

约束条件为：

$$ \sum_{k=1}^{K} b_i^{(k)} \leq B_i $$

其中 $B_i$ 是 Solver $i$ 的总出价预算。

影响

通过将失败成本与时间锁、质押和随机选择等额外机制相结合，我们创建了一个多层次的安全框架，阻止了广泛的恶意行为。多维出价和激励再分配确保 Solver 有动力诚实参与，同时也能从合作行为中受益。这种全面的方法增强了系统的弹性、公平性和效率。

附加价值

在失败成本和 Gas 托管之外引入多个安全层，显著增强了系统对复杂攻击的鲁棒性。通过多样化的激励结构优化 Solver 参与，促进了一个健康且公平的 Solver 生态系统，使 Solver 的利益与系统完整性保持一致。

其他讨论点

在引入多种机制的同时，保持系统的简单性和可用性之间的平衡非常重要。确定系数 $\alpha_k, \beta, \gamma, \lambda$ 和 $\Delta t$ 的最优值，以最大化威慑力，同时最小化意外副作用。评估时间锁承诺对 Solver 灵活性和系统动态的影响，确保合法的 Solver 调整不会受到不必要的限制。此外，确保引入的机制与现有的失败成本和 Gas 托管策略互补，以防止冲突并保持系统的一致性。

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结论

Atlas 框架为增强无许可 Solver 环境中的抗审查性奠定了坚实的数学和经济基础。通过整合失败成本、Gas 托管和均衡出价策略，该框架将 Solver 的激励与系统完整性保持一致，有效阻止了恶意行为并促进了公平竞争。

本文讨论的高级研究探索和数学增强显著扩展了原始框架，解决了新兴挑战并扩大了其适用性。关键增强包括：

• 动态 Gas 定价模型： 结合随机 Gas 价格建模，确保失败成本在波动的网络条件下的弹性。

• 对抗 Sybil 和合谋攻击的鲁棒性： 利用声誉系统和质押机制阻止协调的恶意行为，增强系统安全性。

• 高级声誉系统： 开发全面且动态的声誉评分，使 Solver 的激励与诚实可靠的参与保持一致。

• 激励兼容机制： 通过机制设计原则确保真实出价，保持公平性并防止策略性出价操纵。

• 多阶段拍卖和动态出价： 引入时间性出价阶段和动态出价调整，促进公平性并增强系统对垄断性 Solver 策略的弹性。

• Layer-2 和跨链集成： 将机制扩展到 Layer-2 解决方案并确保跨链互操作性，增强了可扩展性并扩大了其在不同区块链生态系统中的适用性。

• 部分回滚和交易原子性： 实施部分回滚确保对失败的 Solver 操作进行细粒度的惩罚，而不会影响整体交易完整性。

• 替代安全机制： 探索时间锁承诺、随机化 Solver 选择、质押要求、多维出价和激励再分配，创建了一个多层次的安全框架，显著增强了系统的鲁棒性。

这些增强不仅建立在原始数学模型的基础上，还引入了解决密码经济学和区块链安全中复杂挑战的新机制。通过追求这些研究方向，Atlas 框架可以演变成一个更强大、适应性更强且更具弹性的系统，能够在日益复杂和动态的区块链生态系统中保持抗审查性和操作完整性。

• 原文链接： github.com/thogiti/thogi...
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