宇宙中的电子数量比512位质数多吗？

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发布于 2025-03-22 12:14
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文章探讨了宇宙中电子数量与不同位数的质数数量的对比，指出质数的数量远大于电子的数量，特别是在密码学中使用的2048位质数。文章介绍了评估质数数量的方法，包括使用Sieve of Eratosthenes算法和Riemann R函数，并提供了Python和PowerShell代码示例来生成和测试质数，强调了质数在公钥加密中的重要性以及生成大质数的必要性。

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1fyKPxjQt_6u54uC3LZpGYw.png)

## 宇宙中的电子比 512 位素数更多吗？

答案是否定的！

宇宙中大约有 8.37x10⁷⁷ 个电子。而且，虽然这个数字可能看起来很大，但估计的 512 位素数（大约 160 位数字）的数量是 \[ [这里](https://asecuritysite.com/primes/nprime2)\]：

18906370642694533330255267422559435438516148269380861172414282021437571915512683767157742768034244490543655250659082340701872652735175220791902826659840

也就是 1.5x10¹⁵¹。事实上，对于 RSA，我们可以使用 2,048 位素数来用于 4096 位 RSA，并且作为估计，素数的总数是 \[ [这里](https://asecuritysite.com/primes/nprime2)\]：

11385172270258672953764793456388645214256740287188220237389104580032209792659193924101416597006335941813038755260878001567334933908725291403697392808828239764599609819731878152305734495554617798558938055499227953935671432466474597689981539404264108325526516247781591774691266828619629734180673225660241271543591391989708758169413624895421128195230477399212718531210499701272562448816178087091221785420932500650269661768355526533958545122702304553518111237381614796970882146854046586446112589627992086028076057005913397168273375915681546605655773788353223659319186860982233577649003599445529974508879522956597788672

大约是 1.1x10¹⁰²³。因此，宇宙中的素数比电子多。

我们的许多公钥方法都依赖于素数，因为它们具有出色的属性，包括对数字执行数学运算的方式，但使用有限域来约束它们（我们的最大数字是小于素数的数字）。例如，RSA 的难点在于将 N 的值分解为创建 N 的两个素数。如果找到这些素数，我们可以很容易地找到与加密密钥关联的解密密钥 \[[这里](https://asecuritysite.com/rsa/rsac)\]。

希腊数学家欧几里得证明了没有“最大”素数，我们可以无限延伸，永远找不到最后一个素数。

因此，如果我们选择一个特定大小的素数，我们如何知道入侵者必须搜索多少个素数才能找到我们使用的一个（或多个）？如果我们选择一个小的值，例如 0 到 15 之间（4 位），则不会很困难，因为素数将是：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 和 19

但是，如果我们选择 10⁵⁰，我们如何估计有多少个素数呢？嗯，在密码学中，我们可以使用 **pi** ( **x**) 函数来估计 0 到 **x** 之间的素数数量。

计算 π(x) 最简单的方法之一是生成它们并计数。以下代码是一个筛选法，源自希腊数学家埃拉托斯特尼定义的方法。通过这种方法，我们过滤掉每个素数的倍数 \[[这里](https://asecuritysite.com/primes/nprime)\]：

```
## https://asecuritysite.com/encryption/nprime
import sys
from mpmath import *
start = 0
end = 100

if (len(sys.argv)>1):
 start=int(sys.argv[1])

if (len(sys.argv)>2):
 end=int(sys.argv[2])

def sieve(n):
    """
    Generate the primes less than or equal to n using the sieve of
    Eratosthenes.
    """
    primes, sieve = [], [True] * (n + 1)
    for p in range(2, n + 1):
        if sieve[p]:
            primes.append(p)
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                sieve[i] = False
    return primes

def pi(x):
    """Calculates the number of primes less than or equal to x."""
    return len(sieve(x))

print ("Range from",start,"to ",end)

est= pi(end)-pi(start)

print ("Estimation of primes:\t\t\t",est)
print ("Possibility of finding prime (%):\t",est/float(end-start)*100)

print ("\n----- Using Riemannr method to estimate")

print ("Estimation is:\t",int(riemannr(end)))

print ("\nRange\tEst number of primes")

val=1
for x in range(1,31):
 val=val*10
 print ("10^",x,"\t","{:,}".format(int(riemannr(val))))
```

使用的一种方法是使用 Schoenfeld 不等式计算素数计数函数 π(x)：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/0RxEmDAjWIIs7duGI.png)

