跨链MEV拍卖 - 模型提议者收益最大化

引言

在不断发展的多链世界中，释放跨链交互全部潜力的关键组成部分是最大化从矿工可提取价值（MEV）中提取的价值。本文将探讨拍卖机制的数学模型和优化，以最大化提议者收入以及在跨链 MEV 交互中出价者选择单独拍卖还是联合 MEV 拍卖时的战略决策。

我们将首先探讨 Ed Felten 在最近的 Arbitrum 研究论坛 ^1 中提出的基本模型，它说明了单独和联合 MEV 拍卖的基本情况。该模型不仅有助于理解机制，还能帮助我们更好地理解在多链环境中选择某种拍卖方法而非另一种拍卖方法的更广泛影响。通过研究这个模型，我们为对更复杂的场景进行深入的调查奠定了基础，这些场景反映了跨链 MEV 交互的现实动态。

在继续之前，简单提醒一下：如果你不熟悉 MEV^2、密封投标拍卖的概念，或只是希望刷新一下，可以访问 以太坊的 PBS 中的密封投标拍卖^3。这是一项基本功，对理解接下来的讨论至关重要。

EdFelten的基本模型 - MEV 权利的单独与联合拍卖

让我们首先回顾和理解 Ed Felten 提出的基本模型，以分析 MEV 权利的单独与联合拍卖 ^1。

单独拍卖

• 估值模型: $V_{A,i} = V_A^ + A_i$。每条链都有一个未知的真实基础估值 $V^_A$，由一个 builder 专属的估计误差 $A_i$ 增强，后者遵循正态分布 $N(0, \sigma^2)$。这引入了个别估值基于出价者感知和信息的可变性。

• 收入模型: 在密封投标、第二价格拍卖中，单条链的 MEV 权利收入由第二高的出价决定。从数学上表达为： $R_A = V^*_A + \sigma \cdot \alpha(n)$。 这里，$\alpha(n)$ 是 $n$ 个正态样本的第二大值的期望值，将估计误差按出价者数量缩放，以调整竞争强度。

对于两条链 $A$ 和 $B$，单独提议者的总收入 $R{sep}$ 为两条链收入的总和： $R\mathrm{sep} = V_A^ + V_B^ + 2\sigma\cdot\alpha(n)$

联合拍卖

估值模型: $V_{AB, i} = V_A^ + V_B^ + Ci + M$。当 MEV 权利对于链 $A$ 和 $B$ 被捆绑时，组合估值 $V{AB, i}$ 包括它们基础估值的总和，以及一个协同价值 $M$，该价值考虑了通过控制多个链的 MEV 所带来的附加价值。误差项 $C_i$ 聚合了个体误差 $A_i$ 和 $B_i$，结果形成新的分布 $N(0, 2\sigma^2)$。

收入模型: 联合 MEV 权利的收入遵循密封投标、第二价格拍卖的格式： $R_\mathrm{joint} = V_A^ +V_B^ + M + \sqrt{2} \sigma \cdot \alpha(n)$。 由于跨链 MEV 带来的协同价值 $M$ 和增加的误差项，上调了基础收入潜力，反映了综合价值主张。

比较分析

比较单独和联合拍卖的收入揭示了核心财务动态： $R{joint} - R{sep} = M - (2 - \sqrt{2}) \sigma \cdot \alpha(n)$。 这个公式说明了联合拍卖对提议者更有利的必要条件：协同价值 $M$ 必须超过调整后的误差项 $(2 - \sqrt{2}) \sigma \cdot \alpha(n)$，这个误差项受出价者数量及其方差的影响。

推广到 $K$ 条链

将分析扩展到 $K$ 条链，我们可以开发如下的拍卖模型：

• 单独拍卖: $$R{sep} = \sum{j=1}^{K} V^*_j + K \sigma \cdot \alpha(n)$$

• 联合拍卖: $$R{joint} = \sum{j=1}^{K} V^*_j + M + \sqrt{K} \sigma \cdot \alpha(n)$$

由此产生的收入差为： $R{joint} - R{sep} = M - (K - \sqrt{K}) \sigma \cdot \alpha(n)$

见解与实用意义

收入比较: 进行单独或联合拍卖的决策取决于内在协同价值 $M$ 与 $(K - \sqrt{K}) \sigma \cdot \alpha(n)$ 之间的平衡，即多个链上出价者估计误差的累积影响。

