零知识证明 - zkSNARK入门

通过这篇文章,能快速建立零知识证明的逻辑框架。

理解逻辑,和写文章是两种能力。理解逻辑是将逻辑整理抽象,写文章是将逻辑丰富的过程。很多工程师大量训练的是抽象能力,不愿意写文章,因为觉得“烦”,再复杂的逻辑经过抽象整理后,就是几句话,甚至一句话。在抽象逻辑完成之后,工程师也就满足了。而这样的抽象,是很少人能理解或者说普通人都不懂的。写文章,是将抽象逻辑丰富化,和普通人的逻辑快速建立连接,引导普通人理解抽象后的逻辑。

网络上讲解零知识证明的文章就不多,这些文章要不太浅显,要不太深入,很少有能给入门者整体框架上的认识。

比如,阿里巴巴零知识证明就是一个非常好的通俗理解零知识证明的例子:

阿里巴巴被强盗抓住,为了保命,他需要向强盗证明自己拥有打开石门的密码,同时又不能把密码告诉强盗。他想出一个解决办法,先让强盗离开自己一箭之地,距离足够远让强盗无法听到口令,足够近让阿里巴巴无法在强盗的弓箭下逃生。阿里巴巴就在这个距离下向强盗展示了石门的打开和关闭。

这个整个过程就是零知识证明,证明者能够在不向验证者提供任何有用信息(石门的口令)的情况下,使验证者相信某个论断(阿里巴巴知道打开石门的方法)是正确的。

技术人除了通俗的理解零知识证明外,还需要对零知识的理论和推导过程深入理解运用。以太坊的这篇blog,比较适合想深入理解零知识证明的小伙伴。

本篇文章也是这篇 blog 的翻译和我自己的理解。通过这篇文章,能快速建立零知识证明的逻辑框架。虽然这篇文章有些推导公式,但是相对简单,小伙伴可以耐心阅读。

0 - 零知识证明

先给出零知识证明的逻辑框架:

零知识证明的基本概念

零知识证明,zkSNARKzero-knowledge Succint Non-interactive ARguments of Knowledge 的简称:

  • Succinct:证明的数据量比较小
  • Non-interactive:没有或者只有很少交互。
  • ARguments:验证者只对计算能力有限的证明者有效。拥有足够计算能力的证明者可以伪造证明。这也叫“计算可靠性"(相对的还有”完美可靠性")。
  • of Knowledge:对于证明者来说在不知道证据(Witness,比如一个哈希函数的输入或者一个确定 Merkle-tree 节点的路径)的情况下,构造出一组参数和证明是不可能的。

零知识证明大体由四部分组成:

  • 多项式问题的转化 - 需要证明的问题转化为多项式问题 t(x)h(x) = w(x)v(x),证明者提交证明让验证者确认多项式成立。
  • 随机挑选验证 - 随机选择验证的数值 s,验证 t(s)h(s) = w(s)v(s)。相对于验证多项式相等 t(x)h(x) = w(x)v(x),随机挑选验证,简单,验证数据少。随机挑选验证,安全性肯定不及多项式等式验证,但如果确实足够随机,安全性还是相当高的。
  • 同态隐藏 - 同态隐藏指的是函数的一种特性。输入的计算和输出的计算保持“同态”。以加法同态为例,满足如下的三个条件的函数 E(x),称为加法同态:1. 给定 E(x),很难推导出 x. 2. 不同的输入,对应不同输出 3. E(x+y) 可以由 E(x),E(y)计算出来。乘法同态类似。
  • 零知识 - 证明者和验证者之间除了“问题证明与否”知识外,不知道其他任何知识(不知道随机挑选值,不知道挑选值的多项式计算结果等等)。

在了解零知识的基础概念上,慢慢推导整个零知识证明过程,先从 NP 问题说起。

1 - NP 问题以及约化

解决一个问题需要花费时间。如果解决问题需要的时间与问题的规模之间是多项式关系,则可以称该问题具有多项式复杂度。一般问题可分成两类:P 问题NP 问题。P 问题指的是在多项式时间内可解的问题。 NP 问题(Non-Deterministic Polynomial Problem,非确定性多项式问题),指不能在多项式内可解,但是可以在多项式时间内验证的问题。

很显然,P 问题也是 NP 问题,但是是否 NP 问题是 P 问题,NP=P?,目前为止还没有人能证明。一般认为,NP 问题不等于 P 问题,也就是说,NP 问题不存在多项式解法。

约化(Reduction),可以理解成问题的转化。对任意一个程序 A 的输入,都能按某种法则变换成程序 B 的输入,使两程序的输出相同,那么,可以说,问题 A 可约化为问题 B。