一种可以用来估计素数数量的方法是 Riemann R 函数。这是 π(x) 的一个平滑近似。该函数使用快速收敛的 Gram 级数定义：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/0JkabmLIOxrYVw9bD.png)

一个示例运行是 \[ [这里](https://asecuritysite.com/primes/nprime)\]：

```
Range from 0 to  1000000
Estimation of primes:			78498
Possibility of finding prime (%):	7.8498
----- Using Riemannr method to estimate
Estimation is:	78527Range	Est number of primes
10^ 1 	4
10^ 2 	25
10^ 3 	168
10^ 4 	1226
10^ 5 	9587
10^ 6 	78527
10^ 7 	664667
10^ 8 	5761551
10^ 9 	50847455
10^ 10 	455050683
10^ 11 	4118052494
10^ 12 	37607910542
10^ 13 	346065531065
10^ 14 	3204941731601
10^ 15 	29844570495886
10^ 16 	279238341360977
10^ 17 	2623557157055978
10^ 18 	24739954284239496
10^ 19 	234057667300228928
10^ 20 	2220819602556027136
10^ 21 	21127269485932298240
10^ 22 	201467286689188773888
10^ 23 	1925320391607837261824
10^ 24 	18435599767347541311488
10^ 25 	176846309399141946490880
10^ 26 	1699246750872419937812480
10^ 27 	16352460426841662628560896
10^ 28 	157589269275973244548022272
10^ 29 	1520698109714271704874745856
10^ 30 	14692398897720432138328735744
```

在这种情况下，如果我们随机选择一个 0 到 1,000,000 之间的数字，那么我们找到素数的概率是 7.84%。通常，当我们选择一个随机素数时，我们从一个随机数开始，然后不断地从该值中减 1，并测试它，直到找到一个素数。

因此，如果我们的攻击者每秒尝试 10 亿个素数，那么如果我们选择一个在 1⁰⁵⁰ 范围内的素数，那么尝试所有素数大约需要 29,800 秒，也就是 8 小时。因此，我们需要确保素数大小足够大，以便入侵者有太多的素数要查找才能破解密钥。

如果你有兴趣，1⁰³⁰ 相当于 99 位。通常，对于 RSA，我们使用 2,048 位，因此入侵者必须搜索大量的素数。这是我的一个小小的 Python 代码，可以将 1⁰³⁰ 转换为位：

```
>>> import math
>>> y=10**30
>>> print math.log10(y)/math.log10(2)
99.6578428466
```

## 寻找跳跃

在生成给定比特大小的随机素数时，我们只需以数字方式（以及给定的比特数）生成一个随机数。然后我们把它变成一个奇数，然后可以使用 Miller-Rabin 方法来确定它是否是素数。如果不是，我们增加 2，然后再测试。我们将继续，直到找到一个素数。因此，如果找到素数的概率是 10%，我们有 1/5 的机会找到素数，因此我们很可能平均需要递增 5 次才能找到素数。

然后，我们可以生成一个随机奇数，然后测试它的素性，如果它不是素数，我们可以增加 2，然后重新测试，直到我们找到一个素数 \[[这里](https://asecuritysite.com/powershell/rand_prime)\]：

```
"== Random Prime with Miller-Rabin Test == "
$randBytes=16
$randBytes = [int]$Args[0]
$val=GetRandomBigInteger($randBytes)
if ($val -le 0) { $val=-$val}
if (($val % 2) -eq 0) { $val=$val+1}
"Random prime size: "+$randBytes+ " Bytes, Bits: "+$randBytes*8
"`nStarting value:`t"+$val$flag=$False
$jumps=0for ($i=0;$i -le 2000; $i=$i+1) {
    $is_prime = isItPrime $val 4
    if ($is_prime -eq $True) {
        $flag=$True
        $jumps=2*$i
        break
    }
$val=$val+2}if ($flag -eq $True) {"Random prime:`t"+$val
"Jump to find:`t"+$jumps
```

如果你有兴趣，这里有一些数学方法可以确定在给定范围内找到素数的概率：

[https://asecuritysite.com/primes/nprime](https://asecuritysite.com/primes/nprime)

