优化 DeFi 合约利息计算 gas 消耗

以太坊上合约开发,如何节省gas一直是个很头痛的问题. 在defi应用中, 由于利率是不停的动态变化的,导致用户利息的结算非常复杂, gas消耗非常大,甚至出现, 突破gaslimit, 以下这个图是多少合约开发的噩梦.

常规计算利息方法

最简单的情况, 如果利率是固定的,一年的利息计算是: 利息= 本金 * 利率

用符号表示即为：

$yi = B * yr $

通常我们说的利率是指年利率(yr: year rate)

用户一年后可提取连本带息的资金(记为YI: Year Interest):

$ YI = yi + B = B *( 1 + yr) $

以上是按年整存整取的计算，实际中通常是随存随取的，我们需要把利率折算按天(根据需要可以按区块,按秒)利息的复利，假设每天的利率记为dr，则一年的收益为：

$ YI = B *( 1 + dr)^{365} $

年利率与天利率的换算是：$( 1 + yr) = ( 1 + dr)^{365} $．

为了方便我们把$1 + dr$记为 $dR$ , 则用户$n$天后可提取金额(记为$DI_t$)为:

$ DI_t = B * dR^n $

如: 第100天时一共可提取:

$ DI_{100} = B * dR^{100} $

以上是固定利率的计算方式, 在实际的金融应用中, 汇率会随资金利用率波动(通常有新存款,利率下降,有新贷款利率上升), 实际收益的计算就会是这样:

$dR_i$ 表示某一时间段利率, $n_i$ 表示$dR_i$持续的时间, $t_i$ 表示某段结束时刻，即：$tn = n1+n2+n3+...+ni$

$ DI_{t1} = B * dR_1^{n1} $

$ DI{t2} = DI{t1} * dR_2^{n2} $

$ DI{t3} = DI{t2} * dR_3^{n3} $

这里注意，每次计算的本金实际是复利计算后的结果。

很明显,使用这个计算方式, 随着时间的推移, 计算量指数上涨, 很容易突破区块 gas_limit 。

并且使用这个方式需要存储很多的状态变量：用户存款的金额, 存款的时间, 以及记录下每次利率变化的时间和变化后的利率.

使用单位累积利率

单位累积利率其实是我创新的一个词，我等下给出定义，我们先对上面的公式把$DI_t$代入做一个演算：

$ DI_{t1} = B * $ <font color="red">( </font> $dR_1^{n1}$ <font color="red">) </font>

$ DI_{t2} = B $ <font color="red">( </font> $dR_1^{n1} dR_2^{n2}$ <font color="red">) </font>

$ DI_{t3} = B $ <font color="red">( </font> $dR_1^{n1} dR_2^{n2} * dR_3^{n3} $<font color="red">) </font>

我们把上述括号的部分定义为单位累积利率(chi : cumulate interest) , 这样每个节点可提取金额就可以简化为：

$ DI = B * chi $

标记为chi，是因为 MakerDao 合约代码里也是使用 chi

然后在每次有汇率更新的时候更新chi(chi初始是１)，它与上一次的chi的关系如下：

$ chi{ti} = chi{n-1} * dR ^{ni} $

如果一个用户从初始时刻进行存款, 那么它可提取金额总是 $$ DI = B * chi $$

如果用户在$t$时刻（对应$chi_t$）进行存款, 继续按 $ DI =B * chi $结算的话, 就会相当于多算了$chi_t$的利息, 因此只需要在结算的时候除以$chi_t$。 (也可以用户存款时保存 $B/chi_t$ , 可以理解为单位累积利率下的本金)

采用这个方式计算，$chi$的计算量一直是固定的, 系统只需要记录一个全局的$chi$以及每个用户的本金即可, 非常高效。

做一个简单演算验证, 初始日利息为1.01, 初始 chi = 1, 用户1存入10, 则: (若)第二天用户1提款: chi = 1.01,可提取为 10 1.01 = 10.1; 第三天用户1提款: chi = 1.0201 (1.01的平方) ,用户1可提取为10 1.0201 = 10.201，此时用户2存入100, 日利息降为1.009. 第四天用户2提款: chi = 1.0292809 , 用户2可提取为 100 / 1.0201 * 1.0292809 = 100.9

结果会和常规方式结算的结果完全一致。

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