可变速率GDA - 调整价格来控制代币的发行速度
- Paradigm
- 发布于 2022-08-25 14:59
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本文介绍了一种新的代币发行机制，即可变速率GDA（VRGDA），通过调整价格来控制代币的发行速度，使其接近自定义的时间表。当销售进度超前于时间表时提高价格，而当销售进度落后于时间表时降低价格，是对GDA机制的推广。文中给出了机制的概述和Solidity实现，以及几个示例时间表。
概述
本文介绍了一种新颖的代币发行机制。可变速率 GDA (VRGDA)，专为 Art Gobblers 设计并在 0xMonaco 中使用，使你可以通过在销售领先于计划时提高价格，在销售落后于计划时降低价格，从而随着时间的推移以接近自定义计划的价格出售代币——这是 GDA 机制的推广。
我们提供了该机制的概述以及核心机制和几个示例计划的高度优化、可用于生产的 Solidity 实现。
动机
Art Gobblers 是 Justin Roiland 和 Paradigm 的一项数字艺术实验。该项目的一个重要目标是创建一个自我维持的生态系统，该生态系统可以在没有人为干预的情况下在未来几年蓬勃发展。
该系统中有两个核心 NFT，我们希望任何人都能随时购买其中任何一个。
我们希望首先相对较快地发行两者。随着时间的推移，一个达到固定供应量的上限，而另一个则永远以缓慢的恒定速率发行。
我们力求在保持无缝用户体验的同时实现这些目标，这将允许用户随时购买 NFT，而无需例如等待预定的拍卖。
我们的解决方案是 VRGDA，它是 GDA 的一种泛化，它允许任意调度 NFT 的发行，而不是标准 GDA 的统一线性调度。
机制
构建直觉
假设有一个简单的计划，我们每天要出售 10 个 NFT。我们将第一个 NFT 的起始价格设置为 1 个代币。
假设现在是第 5 天，因此我们应该已经售出 50 个 NFT。但是，需求很高，我们已经售出了 70 个。我们本不应该在第 7 天之前售出 70 个 NFT，因此我们提前了两天。
因此，我们希望在未来收取更高的价格。我们使用指数曲线来确定高多少。这可能会因参数而异，但在这种情况下，我们假设我们使用 $2^\text{days ahead of schedule}$，因此我们将价格提高了一个因子$2^2=4$ 因此，由于我们的初始价格是 1 个代币，新价格将是 4 个代币，从而更难以购买更多的 NFT。
十天后，在第 15 天，我们应该已经售出 150 个 NFT，但是用户仅购买了 120 个，即他们应该在第 12 天购买的数量，这意味着我们落后计划三天。我们将价格调整为，使用户更容易购买更多的 NFT。
十天后，在第 15 天，我们应该已经售出 150 个 NFT，但是用户仅购买了 120 个，即他们应该在第 12 天购买的数量，这意味着我们落后计划三天。我们将价格调整为 $2^{-3}=0.125 $ ，使用户更容易购买更多的 NFT。
构建
参数
$p_0$ - 如果完全按计划出售 NFT，则 NFT 的售价（目标价格）。
k - 在没有购买的情况下，NFT 价格在单位时间内降低的百分比。
f(t) - 发行计划：将 t 映射到计划在该时间售出的 NFT 数量。
目标
我们希望按照特定的时间表发行 NFT。我们将使用的机制是，如果 NFT 的销售领先于计划，则提高价格；如果 NFT 的销售落后于计划，则降低价格。如果销售完全按计划进行，则购买下一个 NFT 的价格将保持不变。
定义
假设我们要按照由$f(t)$ 描述的计划出售 NFT，该计划将时间点映射到我们希望在该时间之前已售出的 NFT 的累计数量。例如，如果我们想每两天出售一个 NFT，我们将定义 $f(t)$ 如下所示：
$f(t) = \frac{t}{2}$
还假设我们要为每个 NFT 使用单独的荷兰式拍卖出售我们的 NFT。如果我们设置每个 NFT 的起始价格为 1，并让该价格以每单位时间 的速率衰减，而没有销售，那么如果在时间 $t$购买，它的价格将是：
$(1-k)^t$ 为了给自己提供实现目标所需的灵活性，我们可以将拍卖的起始点在时间上偏移某个
$s_n$，我们将在下面进行推导，以便在时间 $t$的价格为：
$(1-k)^{t-s_n}$ 如果我们希望目标价格与 1 不同，我们可以乘以一个常数
$p_0$。我们称此调整后的价格为$\texttt{vrgda}_n(t)$：
$\texttt{vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t-s_n}$
确定 $s_n$
根据我们的发行计划 $f$ ， 我们想要在时间$t_n$出售第 $n$个 NFT。 我们可以通过反转$f$来定义$t_n$，以获得从$n$到应该出售的时间的映射：
$t_n = f^{-1}(n)$
VRGDA 目标的一个结果是，如果$n$个 NFT 完全按照其发行计划的目标时间购买，则其价格将为 $p_0$。 正式表达，这意味着如果我们以完全按照目标速率进行销售，那么在时间$t_n$， 第$n$个 NFT 的价格将为：
$p_0(1-k)^{t_n-s_n}=p_0$
通过划分$p_0$进行简化，我们知道以下内容应始终为真：
$(1-k)^{t_n-s_n}=1$
这意味着 $t_n-s_n=0$ 或者 $s_n=t_n$ 。 使用我们上面对$t_n$的定义，我们知道 $s_n = f^{-1}(n)$。
最终公式
通过将$s_n$的这个定义代入$\texttt{vrgda}_n(t)$，我们最终得到以下最终公式：