NPC 问题,是一个 NP 问题,并且,其他所有的 NP 问题都能归约到它。简单的说,NP 问题之间可以相互归约,一个 NP 问题求解,其他 NP 问题一样能求解。

举例说明,NP 问题以及 NP 问题的归约。

布尔公式满足性问题(SAT 问题,boolean formula satisfiability) 就是一个 NP 问题。布尔公式定义如下:

  • 假设变量 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , ... 是布尔公式
  • 假设 f 是布尔公式, $\lnot f$ 也是布尔公式(取反)
  • 假设 f 和 g 是布尔公式, $f \land g$ 和 $f \lor g$ 也是布尔公式(与和或)

一个布尔公式可满足,指输入是 0/1 的情况下,存在输出为真。SAT 问题指,找出所有可满足的布尔公式。SAT 问题看上去,除了枚举一个个可能的布尔公式外,没有更好的办法,也就是多项式时间内不可解。如果知道一个可满足的布尔公式,验证非常方便(输入是 0/1 的情况下,看看输出是否为真)。SAT 问题是 NP 问题。

再看看另外一个 NP 问题:PolyZero 问题。PolyZero 问题指某个多项式满足:多项式输入是 0 或 1 的情况下,多项式输出为 0。

$$ PolyZero(f) := 1 $$

f 满足输入是 0/1 的情况下,多项式输出为 0。

一个布尔表达式 f 可以通过如下的归约函数 r,转化为多项式:

  • $$ r(x_i) := (1-x_i) $$
  • $$ r(\lnot f) := (1-r(f)) $$
  • $$ r(f \land g) := (1- (1 - r(f))(1 - r(g))) $$
  • $$ r(f \lor g) := r(f)r(g) $$

也就是说,一个 SAT 问题,通过归约函数 r,可以归约为一个 PolyZero 问题:f 是可满足的,当且仅当 r(f)输出为 0。

$$ SAT(f) = PolyZero(r(f)) $$

总结一下,NP 问题是在多项式时间内无解,但是可以多项式时间验证的问题。NP 问题可以相互归约。

2 - QSP 问题

需要证明的问题,肯定是 NP 问题,如果是 P 问题,不存在问题解的”寻找“,也就不存在证明。简单的说,zkSNARK 问题处理的都是 NP 问题。既然 NP 问题相互可以归约,首先需要确定一个 NP 问题,其他 NP 问题都可以归约到这个 NP 问题,再进行证明。也就是,证明了一个 NP 问题,就可以证明所有 NP 问题。

QSP 问题是个 NP 问题,也特别适合 zkSNARK。为啥特别适合,目前还不需要深究。有相关的论文论证

QSP 问题是这样一个 NP 问题:给定一系列的多项式,以及给定一个目标多项式,找出多项式的组合能整除目标多项式。输入为 $n$ 位的 QSP 问题定义如下:

  • 给定多个多项式: $v_0, ... , v_m, w_0, ... , w_m$
  • 目标多项式: $t$
  • 映射函数: $$ f: \left{(i, j) |1\leq i \leq n, j\in{0,1} \right} \to \left{1, ... m\right} $$

给定一个证据(Witness)u,满足如下条件,即可验证 u 是 QSP 问题的解:

  • $$ a_k, b_k = 1\ \ 如果 k = f(i, u[i]) $$
  • $$ a_k, b_k = 0\ \ 如果 k = f(i, 1- u[i]) $$
  • $$ v_aw_b能整除\ t,其中v_a = v_0 + a_1v_1 + ... + a_mv_m, w_b = w_0 + b_1w_1+ ... + b_mw_m $$

对一个证据 u,对每一位进行两次映射计算( $u[i]$ 以及 1 $-u[i]$ ),确定多项式之间的系数。因为针对证据 u 的每一位,计算两次,确定多项式之间的系数,如果 2n < m ,多项式的选择还是有很大的灵活性。

如果证明者知道 QSP 问题的解,需要提供证据(也就是 u)。验证者在获知证据 u 的情况下,按照上述的规则恢复出多项式的系数,验证 $v_av_b$ 是否能整除 $t$ : $th=v_aw_b$ 。为了方便验证者验证,证明者可以同时提供 $h$ 。在多项式维度比较大的情况下,多项式的乘法还是比较复杂的。

有个简单的想法,与其验证者验证整个多项式是否相等,不如随机挑选数值进行验证。假设验证者随机挑选验证数值 s,验证者只需要验证 $t(s)h(s)=v_a(s)w_b(s)$ 。

