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为什么数字投票系统（真正有效的）用了这么长时间才实现

本文探讨了数字投票系统面临的隐私、透明性和可扩展性三难困境，分析了过去数字投票系统失败的原因，并介绍了 Shutter 等团队利用 ElGamal 同态加密、零知识证明和阈值密码学等技术实现的 Permanent Shielded Voting 系统，该系统旨在实现永久隐私、公开可验证和实际可扩展的数字投票，以应对全球对选举信任的下降。
数字投票  同态加密  零知识证明  阈值密码学  ElGamal加密  区块链 
  • shutter
  • 发布于 15小时前
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单位根的可视化表示

本文通过可视化方法，利用单位圆解释了 n 次单位根的性质，特别是当两个单位根的指数相差 n/2 时，它们互为加法逆元。文章通过图示和动画生动地展示了单位根的乘法和加法运算在单位圆上的几何意义，并解释了如何在单位圆上可视化同余关系。
单位根  单位圆  模运算  加法逆元  可视化  有限域 

单位根的平方根

本文介绍了在指数形式下求平方根的方法，特别是在单位根上的应用。文章解释了只有偶数次幂的单位根才能开平方，并展示了如何通过开平方操作将k次单位根转化为2k次单位根，同时提供了相关的示例和练习题。
平方根  单位根  指数  幂  循环群  本原单位根 

k次单位根的平方是k/2次单位根

当对偶数阶的单位根集合中的每个元素进行平方时，得到的新集合大小是原来的一半。文章通过举例和证明，详细解释了这一现象，并说明了为什么k必须是偶数，同时证明了平方一个k次单位根会产生一个 k/2 次单位根。
单位根  有限域  离散傅里叶变换  NTT  代数  群论 

多值函数的图像保持定理

本文介绍了图像保持定理，它是数论变换（NTT）的核心概念。该定理指出，对于多值函数，在特定条件下的图像与原始函数在不同定义域上的图像相同。通过重复取平方根来计算单位根，并展示了如何利用该定理来优化多项式求值，为后续章节中利用平方根扩展评估多值函数奠定基础。
数论变换  图像保持定理  单位根  多值函数  有限域  NTT 

单位根的 k/2 次幂等于 1 或 -1

本文讨论了将k次单位根 ω 提高到 k/2 次方的问题，结果只能是1或-1。文章给出了证明，当指数为偶数时，结果为1；当指数为奇数时，结果为-1。这种性质可以用于优化多项式在单位根上的求值计算，通过因式分解尽可能多地提取出 x^(k/2) 项，从而简化计算。
单位根  多项式求值  快速计算  因式分解  模运算  密码学 

范德蒙矩阵

本文介绍了Vandermonde矩阵的概念及其在多项式求值中的应用。Vandermonde矩阵可以将多项式的系数表示转换为其在一组点上的值表示，通过矩阵乘法实现多项式在多个点上的高效求值。文章以四次单位根为例，展示了如何简化Vandermonde矩阵的计算。
Vandermonde矩阵  多项式求值  系数表示  值表示  单位根  矩阵乘法 

手动实现数论变换算法

本文介绍了数论变换（NTT）算法，该算法用于将有限域中的多项式从系数形式转换为点值形式。文章通过使用平方根展开，并结合像保留定理，优化了在单位根上评估多项式的过程，并给出了在四次和八次单位根上评估多项式的示例，展示了NTT算法的计算过程和优化方法。
数论变换  NTT  多项式  有限域  单位根  像保留定理 

使用平方根展开评估多值函数

本文介绍了使用平方根展开方法在单位根上评估多值函数。通过将函数转换为多值函数并在域上进行评估，避免了直接在单位根上进行评估的复杂性。文章详细展示了如何通过嵌套平方根来展开和简化计算，并探讨了不同类型的项（如 和 ）的计算复杂性，以及如何优化多项式以减少计算量，最终引出快速数论变换（NTT）算法。
单位根  多值函数  平方根展开  快速数论变换  NTT  计算优化 

密码学之 Ecdsa 签名、CMP20、MPC 钱包 (五) 更新2025.11.11

in  密码学方向
该文章包含了非常全的关于 MPC 钱包协议中所涉及的密码学技术，以及非常全的各种零知识证明场景以及实现实例，这些技术在 GG18、GG20 等协议中都会用到。该协议只需要 4 轮通信，接下来依次进行讲解。
ECDSA签名  MPC 钱包  CMP20  区块链  多方安全计算  Web 3 
  • 皓码
  • 发布于 4天前
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ZK编年史：初探

本文是关于零知识证明（ZK proofs）系列文章的开篇，旨在以更易于理解的方式介绍这一主题。文章首先解释了零知识证明的概念，即在不泄露任何额外信息的情况下，使某人相信某个陈述是真实的。然后，讨论了如何检验计算的正确性，并介绍了交互式证明系统（IP）及其完整性和可靠性。最后，文章指出零知识是这些证明系统可以具备的一个附加属性，用于保护敏感信息。
零知识证明  交互式证明系统  完整性  可靠性  验证计算  密码学 