作为一个例子，我已经用 PowerShell 编写了代码\[ [这里](https://asecuritysite.com/powershell/rand_prime)\]：

```
function GetRandomBigInteger($size) {
    $rand = [Security.Cryptography.RandomNumberGenerator]::Create()
    $r = [byte[]]::new($randBytes)
    $rand.GetBytes($r)
    $val = [Numerics.BigInteger]::new($r)
    return ($val)
}

function PrimeRabinMiller($d, $n) {

$a = GetRandomBigInteger 2 ($n - 1)
    $x= [System.Numerics.BigInteger]::ModPow($a, $d, $n);

If (($x -eq 1) -or ($x -eq ($n - 1))) {
         return $True
        }

While ($d -ne ($n-1)) {

$x = ($x * $x) % $n;
        $d = $d*2
        if ($x -eq 1) {  return $False }
        if ($x -eq ($n-1)) {
            return $True
        }

}
    return $False
}

function isItPrime($n, $k) {

if ($n -eq 2 -or $n -eq 3 -or $n -eq 5 ) { return $True }

$d = $n - 1;

while (($d % 2) -eq 0) {
            $d = $d/2;
        }

for ($i = 0; $i -lt $k; $i=$i+1) {
            $rtn=PrimeRabinMiller $d $n
            if ($rtn -eq $False) {
                return $False;
            }
        }
        return $True;
    }

"== Random Prime with Miller-Rabin Test == "
$randBytes=16
$randBytes = [int]$Args[0]

$val=GetRandomBigInteger($randBytes)

if ($val -le 0) { $val=-$val}
if (($val % 2) -eq 0) { $val=$val+1}

"Random prime size: "+$randBytes+ " Bytes, Bits: "+$randBytes*8
"`nStarting value:`t"+$val

$flag=$False
$jumps=0
for ($i=0;$i -le 2000; $i=$i+1) {
    $is_prime = isItPrime $val 4
    if ($is_prime -eq $True) {
        $flag=$True
 $jumps=2*$i
        break
    }
    $val=$val+2

}

if ($flag -eq $True) {

"Random prime:`t"+$val
    "Jump to find:`t"+$jumps
}
```

一个示例运行是 \[ [这里](https://asecuritysite.com/powershell/rand_prime)\]：

```
== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 128 Bytes, Bits: 1024Starting value:	74694127609839394531423695066683807367213906691835690628010806941823113116341160452233302154382226520304305016921580485423591227892665244629327378091261259183162478412317239748423133148888508256284739076437146819181993895696424719945351704588366388739351351476790041575981862249517999445249166915727466313195
Random prime:	74694127609839394531423695066683807367213906691835690628010806941823113116341160452233302154382226520304305016921580485423591227892665244629327378091261259183162478412317239748423133148888508256284739076437146819181993895696424719945351704588366388739351351476790041575981862249517999445249166915727466314951
Jump to find:	1756
```

对于一个 512 位的素数：

```
== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 64 Bytes, Bits: 512Starting value:	1570047489143950971158469706647749642676906610685433069032127727599272773500362380171988197033189544118765224161943698783713549815590440492717110990773387
Random prime:	1570047489143950971158469706647749642676906610685433069032127727599272773500362380171988197033189544118765224161943698783713549815590440492717110990773583
Jump to find:	196
```

对于一个 256 位的素数：

```
== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 32 Bytes, Bits: 256Starting value:	678561933854231032073566346504160285991810520328758260539775958564099341129
Random prime:	678561933854231032073566346504160285991810520328758260539775958564099341417
Jump to find:	288
```

跳跃值与从随机数开始查找素数有关。在上面的例子中，我们递增 288 以从我们的起点找到下一个素数。一般来说，素数越小，跳跃次数就越少。因此，大数通常需要更长的时间才能生成，因为可能会进行更多的测试。

### 结论

为了你的在线安全，随机数很重要。如果这些数字在某种程度上不是随机的，你的安全可能会受到损害。但是，素数的空间越大，我们就必须搜索越多，这就是生成大素数在 CPU 时间方面成本高昂的原因，但对于你的安全却如此重要。因此，对于 2K RSA，我们生成 1K 素数，这些素数应该是随机的。

>- 原文链接： [medium.com/asecuritysite...](https://medium.com/asecuritysite-when-bob-met-alice/are-there-more-electrons-in-the-universe-than-512-bit-prime-numbers-cb06c0d39e75)
>- 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～

宇宙中的电子比 512 位素数更多吗？

答案是否定的！

宇宙中大约有 8.37x10⁷⁷ 个电子。而且，虽然这个数字可能看起来很大，但估计的 512 位素数（大约 160 位数字）的数量是 [ 这里]：

18906370642694533330255267422559435438516148269380861172414282021437571915512683767157742768034244490543655250659082340701872652735175220791902826659840