协同价值: 显著的 $M$ 暗示联合拍卖可能为提议者带来更多收入，特别是当跨链互动显著增强整体 MEV 时。

单独拍卖优势: 相反，较低的 $M$ 值或高出价者变异性使得单独拍卖更具吸引力，确保每条链的 MEV 权利基于各自链的动态得到最大化。

如上所述，涉及有关每条链的出价分布、各自的误差项和联合拍卖模型中的分布，包括额外的 MEV 值 $M$ 的诸多假设。尽管这些假设对于模型至关重要，但它们可能与现实场景有些脱节。然而，这个简单模型在扩展诸如使用风险厌恶模型的投标者风险偏好、动态拍卖、组合拍卖（投标者可以选择以组合方式竞标的链）或信息不对称或渐进学习等更现实的场景中将是非常有用的。

建模 MEV 权利的建造者风险偏好

在跨链 MEV 拍卖中，投标者的行为不仅受到其钱包规模或战略智慧的影响，还受到他们如何感知和管理风险的影响。在密封投标第二价格拍卖中，这种动态尤为引人注目，最高报价者获胜，但是第二高报价确定支付价格。在这种情况下，理解风险厌恶不仅仅是一个技术细节——它是预测投标者在不确定性下行为的核心。通过建模投标者的风险偏好，我们可以逐层剥离复杂性，揭示他们决策过程中的微妙之处，从而更清晰地描绘在多链环境中拍卖结局的全貌。

在这种情况下的目标是将投标者的风险厌恶纳入跨链 MEV 拍卖的估值模型，并研究这如何影响提议者收入的结果以及来自单独和联合 MEV 拍卖的收入。

风险厌恶的估值模型

符号说明：

• $V_{i,j}$：投标者 $i$ 对链 $j$ 的估值。
• $V^*_j$：链 $j$ 的真实估值。
• $\epsilon{i,j}$：投标者 $i$ 对链 $j$ 的估计误差，其中 $\epsilon{i,j} \sim N(0, \sigma^2)$。
• $Ui(V{i,j})$：反映投标者 $i$ 对估值 $V_{i,j}$ 的风险厌恶的效用函数。
• $\lambda_i$：投标者 $i$ 的风险厌恶参数。

效用函数: 我们假设一个指数效用函数，通常用于建模风险厌恶： $Ui(V{i,j}) = 1 - e^{-\lambdai V{i,j}}$

风险调整的估值：

在指数效用的基础上，可以调整风险厌恶的估值。关于估值 $V_{i,j}$ 的期望效用简化为： $$\mathbb{E}[Ui(V{i,j})] \approx Ui(\mathbb{E}[V{i,j}]) = 1 - e^{-\lambda_i V^*_j}$$

由于误差 $\epsilon_{i,j}$ 的期望为零，计算结果为： $$\mathbb{E}[Ui(V{i,j})] = 1 - e^{-\lambda_i V^*_j}$$

从中，我们可以通过反转效用函数提取风险调整后的估值： $V_{i,j} = -\frac{1}{\lambda_i} \ln(1 - Ui(V{i,j}))$

在实际计算中，我们可以将其近似为： $V_{i,j} = Vj^* + \frac{\epsilon{i,j}}{\lambda_i}$

风险调整的收入计算

单独拍卖：

在单独拍卖中，每条链 $j$ 的收入受限于 $n$ 个投标者中的第二高出价的影响，考虑其风险调整后的估值： $V_{i,j} = Vj^* + \frac{\epsilon{i,j}}{\lambda_i}$。 这改变了收入表达为： $R_j = V_j^* + \frac{\sigma}{\lambda} \alpha(n)$。 此处，$\lambda$ 被视为所有投标者的平均风险厌恶。

对于多条链 $K$，总收入为： $$R{sep} = \sum{j=1}^K \left( V_j^* + \frac{\sigma}{\lambda} \alpha(n) \right)$$

联合拍卖：

对于所有 $K$ 条链的联合拍卖，组合投标者估值为： $$V{i,J} = \sum{j=1}^K V_j^* + \frac{1}{\lambdai} \sum{j=1}^K \epsilon_{i,j} + M$$ 其中误差和遵循 $N(0, K\sigma^2)$。

因此，期望的第二高出价为： $$R{joint} = \sum{j=1}^K V_j^* + M + \frac{\sigma \sqrt{K}}{\lambda} \alpha(n)$$

比较分析

对比收入：

$$R{sep} = \sum{j=1}^K \left( V_j^* + \frac{\sigma}{\lambda} \alpha(n) \right)$$

$$R{joint} = \sum{j=1}^K V_j^* + M + \frac{\sigma \sqrt{K}}{\lambda} \alpha(n)$$

预计收入的差异为：

$$R{joint} - R{sep} = M - \left( K - \sqrt{K} \right) \frac{\sigma}{\lambda} \alpha(n)$$

