解决美索不达米亚——以太坊PBS中密封竞标拍卖的奇妙世界

WIP - 进行中的工作

注意：非常感谢 Barnabé Monnot 的审核、指导和反馈。

介绍

在这篇文章中，我们探讨了以太坊提议者建设者分离（PBS）方案中第一价格密封竞标拍卖（FPSBA）和第二价格密封竞标拍卖（SPSBA）中的边缘案例，当传统拍卖理论遇上区块链技术的前沿挑战。

在我们继续之前，快速说明一下：如果你对 PBS¹²、FPSBA 或 SPSBA 概念不熟悉，或者你仅仅希望复习一下，我建议你访问 以太坊PBS中的密封标书拍卖³。这是基础工作，将丰富你对接下来讨论的理解。

在这次探索中，我们冥思苦想那些偏离常规的场景——在这些场景中，诚信和透明度受到损害，系统的完整性面临考验，网络中的参与者利用较少被理解的概念来妨碍拍卖的效率和公平。这些不仅仅是理论上的好奇心；它们对以太坊网络上拍卖的设计和执行具有重要的、切实的影响。对于每种情况，我们将剖析问题，提出建模这些复杂性的办法，并讨论可以帮助缓解这些问题的拍卖和机制设计的战略修改。

所以，让我们开始我们的旅程，一起更好地理解以太坊的拍卖机制，并为其挑战场景寻找实际的解决方案。

不诚实的建设者

描述

这个场景探讨了参与以太坊PBS拍卖的建设者提交人为的低标价或互相合谋时的复杂性。这种不诚实的行为风险了拍卖的完整性和有效性，影响了提议者的收入和整个过程的公平性。

问题强调

不诚实的投标和合谋扭曲了拍卖的真实竞争本质，导致提议者支付减少，并可能破坏系统的长期可持续性。这不仅影响即时的拍卖结果，还可能因感知的不公平性而阻止诚实的参与者与系统进行互动。

建模方法

为了应对这一问题，我们将采用一个数学模型，整合影响建设者行为和拍卖结果的关键变量：

• 建设者不诚实度 Alpha ($\alpha$)：不诚实建设者的比例，从 $\text{Uniform}(0, 1)$ 中抽取。
• 建设者不诚实度 Beta ($\beta_i$)：在 $[0, \beta]$ 中随机的均匀变量，表示不诚实建设者的投标阴影程度。
• 合谋因子 ($\gamma$)：参与合谋的不诚实建设者的比例，从 $\text{Uniform}(0, 1)$ 中抽取。
• 合谋阴影因子 ($\delta$)：合谋建设者进一步降低其投标的附加因素，从 $\text{Uniform}(0, 1)$ 中抽取。

FPSBA和SPSBA中的竞标策略

为了分析这些参数对提议者支付、投标分布和均衡点的影响，我们需要考虑理论和基于模拟的方法。

• 诚实建设者：根据其评估进行投标。
  $B_i = \text{OptimalBid}(V_i)$

• 不诚实的非合谋建设者：通过从 $[0, \beta]$ 中抽取的随机 $\beta_i$ 阴影其投标。
  $B_i = (1 - \beta_i) \text{OptimalBid}(V_i) \quad \text{其中} \quad \beta_i \sim \text{Uniform}(0, \beta)$

• 合谋建设者：在随机 $\beta_i$ 的基础上进一步阴影其投标 $\delta$。
  $B_i = (1 - \beta_i) (1 - \delta) \text{OptimalBid}(V_i) \quad \text{其中} \quad \beta_i \sim \text{Uniform}(0, \beta)$

提议者支付分析

FPSBA

提议者支付：
$P_{\text{FPSBA}} = \max(B_1, B_2, \ldots, B_N)$

其中：

• $B_i$ 是建设者 $i$ 的投标。

SPSBA

提议者支付：
$P_{\text{SPSBA}} = \max_{i \neq j} (B_i)$

其中：

• $B_i$ 是建设者 $i$ 的投标。
• $B_j$ 是最高投标。

均衡分析

要理解均衡行为，我们需要分析投标策略及其如何受到参数 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 和 $\delta$ 的影响。

