赔付曲线序列化

赔付曲线序列化

介绍

当为 数值结果 构建 DLC 时，通常会有数量非常庞大的 可能结果，以至于无法在报价中实际枚举所有结果，以及它们相关的赔付。

通常，存在一些宏观结构，其中一些参数决定了 所有可能结果的赔付，使得这些参数成为数值结果 DLC 赔付曲线的更简洁的序列化方式。

本文档首先详细说明了所谓的 通用赔付曲线 的序列化和反序列化（又名评估），这应该足以应对任何简单的赔付曲线，例如那些 由一些直线组合而成的曲线，以及不保证创建自己的类型的自定义赔付曲线。

本文档还详细说明了双曲线形状的赔付曲线段的序列化和反序列化，这些曲线段对于许多反向合约（例如差价合约 (CFD)）非常有用，其中赔付 曲线的形式为 constant/outcome（其中 outcome 是输入值）。

目录

• 通用赔付曲线
  • 设计
  • 曲线序列化
  • 通用函数评估
  • 参考实现
  • CET 计算期间的优化评估
• 赔付曲线段
  • 多项式曲线段
  • 多项式序列化
  • 多项式评估
  • 双曲线曲线段
  • 双曲线序列化
  • 双曲线评估
• 作者

通用赔付曲线

设计

此规范的目标是高效、紧凑地启用通用赔付曲线形状，同时确保 更简单、更常见的赔付曲线（例如远期合约的直线）在符合通用结构的同时不会变得复杂。

具体来说，通用赔付曲线规范支持分段函数集（各个段之间没有连续性要求），其中段可以是多项式或双曲线。

如果你希望支持的某些赔付曲线“形状”不能有效地表示为分段多项式 函数，那么你应该提出一种新的 payout_curve_piece 类型，该类型能有效地指定最少的参数集，从中可以确定整个赔付曲线段。 例如，“形状” 1/outcome 仅由几个参数完全确定，但当使用多项式插值来近似时，可能需要数千个插值点，因此引入了特定于双曲线的类型。

请注意，赔付曲线是协议级别的抽象，并且在应用程序层，用户很可能会 与某些合约模板上的一组参数进行交互。 他们不会直接与通用赔付曲线及其序列化进行交互，这些曲线旨在用于在核心 DLC 逻辑实现之间进行高效序列化和确定性再现。 通用赔付曲线还可以处理大量常见应用程序用例的插值逻辑， 也就是说，应用程序可能不必计算所有结果点来序列化为此格式， 而是通常只能使用用户提供的参数来直接计算少量相关的 插值点。

曲线序列化

在本节中，我们将详细介绍通用 payout_function 的 TLV 序列化。

payout_function

1. 数据:
   • [bigsize:num_pieces]
   • [u64:endpoint_0]
   • [u64:endpoint_payout_0]
   • [u16:extra_precision_0]
   • [payout_curve_piece:piece_1]
   • [u64:endpoint_1]
   • ...
   • [payout_curve_piece:piece_num_pieces]
   • [u64:endpoint_num_pieces]
   • [u64:endpoint_payout_num_pieces]
   • [u16:extra_precision_num_pieces]

num_pieces 是构成赔付曲线及其端点的 payout_curve_pieces 的数量。 每个端点由两个 u64 和一个 u16 组成。

第一个整数称为 endpoint，包含实际的 event_outcome，它对应于赔付曲线上的 x 坐标，该坐标是曲线段之间的边界。 第二个整数称为 endpoint_payout，如果值 endpoint 已签名，则设置为等于本地方的赔付，此赔付对应于赔付曲线上的 y 坐标。 第三个整数，一个 u16，称为 extra_precision，设置为小数点后赔付的前 16 位，而这些位已被四舍五入。 这种额外的精度确保插值不会因 由于四舍五入而导致的 endpoint_payout 中的错误而包含较大错误。 确切地说，用于插值的点应该是： (endpoint, endpoint_payout + double(extra_precision) >> 16)。 对于本文档的其余部分，值 endpoint_payout + double(extra_precision) >> 16 被称为 endpoint_payout。

