TTSWAP 创新性地构建了基于恒定价值的交易协议 (Constant Value AMM)。相比传统 AMM，TTSWAP 深度贴近用户核心诉求：人人皆可获利,极致降低损耗,本金安全至上,驱动收益倍增,公平透明社区.
附录 C: 价值不相同情况下的公式推导与 Balancer 等价性证明
本附录将深入分析当 $V_A \neq V_B$ 时，TTSWAP 交易模型的数学特性，并证明其在微小增量下（Spot Price）与 Balancer 加权公式的完全等价性，以及在大额交易下的高度拟合性。
1. Balancer 模型回顾
Balancer 采用加权恒定乘积公式 (Weighted Product Formula)：
$$ (Q_A)^{W_A} \cdot (Q_B)^{WB} = k $$
其兑换价格 (Spot Price) 取决于储备量比率与权重比率：
$$ SP{Balancer} = \frac{Q_B / W_B}{Q_A / WA} \cdot \frac{1}{1 - \text{fee}} $$
(忽略手续费后，且以 A 计价 B)
$$ SP{Balancer} = \frac{Q_A}{W_A} / \frac{Q_B}{W_B} = \frac{Q_A \cdot W_B}{Q_B \cdot W_A} $$
2. TTSWAP 模型的边际价格推导
我们通过对 TTSWAP 的核心公式求导来计算边际价格。
输入侧 (Token A -> Value):
$$ \Delta V = \frac{2 V_A \Delta a}{2 QA + \Delta a} $$
当 $\Delta a \to 0$ 时 (微分视角)：
$$ dV = \lim{\Delta a \to 0} \frac{2 V_A \Delta a}{2 Q_A} = \frac{V_A}{Q_A} da $$
输出侧 (Value -> Token B):
$$ \Delta b = \frac{2 Q_B \Delta V}{2 VB + \Delta V} $$
当 $\Delta V \to 0$ 时：
$$ db = \lim{\Delta V \to 0} \frac{2 Q_B \Delta V}{2 V_B} = \frac{Q_B}{V_B} dV $$
综合兑换率 (Spot Price):
联立上述两式：
$$ db = \frac{Q_B}{V_B} \cdot (\frac{V_A}{Q_A} da) $$
即瞬时兑换率：
$$ \frac{db}{da} = \frac{Q_B}{V_B} \cdot \frac{V_A}{Q_A} $$
因此，TTSWAP 的瞬时价格 (Spot Price) 为：
$$ SP_{TTSWAP} = \frac{da}{db} = \frac{1}{\frac{Q_B V_A}{V_B Q_A}} = \frac{Q_A V_B}{Q_B V_A} $$
3. 等价性对比
| 参数 |
Balancer (加权池) |
TTSWAP (恒定价值) |
| 权重定义 |
权重 $W_i$ |
市场价值 $V_i$ |
| 现货价格 |
$SP = \frac{Q_A \cdot W_B}{Q_B \cdot W_A}$ |
$SP = \frac{Q_A \cdot V_B}{Q_B \cdot V_A}$ |
结论 1 (Spot Price 等价性)：
只要我们将 TTSWAP 中的市场价值 $V$ 视为 Balancer 中的权重 $W$，两者的现货价格逻辑是完全等价的。
即：
$$ \frac{V_A}{V_B} \iff \frac{W_A}{W_B} $$
4. 大额交易的曲线拟合
Balancer 的指数曲线具有恒定的弹性，而 TTSWAP 使用的是调和平均曲线 (双曲线的一种形式)。
虽然在大额交易 ($\Delta a$ 较大) 时，两者的滑点曲线会有微小差异，但数学性质高度一致：
- 凸性 (Convexity)：两者都是凸函数，确保价格随着购买量的增加而增加 (滑点)。
- 渐近线：两者都存在渐近线，即无法买空池子。
- 计算复杂度：
- Balancer: 需要计算分数次幂 $(x^{W_A/W_B})$，链上实现复杂，消耗大量 Gas。
- TTSWAP: 仅涉及加减乘除，Gas 消耗恒定且极低。
结论 2 (工程优势)：
TTSWAP 在保持与加权池相同的定价逻辑 (Spot Price) 和市场深度行为的同时，通过代数近似消除了指数运算，实现了 DeFi 协议中罕见的 O(1) 复杂度加权交易体验。这意味着它能以 Uniswap 级别的低 Gas 费，实现 Balancer 级别的多资产组合管理能力。