诚实投标策略

对于诚实的建设者，投标策略非常简单：
$B_i = \text{OptimalBid}(V_i)$

不诚实投标策略

对于不诚实的非合谋建设者，投标策略为：
$B_i = (1 - \beta_i) \text{OptimalBid}(V_i) \quad \text{其中} \quad \beta_i \sim \text{Uniform}(0, \beta)$

合谋投标策略

对于合谋建设者，投标策略进一步降低投标：
$B_i = (1 - \beta_i) (1 - \delta) \text{OptimalBid}(V_i) \quad \text{其中} \quad \beta_i \sim \text{Uniform}(0, \beta)$

影响分析

• 提议者支付：提议者支付受到参数 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 和 $\delta$ 的显著影响。更高的 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 通常会导致提议者支付减少，而 $\delta$ 在涉及合谋投标时进一步降低支付。
• 投标分布：建设者的不诚实和合谋程度影响投标的分布。不诚实投标导致较低投标的分布更广，而通过 $\delta$ 进一步降低的合谋投标则集中在较低值。
• 均衡点：均衡随着 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 和 $\delta$ 的变化而变动，影响建设者的策略。不诚实和合谋较高的水平往往将均衡推向更低的投标值。
• $\alpha$ 的影响（不诚实建设者的比例）：
  • 随着 $\alpha$ 的增加，不诚实建设者的数量增加。这将导致整体上投标降低，因为 $\beta_i$ 阴影了投标。
  • 更高的 $\alpha$ 可能在 FPSBA 中减少提议者支付，因为最高投标可能会被阴影。
  • 在 SPSBA 中，第二高的投标也可能被阴影，从而潜在减少提议者支付，尽管这种影响可能低于 FPSBA 中的影响。
• $\beta$ 的影响（不诚实建设者投标阴影的程度）：
  • 随着 $\beta$ 的增加，投标阴影的程度增加。这导致不诚实建设者的投标降低。
  • 更高的 $\beta$ 将在 FPSBA 和 SPSBA 中减少提议者支付。
  • 投标阴影会使均衡向下推移，可能改变获胜投标的分布。
• $\gamma$ 的影响（合谋建设者的比例）：
  • 随着 $\gamma$ 的增加，合谋建设者的数量增加。这导致附加因子 $\delta$ 的协调投标阴影。
  • 更高的 $\gamma$ 可能在 FPSBA 中进一步减少提议者支付，因为合谋投标进一步被阴影。
  • 在 SPSBA 中，协调投标阴影可以降低第二高的投标，影响提议者支付。
• $\delta$ 的影响（合谋建设者的额外阴影因子）：
  • 随着 $\delta$ 的增加，合谋建设者的投标进一步降低。
  • 更高的 $\delta$ 在 FPSBA 和 SPSBA 中会导致提议者支付下降。
  • $\delta$ 的存在可能显著改变均衡，使合谋投标远低于非合谋投标。

不诚实的提议者 - 投标泄露

描述

在这个具体的分析中，我们研究不诚实提议者泄露投标信息的情况（或通过其他投标者泄露的投标）。此案例主要关注这种投标泄露（无论是确定性还是概率性）对拍卖流程完整性和战略投标行为的影响。

问题陈述

投标泄露发生在一个投标者的投标被另一个投标者知晓时，可能影响他们的投标策略和整体拍卖结果。此分析旨在探讨在第一价格拍卖（FPA）和第二价格拍卖（SPA）中投标泄露的影响，重点关注不同泄露概率对第一移动者（FM）和第二移动者（SM）的剩余价值、卖方（提议者）收入和整体拍卖效率的影响。

研究投标泄露的建模方法

为了彻底调查投标泄露的影响，我们考虑确定性泄露（其中概率 $p = 1$）和概率性泄露（其中 $0 < p < 1$）的场景，分析建设者如何根据泄露信息调整他们的策略及其对拍卖结果和均衡的后续影响。

投标泄露的场景

• 确定性投标泄露 ($p = 1$)
• 概率性投标泄露 ($0 < p < 1$)