也就是 1.5x10¹⁵¹。事实上，对于 RSA，我们可以使用 2,048 位素数来用于 4096 位 RSA，并且作为估计，素数的总数是 [ 这里]：

大约是 1.1x10¹⁰²³。因此，宇宙中的素数比电子多。

我们的许多公钥方法都依赖于素数，因为它们具有出色的属性，包括对数字执行数学运算的方式，但使用有限域来约束它们（我们的最大数字是小于素数的数字）。例如，RSA 的难点在于将 N 的值分解为创建 N 的两个素数。如果找到这些素数，我们可以很容易地找到与加密密钥关联的解密密钥 [这里]。

希腊数学家欧几里得证明了没有“最大”素数，我们可以无限延伸，永远找不到最后一个素数。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 和 19

但是，如果我们选择 10⁵⁰，我们如何估计有多少个素数呢？嗯，在密码学中，我们可以使用 pi ( x) 函数来估计 0 到 x 之间的素数数量。

计算 π(x) 最简单的方法之一是生成它们并计数。以下代码是一个筛选法，源自希腊数学家埃拉托斯特尼定义的方法。通过这种方法，我们过滤掉每个素数的倍数 [这里]：

## https://asecuritysite.com/encryption/nprime
import sys
from mpmath import *
start = 0
end = 100

if (len(sys.argv)>1):
 start=int(sys.argv[1])

if (len(sys.argv)>2):
 end=int(sys.argv[2])

def sieve(n):
    """
    Generate the primes less than or equal to n using the sieve of
    Eratosthenes.
    """
    primes, sieve = [], [True] * (n + 1)
    for p in range(2, n + 1):
        if sieve[p]:
            primes.append(p)
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                sieve[i] = False
    return primes

def pi(x):
    """Calculates the number of primes less than or equal to x."""
    return len(sieve(x))

print ("Range from",start,"to ",end)

est= pi(end)-pi(start)

print ("Estimation of primes:\t\t\t",est)
print ("Possibility of finding prime (%):\t",est/float(end-start)*100)

print ("\n----- Using Riemannr method to estimate")

print ("Estimation is:\t",int(riemannr(end)))

print ("\nRange\tEst number of primes")

val=1
for x in range(1,31):
 val=val*10
 print ("10^",x,"\t","{:,}".format(int(riemannr(val))))

使用的一种方法是使用 Schoenfeld 不等式计算素数计数函数 π(x)：

一种可以用来估计素数数量的方法是 Riemann R 函数。这是 π(x) 的一个平滑近似。该函数使用快速收敛的 Gram 级数定义：

一个示例运行是 [ 这里]：

Range from 0 to  1000000
Estimation of primes:           78498
Possibility of finding prime (%):   7.8498
----- Using Riemannr method to estimate
Estimation is:  78527Range  Est number of primes
10^ 1   4
10^ 2   25
10^ 3   168
10^ 4   1226
10^ 5   9587
10^ 6   78527
10^ 7   664667
10^ 8   5761551
10^ 9   50847455
10^ 10  455050683
10^ 11  4118052494
10^ 12  37607910542
10^ 13  346065531065
10^ 14  3204941731601
10^ 15  29844570495886
10^ 16  279238341360977
10^ 17  2623557157055978
10^ 18  24739954284239496
10^ 19  234057667300228928
10^ 20  2220819602556027136
10^ 21  21127269485932298240
10^ 22  201467286689188773888
10^ 23  1925320391607837261824
10^ 24  18435599767347541311488
10^ 25  176846309399141946490880
10^ 26  1699246750872419937812480
10^ 27  16352460426841662628560896
10^ 28  157589269275973244548022272
10^ 29  1520698109714271704874745856
10^ 30  14692398897720432138328735744