请注意，此 payout_function 是从报价方的角度来看的。 要评估接受方的 payout_function，你必须在给定的 event_outcome 处评估报价方的 payout_function，并从 total_collateral 中减去结果赔付。 重要的是，你不要通过将报价方的 payout_function 中的所有 payout 字段替换为 total_collateral - payout 并插入结果点来构建接受方的 payout_function。 这不起作用，因为由于四舍五入，双方的 payout_function 的输出之和可能为 total_collateral - 1，并且包括检查此情况（从任一结果中缺少一个 satoshi）到验证算法中 可能会使验证时间最多慢四倍，并通过打破合理的假设来增加协议的复杂性。

要求

• num_pieces 必须至少为 1。
• endpoint 必须严格增加。 如果需要不连续性，则应使用“空” polynomial_curve_piece，从而导致 连续 endpoint 值之间的线。 这样做是为了避免关于不连续处的值的歧义。

通用函数评估

给定一个潜在的 event_outcome，按如下方式计算 outcome_payout：

• 按 event_outcome 二分搜索 endpoint
  • 如果找到，则返回 endpoint_payout。
  • 否则，在先前和下一个 endpoint 之间（包括端点）评估 payout_curve_piece 上的 event_outcome。

参考实现

• bitcoin-s

CET 计算期间的优化评估

当像 CET 计算期间那样重复且顺序地评估插值时，可以对这种分段插值函数进行许多优化。

• 在计算顺序输入时，可以避免二分查找。

• 在评估多项式段时，可以为多项式段中的每个 i 缓存值 points(i).outcome_payout / PROD(j = 0, j < points.length && j != i, points(i).event_outcome - points(j).event_outcome)，将其称为 coef_i。 对于给定的 event_outcome，令 all_prod = PROD(i = 0, i < points.length, event_outcome - points(i).event_outcome)。

然后可以将总和计算为 SUM(i = 0, i < points.length, coef_i * all_prod / (event_outcome - points(i).event_outcome))。

• 引入精度范围时，可以使用曲线段的导数来减少所需的计算量。 例如，在处理三次多项式段时，如果你从左到右移动并且在第一个导数（斜率）为正且第二个导数（凹度）为负时输入新的模精度值，则可以采用该点处曲线的切线，并找到其与下一个模精度值边界的交点。 如果导数的符号相同，则保证从当前 x 坐标到交点 x 坐标的间隔内所有值的模精度都相同。

赔付曲线段

多项式曲线段

由于直线是多项式，因此当以分段多项式函数的语言表示时，简单曲线保持简单。 可以使用巧妙构造的 多项式插值 来紧密近似任何有趣的（例如，非随机的）赔付曲线。 最后，只需提供每个多项式段的几个点即可紧凑地完成这些函数的序列化，以便 使通信中的接收方能够从这些最少的信息中插入多项式。

但重要的是要注意，由于 龙格现象，客户端通常最好使用某些 样条插值 而不是直接使用多项式插值来构造其赔付曲线（除非线性近似就足够了） 其中样条由多项式段组成，因此可以将结果插值写成分段多项式。

多项式序列化

1. 实现：payout_curve_piece
2. 类型：0
3. 数据：
   • [bigsize:num_pts]
   • [u64:event_outcome_1]
   • [u64:outcome_payout_1]
   • [u16:extra_precision_1]
   • ...
   • [u64:event_outcome_num_pts]
   • [u64:outcome_payout_num_pts]
   • [u16:extra_precision_num_pts]

num_pts 是在此曲线段中指定的中点数，这些中点将与周围的 endpoint 一起用于执行插值。 每个点由两个 bigsize 整数和一个 u16 组成，它们的解释方式与 通用赔付曲线 中 endpoint 的解释方式完全相同，即作为 x 和 y 坐标。

在 num_pts 为 0 的特殊情况下，仅使用端点，这意味着在端点之间插入一条直线。

多项式评估

有很多方法可以计算由某些插值点集确定的唯一多项式。 我选择在此处详细说明 拉格朗日插值，因为它相对简单，但是任何算法都应该有效，只要它不会导致近似值出现过大的误差，以至于无法通过 验证。 仅举几个其他算法，如果你对替代方法感兴趣，你可能希望使用 范德蒙德矩阵 或 另一种替代方法，差商 方法。