假设

• 均匀分布：建设者的评估 $v$ 在 $[0, 1]$ 中均匀分布。
• 两名建设者：为简化考虑，我们只考虑两个建设者。
• 投标泄露概率 $p$ ：第一个建设者的投标被泄露给第二个建设者的概率。

在不失一般性的情况下，分析可以轻易扩展到任何估值分布和多个建设者。

定义

• 第一移动者（FM）：第一位提交投标的建设者 $b_1(v_1)$。
• 第二移动者（SM）：第二位建设者，可能以概率 $p$ 看到 $b_1$ ，然后提交 $b_2(b_1, v_2)$，或者以概率 $1 - p$ 提交 $b_2(∅, v_2)$ 。

第一价格拍卖（FPA）的数学模型

均衡策略

• 第一移动者（FM）：
  • 投标函数：$b_1(v_1) = \frac{v_1}{2 - r}$，其中 $r$ 是风险厌恶参数。
• 第二移动者（SM）：
  • 如果 $b_1 \leq v_2$：$b_2(b_1, v_2) = b_1$。
  • 如果 $b_1 > v_2$：$b_2(b_1, v_2) < b_1$。

期望收益

• FM：$E[\pi_{FM}] = \int_0^1 \left[ (1 - p) \left( v_1 - \frac{v_1}{2 - r} \right) + p \left( v_1 - b_2(b_1, v_2) \right) \right] f(v_1) dv_1$
• SM：$E[\pi_{SM}] = \int_0^1 \left[ p \left( v_2 - b_1 \right) + (1 - p) \left( v_2 - \frac{v_2}{2 - r} \right) \right] f(v_2) dv_2$

均衡投标策略

• 第一移动者（FM）：$b_1(v_1) = \frac{v_1}{2 - r}$
• 第二移动者（SM）：
  • 如果 $b_1 \leq v_2$：$b_2(b_1, v_2) = b_1$
  • 如果 $b_1 > v_2$：$b_2(b_1, v_2) < b_1$

投标泄露的影响

• 以概率 $p$，SM 看到 FM 的投标：
  • 如果 $SM$ 看到 $b_1$，他们可以出价以赢得其评估较高的投标，即 $b_2 = b_1$。
  • 如果 $SM$ 没有看到 $b_1$（$1 - p$），他们将基于自己的评估出价：$b_2 = \frac{v_2}{2 - r}$。

期望收益

• FM 剩余:

  $E[\pi_{FM}] = \int_0^1 \left[ (1 - p) \left( v_1 - \frac{v_1}{2 - r} \right) + p \left( v_1 - b_2(b_1, v_2) \right) \right] f(v_1) dv_1$

• SM 剩余:

  $E[\pi_{SM}] = \int_0^1 \left[ p \left( v_2 - b_1 \right) + (1 - p) \left( v_2 - \frac{v_2}{2 - r} \right) \right] f(v_2) dv_2$

拍卖效率

• 效率损失：

  $\text{Efficiency Loss} = \int_0^1 \int_0^1 \left[ \text{Higher Bidder's Valuation} - \text{Winning Bid} \right] dv_1 dv_2$

在 FPA 中，效率损失随着投标泄露概率 $p$ 的增加而增加，因为 SM 可以利用泄露的信息以较低的投标获胜。

第二价格拍卖（SPA）的数学模型

均衡策略

• SP-真诚：
  • $b_2(b_1, v_2) = v_2$
• SP-恶意：
  • $b_2(b_1, v_2) \approx b_1$
• SP-合作：
  • $b_2(b_1, v_2) = 0$

期望收益

• FM：取决于所选择的均衡（真诚、恶意、合作）。
• SM：取决于选择的均衡和投标泄露概率。

参考文献

• 原文链接： github.com/thogiti/thogi...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～

Footnotes

1. https://learnblockchain.cn/article/13363 ↩

2. https://thogiti.github.io/2024/03/28/ePBS.html ↩

3. https://thogiti.github.io/2024/05/28/Sealed-Bids-in-Ethereum-PBS-Impact-on-Proposer-Builder-Dynamics.html ↩