$\texttt{vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t-f^{-1}(n)}$
简单的发行计划
下面我们演示如何导出一些简单的发行计划以与 VRGDA 公式一起使用。
线性
假设我们要每天出售$r$个 NFT。 那么 $f(t) = rt$，所以$f^{-1}(t) = \frac{t}{r}$ 将此$f^{-1}(t)$插入 VRGDA 定价公式后，我们最终得到以下结果：
$\texttt{linear_vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t-\frac{n}{r}}$
请注意，这与 GDA 同构，这就是为什么我们称 VRGDA 为 GDA 的推广。
平方根
假设我们要以与时间的平方根成比例的速率发行 NFT——例如，首先更快地发行 NFT，然后随着时间的推移发行得更慢，但永远不会停止。
然后，我们可以设置$f(t) = \sqrt{t}$ ，这样在第 1 天，我们售出 1 个 NFT，在第 4 天，我们售出 2 个，在第 9 天，我们售出 3 个，依此类推。
在这种情况下，$f^{-1}(n) = n^2$。 现在，我们只需插入 VRGDA 定价公式即可得到：
$$\texttt{sqrt_vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t-n^2}$$
Logistic 发行计划
与上面的示例相比，Logistic 发行计划有些复杂。 但是，我们仍然选择详细介绍它，因为它提供了一种引导初始增长的方式，而无需强制执行无限的通货膨胀机制。
动机
假设我们想首先快速发行 NFT，然后放慢速度，直到最终发行某个最大数量，就像 Art Gobblers 中的情况一样。
对此建模的一种简洁方法是使用具有正域的 logistic 函数。
推导 $f$
Logistic 函数是一条 S 形曲线。 我们将对其进行稍微简化，并将其定义为：
$$ l(t) =\frac{1}{1 + e^{-t}} $$
当$t$接近负无穷时，此曲线接近 0，当 $t$接近无穷时，此曲线接近 1。
对于我们的特定应用程序，我们不想使用完整的 S 曲线（尽管也可以使用完整的 Logistic VRGDA，它会先慢下来，然后加速，然后再慢下来）。 相反，我们只想使用曲线中$t$为正的部分。
因为$l(0)=0.5$，但是我们希望我们的计划表示在时间 0 出售 0 个 NFT，所以我们需要通过减去 0.5 来向下移动此函数。 这条新曲线将从 0 到 0.5：
$$ h(t) =\frac{1}{1 + e^{-t}}-0.5 $$
我们要发行$L-1$个 NFT（我们选择这个是为了符号方便，因为该函数会在达到 $L$之前趋于稳定），因此我们需要将该函数缩放一个因子 $2L$。
我们还可以引入一个时间缩放参数$s$来调整发行 NFT 的速度：
$$ f(t) =\frac{2L}{1 + e^{-st}}-L $$
为了选择 $s$，观察到：
$$ \frac{f(t)}{L}=\frac{2}{1 + e^{-st}}-1 $$ 此外：
$$ \frac{f(\frac{1}{s})}{L}=\frac{2}{1 + e^{-1}}-1\approx0.46 $$
这意味着我们可以通过选择我们希望大约 46% 的 NFT 被发行的时间来选择$s$。 例如，如果我们希望 46% 的 NFT 在 100 个时间单位后发行，这意味着 $\frac{1}{s}=100$，所以$s=\frac{1}{100}$。
公式
取上面 $f(t)$的倒数得到：
$$ f^{-1}(n) = - \frac{\text{ln}\left(\frac{2L}{L+ n} - 1\right)}{s} $$
将所有这些放在一起，我们最终得到以下公式：
$$ \texttt{logistic_vrgda}_n(t) = p_0(1-k)^{t+ \frac{\text{ln}\left(\frac{2L}{L+ n} - 1\right)}{s}} $$
实现
在 transmission11/VRGDAs 可以找到 VRGDA 和各种发行计划的高度优化、可用于生产且许可宽松 (MIT) 的实现。 欢迎提出改进意见的 Pull Request。
结论
VRGDA 提供了一种使用几乎任何你想要的计划发行 NFT 的方法，同时仍然允许用户随时无缝购买它们。
在 Art Gobblers 的案例中，它们使我们能够自定义我们的社区增长和 UGC 动态。 在 0xMonaco 的案例中，它创造了一个具有挑战性和高度竞争性的游戏循环。
我们相信在 NFT、链上游戏、DeFi 等领域还有许多其他潜在应用。 如果你想探索它们，我们很乐意听取你的意见。 你可以在 Twitter 上通过 @transmissions11、@FrankieIsLost 和 @_Dave__White_ 与我们联系。
我们迫不及待地想看看你构建的内容。
鸣谢： Dan Robinson, samczsun, Riley Holterhus, NN Blossoms, dcfpascal, kootsZhin, Grug, Ben Leimberger, Kiran Cherukuri, Aaru, eva
图形由：Achal Srinivasan
- 原文链接： paradigm.xyz/2022/08/vrg...
- 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～