以上是基础知识,下面开始介绍 zkSNARK 的证明过程。在继续深入一个 QSP 问题证明细节之前,先看看一个多项式问题的证明过程。

3 - 多项式问题的证明过程

假设一个多项式

$$ f(x)=a_0+a_1x+a2x^2+ ... + a{d-1}x^{d-1}+a_dx^d $$

。证明一个多项式,即给定一个输入 $x$ ,提供 $f(x)$ 的证明。

3.1 有线群论基础(椭圆曲线)

定一个有限群,生成元是 $g$ ,阶为 $n$ ,则该群包括如下的元素: $g^0,g^1,g^2, ... ,g^{n-1}$ 。通过有限群加密的方式很简单: $E(x) := g^x$ 。也就是说,得知 $g^x$ 的情况下,不能反推出 $x$ 。

3.2 选定随机数

验证者随机选择一个有限群中的元素,比如 $s$ 。提供如下的计算结果( $s$ 的不同阶的加密结果):

$E(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$

在生成这些计算结果后, $s$ 就不需要了,可以忘记。

3.3$E(f(s))$ 计算

举个例子, $f(x) = 4 + 2x + 4x^2$ , $E(f(s)) = E(s^0)^4E(s^1)^2E(s^2)^4$ 。显然, $E(f(s))$ 可以不知道 $s$ 的情况下,通过验证者提供的数据计算出来。

3.4$\alpha$ 对

注意的是,验证者是不知道待证明的多项式参数的,即使证明者提供了 $E(f(s))$ ,验证者也无法验证。 $\alpha$ 对的方法可以让验证者确认证明者是通过多项式计算出结果。 在 3.2 的基础上,验证者还随机选择另外一个元素 $\alpha$ ,并提供额外的计算结果:

$E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$

证明者需要提供 $E(f(s))$ 和 $E(\alpha f(s))$ 。

$E(f(s)) = E(s^0)^4E(s^1)^2E(s^2)^4$

$E(\alpha f(s)) = E(\alpha s^0)^4E(\alpha s^1)^2E(\alpha s^2)^4$

3.5 配对函数

配对函数$e$,满足如下定义:

$e(g^x, g^y) = e(g, g)^{xy}$

验证者验证$\alpha$对的方式很简单,检验如下的等式是否成立:

$e(E(f(s)), g^\alpha) = e(E(\alpha f(s)), g) $

假设$A= e(E(f(s)), B=E(\alpha f(s))$推导过程如下:

$e(A, g^\alpha) = e(E(f(s)), g^\alpha) = e(g^{f(s)}, g^\alpha) = e(g, g)^{\alpha f(s)}$

$e(B, g) = e(E(\alpha f(s)), g) = e(g^{\alpha f(s)}, g) = e(g, g)^{\alpha f(s)}$

到此为止,验证者提供$\alpha$对的情况下,证明者可以证明通过某个多项式计算出某个结果,验证者不知道具体的多项式的参数。

3.6 $\delta $ 偏移

更进一步,证明者采用$\delta $ 偏移,甚至不想让验证者知道$E(f(s))$。采用$\delta $ 偏移,证明者不再提供$A$和$B$,而是随机一个$\delta $参数,提供$A'$和$B'$。

$A' = E(\delta + f(s)) = g^{\delta + f(s)} = g^\delta g^{f(s)} = E(\delta)E(f(s)) = E(\delta)A$

$B' = E(\alpha (\delta + f(s))) = E(\alpha\delta + \alpha f(s)) = g^{\alpha \delta + \alpha f(s)} = E(\alpha)^\delta E(\alpha f(s)) = E(\alpha)^\delta B$

很显然,验证者从$A'$无法推导出$E(f(s))$,但验证者一样能验证$\alpha$对的配对函数是否成立:

$e(A', g^\alpha) = e(E(\delta + f(s)), g^\alpha) = e(g^{\delta + f(s)}, g^\alpha) = e(g, g)^{\alpha (\delta + f(s))}$

$e(B, g) = e(E(\alpha (\delta + f(s)), g) = e(g^{\alpha (\delta + f(s))}, g) = e(g, g)^{\alpha (\delta + f(s))}$

多项式的整个证明过程如下图所示:

4 - QSP问题的skSNARK证明

skSNARK证明过程分为两部分:a) setup阶段 b)证明阶段。QSP问题就是给定一系列的多项式$v_0, ..., v_m, w_0, ..., w_m$以及目标多项式$t$,证明存在一个证据$u$。这些多项式中的最高阶为$d$。

4.1 setup和CRS

CRS - Common Reference String,也就是预先setup的公开信息。在选定$s$和$\alpha$的情况下,发布如下信息:

