常数乘积自动化做市商：你需要了解的一切

自动化市场制造商 (AMM) 在去中心化金融 (DeFi) 领域中发挥着关键作用，促进流动性提供和交易。该领域的一个关键概念是 恒定乘积 AMM，它支撑着流行的去中心化交易所如 Uniswap 和 SushiSwap。

在本文中，我们将深入探讨恒定乘积自动化市场制造商，解密添加和移除流动性的数学原理。

什么是恒定乘积公式？

恒定乘积 AMM 是一种 AMM，其中代币的价格由以下方程决定：

XY = K

其中 X = AMM 中的 Token A 数量，Y = AMM 中的 Token B 数量。

恒定乘积 AMM 如何工作？

当我们在 AMM 上进行交易时，X 和 Y 代币的值会变化，但 K 的值将保持不变。

例如，我们将出售 Token A 并购买 Token B。因此我们可以写成：

dX = 输入的 Token A 数量

dY = 输出的 Token B 数量

在交易之前，我们有方程：XY = K

交易之后，我们将得到以下修改后的方程：

( X + dX )( Y - dY ) = K

X 是交易前 AMM 中的代币数量，因为我们在出售 Token A，因此我们增加了 dX。

同样地，Y 是交易前 AMM 中的代币数量，我们因为购买 Token B 而减少了 dY。

K 将始终保持不变。

这就是交易通过图形表示的样子。

可以看到，交易后我们需要将 Y 的值降低到 Y-dY，并将 X 增加到 X+dX，以确保 K 的值保持不变。

公式的工作原理

• 当流动性首次添加到池中时，Token A ( x) 和 Token B ( y) 的初始数量设置为其乘积等于 k。所以，如果最初有 100 个 Token A 和 50 个 Token B，那么：k = 100 * 50 = 5000
• 当发生交易时，比如某人想用 Token A 购买 Token B，他们会向池中添加一定数量的 Token A。这将增加池中 Token A 的数量 ( x 增加)。
• 为了维持方程 x*y=k，池中 Token B 的数量 ( y) 必须减少。将重新计算 x 和 y 的新值，以确保乘积仍然等于 k。
• y 相对于 x 增加的减少率决定了交易的有效汇率。
• 假设池的初始状态是 x = 100 单位的 Token A 和 y = 50 单位的 Token B，所以 k = 5000。
• 用户想要购买 10 单位的 Token B。为了维持恒定的乘积，池计算出需要添加多少 Token A。
• 假设池计算出需要增加 25 单位 Token A 以维持 k。池的新状态将是 x = 125 单位 Token A 和 y = 40 单位 Token B (因为 125 * 40 = 5000)。
• 交易相较于池的大小越大，对价格的影响越显著。这是因为较大的交易需要在 x 或 y 中做更大的改变，以保持 k 恒定。
• 这种效应会导致价格滑点，特别是在流动性较小的池中。

恒定乘积 AMM 智能合约解释

1. 交换函数：如何计算 dY 以获取 dX？

• 这个数学公式用于计算给定输入数量 ( dx) 对应的输出数量 ( dy)。
• 恒定乘积公式为 xy=k。当用户交换 dX 数量的某个代币时，储备的变化和乘积必须仍然等于 k。
• 重新排列公式，我们找到 dY，即应给予用户的另一种代币的数量。
• 最终公式 YdX / (X + dX) 考虑输入数量和当前储备给出输出数量。

对应代码

uint256 amountInWithFee = (_amountIn * 997) / 1000;
amountOut = (reserveOut * amountInWithFee) / (reserveIn + amountInWithFee);

2. 添加流动性函数：如何平衡 dX 和 dY？

添加流动性需要保持价格比例，表示为：

• 此数学确保添加到池中的代币数量 ( dX 和 dY) 的比例保持当前价格比例。
• 目标是防止添加流动性影响代币的相对价格。
• 最后部分 dY = Y / X * dX 给出为保持价格比例所需的 dY 的数量。

对应代码

if (reserve0 > 0 || reserve1 > 0) {
        require(reserve0 * _amount1 == reserve1 * _amount0, "x / y != dx / dy");

3. 添加流动性中的股份计算：铸造新股份

股份计算对公平分配至关重要：

f(X,Y) = 流动性的价值

我们将定义 f(X,Y) = **√**XY

L0 = f(X,Y)

L1 = f(X+dX,Y+dY)

T = 总股份

s = 要铸造的股份

总股份应与流动性的增加成正比

L1 / L0 = (T + s) / T

L1 * T = L0 * (T + s)

(L1 - L0) * T / L0 = s

• 这个数学计算提供的流动性新股份的数量。
• 流动性的价值被定义为储备乘积的平方根 (** √**XY).
• 总股份的增加应与流动性的增加成正比。
• 公式 (L1 - L0) * T / L0 = s 计算基于流动性变化要铸造的新股份。

对应代码

if (totalSupply == 0) {
    shares = _sqrt(_amount0 * _amount1);
} else {
    shares = _min(
        (_amount0 * totalSupply) / reserve0,
        (_amount1 * totalSupply) / reserve1
    );
}

4. 移除流动性函数：按比例分配

移除流动性涉及返回每种代币的按比例数量：

dX, dY = 要移除的流动性数量

dX = s / T * X

dY = s / T * Y

证明

让我们计算 dX, dY 使得

v / L = s / T

其中

v = f(dx, dy) = √dXdY,

L = 总流动性 = √XY

s = 股份

T = 总供应

√dXdY = s / T * √XY

移除的流动性金额必须不改变价格，因此 dX / dY = x / y

替换 dY = dX * Y/ X

√dXdY = √(dX * dX * Y / X) = dX * √(Y / X)

将方程的两边都除以 √(Y / X)

dX = s / T * √(XY) / √(Y / X)= s / T * √(X²) = s / T * X

同样，dY = s / T * Y

• 这个数学用于计算移除流动性时每种代币的数量 ( dx 和 dy)。
• 目标是确保移除的流动量与放弃的股份数量 ( s) 成正比。
• 最终公式 dx = s / T * x 和 dy = s / T * y 根据用户的总供应股份给出返回的每种代币的数量。

对应代码

amount0 = (_shares * bal0) / totalSupply;
amount1 = (_shares * bal1) / totalSupply;

查看恒定乘积 AMM 的代码文件在 Github。

结论

随着 DeFi 生态系统的不断发展，恒定乘积 AMM 证明了去中心化金融的创新精神。它提供了一个关于未来的窗口，未来金融服务将变得更加可获取、透明和公平。

理解和改进 AMM 的旅程仍在继续，这是一段将数学的严谨性与区块链技术的无限可能性相结合的旅程。

• 原文链接： medium.com/@tomarpari90/...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～