yETH 思考

yETH的核心公式: $$ \chi D^{n-1}\sum_ix_i+\prod_ix_i^{v_i}=\chi D^{n-1}+(\frac{D}{f})^n $$ 其中: $$ \chi=A\frac{\prod_ix_i^{v_i}}{(\frac{D}{f})^n} $$

Curve的公式推導

yETH的公式變形自Curve Stable Pool 公式, 即: $$ An^n\sum x_i+D=ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^n\prod x_i} $$ 我們先重溫一下curve的公式推導: $$ \sum x_i=D \ \prod x_i=(\frac{D}{n})^n $$ 這兩個公式的含義分別是:

恆定和公式 和 恆定乘積公式. 分別代表了兩種不同的兌換曲線思路.

恆定和公式: $\sum x_i=D$ 代表了互相配對的代幣之間可以按照固定斜率兌換, 其兌換曲線是$y=kx+b$. 這種曲線的優勢是對於配對的代幣, 比如USDT/USDC, ETH/stETH之類有很好的價格, 在整條曲線範圍內無窮大. 但是缺陷是當池子極度不平衡的時候, 理應產生滑點來保護池子或者LP, 但是並沒有.

恆定乘積公式: $\prod x_i=K=(\frac{D}{n})^n$ , 這是uniswapV2提出的, 廣泛應用於兌換場景, 其兌換曲線是$xy=k$. 他的優勢是兌換都會產生價格滑點,可以有效的保護池子. 缺陷是在均衡點附近的價格變化太大, 導致不適用於配對代幣的兌換.

所以Curve提出了著名的Curve Stable曲線, 將恆定和 和 恆定乘積兩條曲線按照一定的權重揉合在一起, 使得其在均衡點附近有比較好的兌換比例.

核心思路是找到一個放大比例$\chi$, 使得$\chi=0$時, 兌換以恆定和; $\chi=+\infty$時, 兌換以恆定乘積;並且$\chi$應該隨著池子的狀態動態變化. 即兌換公式應該是: $$ y=\prod x_i + \chi \sum x_i $$ 並且注意到, 恆定和公式中, D是1次方; 恆定幾公式中, D是N次方. D相差N-1次方.

所以放大比例實際是: $$ \chi D^{n-1} $$ 則: 首先對恆定和兩邊同時乘上放大比例: $$ \chi D^{n-1} \sum x_i = \chi D^{n-1}D=\chi D^n $$ 然後把恆定乘積加上: $$ \chi D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i=\chi D^n + (\frac{D}{n})^n $$ 然後我們需要對放大比例$\chi$進行定義:

它需要滿足如下條件:

• 如果是均衡點, 那麼他應該就是常量 放大係數A

• 如果不在均衡點, 它應該趨近於0

於是定義為: $$ \chi=A\frac{\prod x_i}{(\frac{D}{n})^n} $$ 代入整理即: $$ A\frac{\prod x_i}{(\frac{D}{n})^n}D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i=A\frac{\prod x_i}{(\frac{D}{n})^n}D^n+(\frac{D}{n})^n $$

yETH的思路

在curve的stable pool的基礎上, yETH觀察到:

• curve假設每一個token的權重是一樣的, 即在均衡點, tokenA與tokenB是同等重要.

但是很多池子中, 每個token的權重可以是不一樣的, 比如balancer的weighted pool.

於是能不能把token的weight引入到curve的stable pool上呢?

即: $$ \sum x_i=D \ \prod x_i^{w_i \cdot n} = (\frac{D}{f})^n \space \space \space \text{with} \space \space \space \sum w_i=1 $$ 定義: $$ \frac{1}{f}=\prod w_i^{w_i} \ v_i=w_i n $$ 核心是如何定義D?

D在curve中的定義是均衡點處各個token之和. 均衡點是各個token的價格相等的位置.

The constant D has a meaning of total amount of coins when they have an equal price

針對均衡點, 每一個token的數量$x_i=D \cdot w_i$

於是代入上述方程, 均衡點時滿足: $$ \sum x_i = \sum D \cdot w_i = D \ $$

$$ \prod x_i^{w_i \cdot n} = \prod (D \cdot w_i)^{w_i \cdot n} \=(\prod (w_i^{w_i}\cdot D^{w_i}))^n \=(\prod w_i^{w_i} \cdot \prod D^{w_i})^n \=(\prod w_i^{w_i} \cdot D^{\sum w_i})^n \=(D\prod w_i^{w_i})^n \=(\frac{D}{f})^n $$

同理, 定義放大比例$\chi$ , 其滿足相同的條件:

• 如果是均衡點, 那麼他應該就是常量 放大係數A

• 如果不在均衡點, 它應該趨近於0

$$ \chi = A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{(\frac{D}{f})^n} $$

同理, 再觀察到相差 $D^{n-1}$次方

於是:首先對恆定和兩邊同時乘上放大比例: $$ \chi D^{n-1}\sum x_i = \chi D^{n-1} D =\chi D^n $$ 然後把恆定乘積加上: $$ \chi D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i^{v_i}=\chi D^n + (\frac{D}{f})^n $$ 代入$\chi$ $$ A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{(\frac{D}{f})^n} D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i^{v_i}=A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{(\frac{D}{f})^n} D^n + (\frac{D}{f})^n $$ 整理: $$ Af^n \sum x_i + D = Af^nD+ \frac{D^{n+1}}{f^n \prod x_i^{v_i}} $$