  • $s$和$\alpha$的计算结果

    $E(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$

    $E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$

  • 多项式的$\alpha$对的计算结果 $E(t(s)), E(\alpha t(s))$

    $E(v_0(s)), ... E(v_m(s)), E(\alpha v_0(s)), ..., E(\alpha v_m(s))$

    $E(w_0(s)), ... E(w_m(s)), E(\alpha w_0(s)), ..., E(\alpha w_m(s))$

  • 多项式的$\beta_v, \beta_w, \gamma$ 参数的计算结果

    $E(\gamma), E(\beta_v\gamma), E(\beta_w\gamma)$

    $E(\beta_vv_1(s)), ... , E(\beta_vv_m(s))$

    $E(\beta_ww_1(s)), ... , E(\beta_ww_m(s))$

    $E(\beta_vt(s)), E(\beta_wt(s))$

4.2 证明者提供证据

在QSP的映射函数中,如果2n < m,1, ..., m中有些数字没有映射到。这些没有映射到的数字组成$I_{free}$,并定义($k$为未映射到的数字):

$v_{free}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

证明者需提供的证据如下

  • $V{free} := E(v{free}(s)), \ W := E(w(s)), \ H := E(h(s)),$

  • $V{free}' := E(\alpha v{free}(s)), W' := E(\alpha w(s)), H' := E(\alpha h(s)), $

  • $Y := E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))$

$V{free}/V{free}', W/W', H/H' 是 \alpha 对,用以验证 v_{free}, w, h是否是多项式形式。$

$t 是已知,公开的,毋需验证。 Y 用来确保 v_{free}(s) 和 w(s) 的计算采用一致的参数。$

4.3 验证者验证

在QSP的映射函数中,如果2n < m,1, ..., m中所有映射到的数字作为组成系数组成的二项式定义为(和$v_{free}$互补):

$v_{in}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

验证者需要验证如下的等式是否成立:

  • $e(V{free}', g) = e(V{free}, g^\alpha), e(W', E(1)) = e(W, E(\alpha)), e(H', E(1)) = e(H, E(\alpha))$

  • $e(E(\gamma), Y) = e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W)$

  • $e(E(v0(s))E(v{in}(s))V_{free}, E(w_0(s))W) = e(H, E(t(s)))$

$第一个(系列)等式验证 V{free}/V'{free} , W/W', H/H' 是否是 \alpha 对。$ $第二个等式验证 V{free} 和 W 的计算采用一致的参数。$ $因为v{free}和w都是二项式,它们的和也同样是一个多项式,所以采用\gamma 参数进行确认。$ 证明过程如下:

$e(E(\gamma), Y) = e(E(\gamma), E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))) = e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))}$

$e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W) = e(E(\betav\gamma), E(v{free}(s)))e(E(\beta_w\gamma), E(w(s))) $ $= e(g,g)^{(\betav\gamma)v{free}(s)}e(g,g)^{(\beta_w\gamma)w(s)} = e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))}$

第三个等式验证$v(s)w(s) = h(s)t(s)$,其中$v0(s)+v{in}(s)+v_{free}(s) = v(s)。$

简单的说,逻辑是确认$v, w, h$是多项式,并且$v,w$采用同样的参数,满足$v(s)w(s) = h(s)t(s)$。

到目前为止,整个QSP的zkSNARK的证明过程逻辑已见雏形:

4.4 $\delta $ 偏移

为了进一步“隐藏” $V{free} 和 W,额外需要采用两个偏移: \delta{free} 和 \deltaw$。 $v{free}(s)/w(s)/h(s)$进行如下的变形,验证者用同样的逻辑验证。

 $v{free}(s) \rightarrow v{free}(s) + \delta_{free}t(s)$  $w(s) \rightarrow w(s) + \deltawt(s)$  $h(s) \rightarrow h(s)+\delta{free}(w_0(s) + w(s)) + \delta_w(v0(s) + v{in}(s) + v{free}(s)) + (\delta{free}\delta_w)t(s)$

至此,zkSNARK的推导逻辑就基本完整。使用zkSNARK证明,由如下的几步组成:

1/ 问题转化: 一个需要证明的NP问题转化为选定的NP问题(比如QSP问题)

2/ 设置参数(setup):设置参数的过程也是挑选随机数的过程,并提供CRS

3/ 证明者获取证据u,通过CRS计算证据(proof)

4/ 验证者验证证据以及响应的proof

总结

零知识证明由四部分组成:多项式问题的转化,随机挑选验证,同态隐藏以及零知识。需要零知识证明的问题先转化为特定的NP问题,挑选随机数,设置参数,公布CRS。证明者,在求得证据的情况下,通过CRS计算出证据。验证者再无需其他知识的情况下可以进行验证。

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  • 发表于 2019-04-18 15:10
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Star Li
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