见解

• 风险厌恶的影响: 纳入风险厌恶显著修改了估计误差的影响，通过风险参数 $\lambda$ 进行缩放。
• 收入动态: 联合与单独 MEV 拍卖之间的决策依赖于 $M$ 的大小与修改后的风险参数 $\left( K - \sqrt{K} \right) \frac{\sigma}{\lambda} \alpha(n)$ 的相对关系。
• 战略意义: 跨链 MEV 拍卖形式的选择可以根据投标者的总结风险偏好和跨链权利的协同价值进行战略优化。

动态拍卖模型 - 顺序拍卖

此处的目标是建模和分析顺序拍卖，在多链 MEV 环境中，前一个拍卖的结果对后续拍卖产生影响。这反映了现实场景，其中投标者可能会根据早期拍卖的经验调整其策略，适应跨链 MEV 拍卖互动中的胜利或失败。

顺序拍卖设置

假设:

• 投标者行为: 投标者根据先前拍卖的结果动态调整其投标策略。
• 估值模型:
  • 对于每条链 $j$： $V_{i,j} = Vj^* + \epsilon{i,j}$ 其中 $Vj^*$ 代表链 $j$ 的真实估值，而 $\epsilon{i,j}$ 是投标者 $i$ 对链 $j$ 的估计误差，正态分布为 $\epsilon_{i,j} \sim N(0, \sigma^2)$。
• 结果影响: 一次拍卖（例如拍卖 $j$）的结果影响投标者在后续拍卖的感知和策略。

符号说明:

• $n$: 投标者数量。
• $K$: 链数量。
• $V_j^*$: 链 $j$ 的真实估值。
• $\epsilon_{i,j}$: 投标者 $i$ 对链 $j$ 的估计误差。
• $\alpha_j(n)$: 从标准正态分布 $N(0, 1)$ 中 $n$ 个样本的第二大值的调整期望值。

顺序拍卖中的估值模型调整

初始拍卖: 对于初始链 $j=1$: $R_1 = V_1^* + \sigma \cdot \alpha_1(n)$

后续拍卖: 对于任意后续链 $j > 1$，估值可能会根据先前拍卖的结果进行调整。我们引入一个动态因子 $\beta_j$ 来反映这些调整： $\alpha_j(n) = \alpha(n) + \beta_j$，其中 $\beta_j$ 受早期拍卖结果的影响。

顺序拍卖收入计算

链 $j$ 的收入: 因此，链 $j$ 的拍卖收入为： $R_j = V_j^* + \sigma \cdot (\alpha(n) + \beta_j)$

总收入: 将所有顺序拍卖的收入相加得到：

$$R{seq} = \sum{j=1}^K \left( V_j^* + \sigma \cdot (\alpha(n) + \beta_j) \right)$$

$$R{seq} = \sum{j=1}^K Vj^* + \sigma \cdot \sum{j=1}^K (\alpha(n) + \beta_j)$$

比较分析

将这与所有 $K$ 条链的同时拍卖收入进行比较：

$$R{sim} = \sum{j=1}^K \left( V_j^* + \sigma \cdot \alpha(n) \right)$$

$$R{sim} = \sum{j=1}^K V_j^* + \sigma \cdot K \cdot \alpha(n)$$

收入差为：

$$R{seq} - R{sim} = \sigma \cdot \left( \sum_{j=1}^K (\alpha(n) + \beta_j) - K \cdot \alpha(n) \right)$$

$$R{seq} - R{sim} = \sigma \cdot \sum_{j=1}^K \beta_j$$

观察与见解

• $\beta_j$ 的影响:
  • 正的 $\beta_j$ 值通常表明顺序拍卖可能比同时拍卖产生更高的收入。
  • $\beta_j$ 值反映受先前拍卖结果驱动的投标者积极性或谨慎性变化。
• 策略调整:
  • 在早期拍卖中失败的投标者可能会在后续轮次变得更加积极，从而提高 $\beta_j$。
  • 相反，早期获胜者可能会降低他们的出价，以管理风险，可能会降低 $\beta_j$。
• 现实适用性:
  • 顺序拍卖能够更真实地模拟实际的投标行为，因为它允许投标者根据新信息和过去结果调整策略。
• 市场动态:
  • 这些拍卖可以促使更具动态性和潜在竞争性的竞标环境，可能导致整体收入的提升。