>>> import math
>>> y=10**30
>>> print math.log10(y)/math.log10(2)
99.6578428466

寻找跳跃

然后，我们可以生成一个随机奇数，然后测试它的素性，如果它不是素数，我们可以增加 2，然后重新测试，直到我们找到一个素数 [这里]：

"== Random Prime with Miller-Rabin Test == "
$randBytes=16
$randBytes = [int]$Args[0]
$val=GetRandomBigInteger($randBytes)
if ($val -le 0) { $val=-$val}
if (($val % 2) -eq 0) { $val=$val+1}
"Random prime size: "+$randBytes+ " Bytes, Bits: "+$randBytes*8
"`nStarting value:`t"+$val$flag=$False
$jumps=0for ($i=0;$i -le 2000; $i=$i+1) {
    $is_prime = isItPrime $val 4
    if ($is_prime -eq $True) {
        $flag=$True
        $jumps=2*$i
        break
    }
$val=$val+2}if ($flag -eq $True) {"Random prime:`t"+$val
"Jump to find:`t"+$jumps

如果你有兴趣，这里有一些数学方法可以确定在给定范围内找到素数的概率：

https://asecuritysite.com/primes/nprime

作为一个例子，我已经用 PowerShell 编写了代码[ 这里]：

function GetRandomBigInteger($size) {
    $rand = [Security.Cryptography.RandomNumberGenerator]::Create()
    $r = [byte[]]::new($randBytes)
    $rand.GetBytes($r)
    $val = [Numerics.BigInteger]::new($r)
    return ($val)
}

function PrimeRabinMiller($d, $n) {

    $a = GetRandomBigInteger 2 ($n - 1)
    $x= [System.Numerics.BigInteger]::ModPow($a, $d, $n);

    If (($x -eq 1) -or ($x -eq ($n - 1))) {
         return $True
        }

    While ($d -ne ($n-1)) {

        $x = ($x * $x) % $n;
        $d = $d*2
        if ($x -eq 1) {  return $False }
        if ($x -eq ($n-1)) {
            return $True
        }

    }
    return $False
}

function isItPrime($n, $k) {

 if ($n -eq 2 -or $n -eq 3 -or $n -eq 5 ) { return $True }

        $d = $n - 1;

        while (($d % 2) -eq 0) {
            $d = $d/2;
        }

        for ($i = 0; $i -lt $k; $i=$i+1) {
            $rtn=PrimeRabinMiller $d $n
            if ($rtn -eq $False) {
                return $False;
            }
        }
        return $True;
    }

"== Random Prime with Miller-Rabin Test == "
$randBytes=16
$randBytes = [int]$Args[0]

$val=GetRandomBigInteger($randBytes)

if ($val -le 0) { $val=-$val}
if (($val % 2) -eq 0) { $val=$val+1}

"Random prime size: "+$randBytes+ " Bytes, Bits: "+$randBytes*8
"`nStarting value:`t"+$val

$flag=$False
$jumps=0
for ($i=0;$i -le 2000; $i=$i+1) {
    $is_prime = isItPrime $val 4
    if ($is_prime -eq $True) {
        $flag=$True
 $jumps=2*$i
        break
    }
    $val=$val+2

}

if ($flag -eq $True) {

    "Random prime:`t"+$val
    "Jump to find:`t"+$jumps
}

一个示例运行是 [ 这里]：

== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 128 Bytes, Bits: 1024Starting value: 74694127609839394531423695066683807367213906691835690628010806941823113116341160452233302154382226520304305016921580485423591227892665244629327378091261259183162478412317239748423133148888508256284739076437146819181993895696424719945351704588366388739351351476790041575981862249517999445249166915727466313195
Random prime:   74694127609839394531423695066683807367213906691835690628010806941823113116341160452233302154382226520304305016921580485423591227892665244629327378091261259183162478412317239748423133148888508256284739076437146819181993895696424719945351704588366388739351351476790041575981862249517999445249166915727466314951
Jump to find:   1756

对于一个 512 位的素数：

== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 64 Bytes, Bits: 512Starting value:   1570047489143950971158469706647749642676906610685433069032127727599272773500362380171988197033189544118765224161943698783713549815590440492717110990773387
Random prime:   1570047489143950971158469706647749642676906610685433069032127727599272773500362380171988197033189544118765224161943698783713549815590440492717110990773583
Jump to find:   196

对于一个 256 位的素数：

== Random Prime with Miller-Rabin Test ==
Random prime size: 32 Bytes, Bits: 256Starting value:   678561933854231032073566346504160285991810520328758260539775958564099341129
Random prime:   678561933854231032073566346504160285991810520328758260539775958564099341417
Jump to find:   288

结论

原文链接： medium.com/asecuritysite...

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分类: 密码学
标签: 质数 RSA 密码学 Miller-Rabin测试 Riemann R函数 Sieve of Eratosthenes

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