密码学之 Ecdsa 签名、CMP20、MPC 钱包 (五) 初稿

in  密码学方向
该文章包含了非常全的关于 MPC 钱包协议中所涉及的密码学技术，以及非常全的各种零知识证明场景以及实现实例，这些技术在 GG18、GG20 等协议中都会用到。该协议只需要 4 轮通信，接下来依次进行讲解。
ECDSA签名  MPC 钱包  区块链  阈值组签名  CMP20  多方安全计算 
  • 皓码
  • 发布于 2025-11-08
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隐私宣言

本文作者 Zachary Williamson 表达了他对当前技术发展趋势的担忧，尤其是在线广告和数据收集对个人隐私和社会结构造成的威胁。他提倡使用零知识密码学和去中心化区块链技术来构建一个更尊重用户隐私和数据自主权的网络环境，并呼吁开发者、产品经理、写作者和用户共同参与到这场技术变革中，以对抗信息时代的负面影响，重塑互联网的未来。
零知识证明  区块链  隐私保护  数据自主权  信息时代  去中心化 
  • Zac_Aztec
  • 发布于 2025-11-06
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zkVM跟踪生成方法评估：AOT vs. JIT

本文深入探讨了零知识虚拟机（zkVM）中生成零知识证明（ZKP）的过程，重点介绍了通过提前编译（AOT）和即时编译（JIT）优化跟踪生成，实现实时证明的技术。AOT编译通过将RISC-V ELF文件转换为优化的本地汇编代码，实现并行执行和高效的最小化跟踪生成；而JIT编译则在运行时动态转译和执行代码，进一步优化性能，适用于动态工作负载。
零知识证明  zkVM  提前编译  即时编译  AOT  JIT 

PQC还是完蛋？混合PQC才是可能的答案

文章讨论了在量子计算威胁下，如何将现有的公钥密码方法迁移到量子安全的密码方法。过渡方案是采用混合 PQC（Post-Quantum Cryptography），结合现有公钥密码算法和PQC算法的优点。文章还介绍了ML-DSA、SLH-DSA、ML-KEM、X25519等算法，以及X-Wing混合密钥封装机制。
PQC  混合密码  ML-DSA  SLH-DSA  ML-KEM  X25519  X-Wing 

2025年的零知识证明（ZKP）：简明完整指南

本文介绍了零知识证明（ZKP）的基本概念、工作原理、应用场景以及构建ZKP应用的步骤。 ZKP允许一方在不泄露任何秘密细节的情况下证明某事的真实性，它在隐私保护、区块链扩容、身份验证等领域具有广泛的应用前景。
零知识证明  zkSync  Starknet  Polygon zkEVM  隐私  密码学 

ZK Mesh：2025年10月回顾

该月刊ZK Mesh主要关注去中心化隐私保护技术、隐私协议开发和零知识系统研究。内容涵盖最新的研究论文、文章、视频、播客、项目更新和活动，由ZK Hack制作。
零知识证明  隐私保护  密码学  zk-SNARKs  zkVM  多方计算 
  • zkmesh
  • 发布于 2025-10-31
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椭圆曲线深入研究（第10部分）

in  密码学101
本文介绍了在实际应用中使用的椭圆曲线，重点介绍了SECP家族的secp256k1曲线（比特币和以太坊使用），以及Montgomery形式的Curve25519和 Twisted Edwards 形式的Ed25519，最后探讨了配对友好曲线，如BLS12-381，用于以太坊2.0等。文章还提到了寻找满足特定条件的曲线的复杂性，以及复乘法（CM）方法。
椭圆曲线  secp256k1  Curve25519  Ed25519  bls12-381  配对 

zkVM DSL对比：Halo2、Zirgen 和 Plonky3

本文对比了三种零知识虚拟机（zkVM）的领域特定语言（DSL）：Halo2、Zirgen 和 Plonky3，它们分别代表了不同的零知识系统开发哲学，从高级抽象到低级数学原语，通过比较它们的架构、数据模型和Fibonacci示例的实际应用，帮助开发者理解零知识证明领域，并根据特定需求选择合适的工具。
零知识证明  zkVM  Halo2  Zirgen  Plonky3  领域特定语言 
  • hexens
  • 发布于 2025-10-29
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内存一致性检查：Multiset Hashing

在zkVM中，内存访问一致性检查是证明任何读操作返回的值确实是写入该内存地址的最新值。如果能证明读取和写入的数据是置换关系，便可证明内存访问的一致性。内存一致性检查构造读集合RRR和写集合WWW，元素都是(addr,val,cnt)(addr,val,cnt)(addr,val,
zkVM