组合拍卖

在 MEV 拍卖的背景下，组合拍卖允许投标者对预定义的链组合进行出价，而不仅仅是单个链，从而捕捉复杂的协同效应和投标者偏好 ^4。这种方法可以通过认识到投标者对同时控制多条链的附加价值来显著增强提议者的收入。通过聚焦于实际的、预定义的链子集，而不是所有组合的考虑，拍卖过程保持计算的可行性，同时仍然反映跨链 MEV 机会的战略重要性。该模型确保了更高效有效的拍卖机制，最大化总收入，准确体现投标者的估值和协同效应。

放松的组合拍卖模型

在现实中，跨链组合将很可能是所有可能组合的小子集，因为并非所有的可能性都具有经济意义进行出价。因此，市场只需要评估有限数量的预定义组合，从而简化拍卖过程，同时仍捕捉重要的协同效应并最大化收入。

目标： 对一个实践和高效的组合拍卖进行建模和分析，其中拍卖者不需要评估所有可能的组合，而只需预定义的子集组合，用于跨链 MEV 拍卖，关注简洁性和可行性。

放松的组合拍卖设置

假设:

• 投标者行为: 投标者可以对预定义的链组合进行出价，选择反映可能的协同效应而不带来过多复杂性。

• 估值模型:

  • 对于预定义的链子集 $S$：

    $$V{i,S} = \sum{j \in S} V_{i,j} + \gammaS$$ 其中 $V{i,j}$ 是投标者 $i$ 对链 $j$ 的估值， $\gamma_S$ 是组合 $S$ 的协同价值。

符号说明:

• $n$: 投标者数量。
• $K$: 链数量。
• $\mathcal{S}$: 预定义的链子集 $S$ 的集合。
• $V_j^*$: 链 $j$ 的真实估值。
• $\epsilon{i,j}$: 投标者 $i$ 对链 $j$ 的估计误差，$\epsilon{i,j} \sim N(0, \sigma^2)$。
• $\gamma_S$: 链子集 $S$ 的协同价值。

估值模型

对于每个投标者 $i$ 和链 $j$: $V_{i,j} = Vj^* + \epsilon{i,j}$

对于预定义的链子集 $S \in \mathcal{S}$:

$$V{i,S} = \sum{j \in S} (Vj^* + \epsilon{i,j}) + \gamma_S$$

$$V{i,S} = \sum{j \in S} Vj^* + \sum{j \in S} \epsilon_{i,j} + \gamma_S$$

收入计算

放松组合拍卖:

• 投标者对预定义的子集 $S \subseteq {1, 2, \ldots, K}$ 出价。
• 拍卖者选择最大化总收入的预定义子集中的出价组合。

示例： 考虑三条链 $A$、$B$ 和 $C$：

• 预定义子集: ${A}$、${B}$、${C}$、${A, B}$、${B, C}$、${A, C}$、${A, B, C}$。

对于单个投标者 $i$:

• 对于 ${A}$ 的估值： $V_{i,A} = VA^* + \epsilon{i,A}$
• 对于 ${A, B}$ 的估值： $V_{i,{A,B}} = V_A^ + V_B^ + \epsilon{i,A} + \epsilon{i,B} + \gamma_{{A,B}}$

收入计算： 拍卖者选择预定义子集中的出价组合最大化收入: $$R{comb} = \max \left( \sum{S \in \mathcal{S}} V_{i,S} \right)$$

比较分析

将放松组合拍卖的收入与单独和联合拍卖进行比较，考虑以下内容：

单独拍卖收入:

$$R{sep} = \sum{j=1}^K \left( V_j^* + \sigma \cdot \alpha(n) \right)$$

$$R{sep} = \sum{j=1}^K V_j^* + \sigma \cdot K \cdot \alpha(n)$$

联合拍卖收入:

$$R{joint} = \sum{j=1}^K V_j^* + M + \sigma \cdot \sqrt{K} \cdot \alpha(n)$$

放松组合拍卖收入: 放松组合拍卖允许更简单的组合出价：

$$R{comb} = \max \left( \sum{S \in \mathcal{S}} \left( \sum_{j \in S} Vj^* + \sum{j \in S} \epsilon_{i,j} + \gamma_S \right) \right)$$

观察与见解

协同价值 $\gamma_S$:

• 协同价值 $\gamma_S$ 的引入可以显著增加总收入，如果投标者对组合链的价值高于单个链的总和。
• $\gamma_S$ 的大小反映了在 MEV 提取中的协同作用的重要性。

更简单的出价策略:

• 限定预定义子集简化了出价过程，减少了计算复杂性。
• 这使得拍卖过程更为实用和可行，同时仍然捕捉重要的协同效应。

收入比较:

• 如果协同效应 $\gamma_S$ 显著，则放松组合拍卖可能产生高于单独和联合拍卖的收入。

• 放松组合拍卖的收入可以写为：

  $$R{comb} = \sum{j=1}^K Vj^* + \sigma \cdot \sum{j=1}^K \alpha(n) + \sum_{S \in \mathcal{S}} \gamma_S$$

组合拍卖的示例场景

组合拍卖设置

• 链数量: 3 $(A, B, C)$
• 投标者数量: 3 $(1, 2, 3)$
• 预定义子集: ${A}$、${B}$、${C}$、${A, B}$、${B, C}$、${A, C}$、${A, B, C}$
• 真实估值:
  • $V_A^* = 100$
  • $V_B^* = 120$
  • $V_C^* = 80$
• 协同价值:
  • $\gamma_{{A, B}} = 30$
  • $\gamma_{{B, C}} = 20$
  • $\gamma_{{A, C}} = 25$
  • $\gamma_{{A, B, C}} = 50$
• 估计误差 ($\epsilon_{i,j}$):
  • 假设遵循 $N(0, 10^2)$。

投标者估值

投标者 1:

• $\epsilon_{1,A} = 5$
• $\epsilon_{1,B} = -3$
• $\epsilon_{1,C} = 2$

$V_{1,A} = 100 + 5 = 105$

$V_{1,B} = 120 - 3 = 117$

$V_{1,C} = 80 + 2 = 82$

$V_{1,{A,B}} = 105 + 117 + 30 = 252$

$V_{1,{B,C}} = 117 + 82 + 20 = 219$

$V_{1,{A,C}} = 105 + 82 + 25 = 212$

$V_{1,{A,B,C}} = 105 + 117 + 82 + 50 = 354$

投标者 2:

• $\epsilon_{2,A} = -10$
• $\epsilon_{2,B} = 4$
• $\epsilon_{2,C} = -5$

$V_{2,A} = 100 - 10 = 90$

$V_{2,B} = 120 + 4 = 124$

$V_{2,C} = 80 - 5 = 75$

$V_{2,{A,B}} = 90 + 124 + 30 = 244$

$V_{2,{B,C}} = 124 + 75 + 20 = 219$

$V_{2,{A,C}} = 90 + 75 + 25 = 190$

$V_{2,{A,B,C}} = 90 + 124 + 75 + 50 = 339$

投标者 3:

• $\epsilon_{3,A} = 3$
• $\epsilon_{3,B} = 1$
• $\epsilon_{3,C} = -2$

$V_{3,A} = 100 + 3 = 103$

$V_{3,B} = 120 + 1 = 121$

$V_{3,C} = 80 - 2 = 78$

$V_{3,{A,B}} = 103 + 121 + 30 = 254$

$V_{3,{B,C}} = 121 + 78 + 20 = 219$

$V_{3,{A,C}} = 103 + 78 + 25 = 206$

$V_{3,{A,B,C}} = 103 + 121 + 78 + 50 = 352$

拍卖结果

拍卖者选择最大化总收入的出价组合。我们将考虑每个预定义子集的最高出价，并选择最大化和的组合。

单条链的出价:

• ${A}$: $V_{1,A} = 105$
• ${B}$: $V_{2,B} = 124$
• ${C}$: $V_{1,C} = 82$

对偶出价:

• ${A,B}$: $V_{3,{A,B}} = 254$
• ${B,C}$: $V_{1,{B,C}} = 219$
• ${A,C}$: $V_{1,{A,C}} = 212$

所有链的出价:

• ${A,B,C}$: $V_{1,{A,B,C}} = 354$

组合收入:

• 单独出价: $R_{sep} = 105 + 124 + 82 = 311$

• 对偶: $R{{A,B}} = 254$ $R{{B,C}} = 219$ $R_{{A,C}} = 212$

• 所有链: $R_{{A,B,C}} = 354$

最优收入: 拍卖者选择出价组合中的最高收入。在这个例子中： $R_{comb} = 354$

观察与见解

收入最大化:

• 放松组合拍卖通过选择所有链的出价 ${A,B,C}$ 实现了最高收入。

协同影响:

• 协同价值 $\gamma_S$ 在提高组合总估值方面发挥了重要作用。组合 ${A,B,C}$ 的高协同价值显著促进了最高收入。

计算效率:

• 通过将拍卖限制在预定义子集，拍卖者避免评估所有可能组合，使过程更为实用和高效。

出价行为:

• 投标者可以表达对组合的偏好，从而允许更具细腻度的出价，反映它们对协同效应的估值。

参考文献

• 原文链接： github.com/thogiti/thogi...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～