请注意，虽然以下内容可能看起来很复杂，但它应该归结为很少的几行代码。 此外，这个问题是众所周知的，并且大多数语言的解决方案可能都存在于 Stack Overflow 等站点上，可以从中复制这些解决方案，因此只需要进行一些细微的美学修改。

给定一个潜在的 event_outcome，按如下方式计算 outcome_payout（其中 points 是一个包括 endpoint 的列表）：

1. 令 lagrange_line(i, j) = (event_outcome - points(j).event_outcome)/(points(i).event_outcome - points(j).event_outcome)
2. 令 lagrange(i) := PROD(j = 0, j < points.length && j != i, lagrange_line(i, j))
3. 返回 SUM(i = 0, i < points.length, points(i).outcome_payout * lagrange(i))

双曲线曲线段

此规范的目标是高效、紧凑地启用通用双曲线形状，同时确保更简单、更常见的赔付曲线（例如 constant/outcome）在符合通用结构的同时不会变得复杂。

这是通过总共使用 7 个参数来实现的，这些参数可以（几乎）唯一地表达曲线 1/x 的每个仿射变换。 具体来说，我们有 (f_1, f_2) + ((a, b), (c, d))*(x, 1/x)，它是由点 (f_1, f_2) 平移添加到由矩阵 ((a, b), (c, d)) 变换的曲线 (x, 1/x)，其中 a*d =/= b*c。 最后一个参数是一个布尔值，用于指定存在歧义时要使用的曲线段。

这种方案使简单曲线保持简单，为了表示任何形式为 constant/x + constant' 的曲线，我们只需 设置 f_1 = b = c = 0, a = 1, d = constant, f_2 = constant'。

双曲线序列化

1. 实现：payout_curve_piece
2. 类型：1
3. 数据：
   • [bool:use_positive_piece]
   • [bool:translate_outcome_sign]
   • [u64:translate_outcome]
   • [u16:translate_outcome_extra_precision]
   • [bool:translate_payout_sign]
   • [u64:translate_payout]
   • [u16:translate_payout_extra_precision]
   • [bool:a_sign]
   • [u64:a]
   • [u16:a_extra_precision]
   • [bool:b_sign]
   • [u64:b]
   • [u16:b_extra_precision]
   • [bool:c_sign]
   • [u64:c]
   • [u16:c_extra_precision]
   • [bool:d_sign]
   • [u64:d]
   • [u16:d_extra_precision]

如果 use_positive_piece 设置为 true，则使用 y_1，否则使用 y_2。

然后有六个数值，表示为一个 bool 符号（对于正数设置为 true，对于负数设置为 false）、一个 u64 整数和一个 u16 额外精度。 确切地说，使用的数字应该是：(num_sign)( num + double(num_extra_precision) >> 16)。

字段 translate_outcome 和 translate_payout 分别对应于值 f_1 和 f_2。

请注意，此 payout_function 是从报价方的角度来看的。 要评估接受方的 payout_function，你必须在给定的 event_outcome 处评估报价方的 payout_function，并从 total_collateral 中减去结果赔付。

要求

• a*d 必须不等于 b*c。
• 结果曲线必须为每个 event_outcome 定义（没有除以零）。

双曲线评估

两个曲线段（其中一个由布尔标志选择）只是上述表达式中 y 坐标 的参数化 通过展开表达式时的 x：

y_1 = c * (x - f_1 + sqrt((x - f_1)^2 - 4*a*b))/(2*a) + 2*a*d/(x - f_1 + sqrt((x - f_1)^2 - 4*a*b)) + f_2

y_2 = c * (x - f_1 - sqrt((x - f_1)^2 - 4*a*b))/(2*a) + 2*a*d/(x - f_1 - sqrt((x - f_1)^2 - 4*a*b)) + f_2

我们将 y_1 称为正段，将 y_2 称为负段，仅仅是因为它们分别使用正平方根和负平方根。

作者

Nadav Kohen <nadavk25@gmail.com>

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• 原文链接： github.com/discreetlogco...
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