零知识证明的力量：深入理解zk-SNARK

zk-SNARK，即“零知识简洁非交互式知识论证”，使得一名验证者 能够确认一名证明者 拥有某些特定知识，这些知识被称为 witness，满足特定的关系，而无需透露关于见证本身的任何信息。

介绍

zk-SNARK，即“零知识简洁非交互式知识论证”，使得一名验证者 能够确认一名证明者 拥有某些特定知识，这些知识被称为 witness，满足特定的关系，而无需透露关于见证本身的任何信息。

为特定问题生成 zk-SNARK 包括以下四个阶段：

  1. 将问题（或函数）转换成算术门电路。

  2. 然后将这个电路翻译成矩阵公式。

  3. 这个矩阵公式进一步转换成一个多项式，这个多项式应该能被一个特定的最小多项式整除。

  4. 最后，这种可整除性在有限域的椭圆曲线点中表示出来，证明就在这里进行。

前三个步骤仅仅是转换了原始陈述的表示方式。最后一个步骤使用同态加密将第三步的陈述投影到加密空间中，使得证明者能够证实其中的镜像陈述。鉴于这种投影利用了非对称加密，从第三步的陈述回溯到原始陈述是不可行的，确保了零知识的暴露。

阅读本文所需的数学背景相当于 STEM 专业学生的大一级代数水平。 唯一可能具有挑战性的概念可能是椭圆曲线加密。对于不熟悉这一点的人来说，可以将其视为具有特殊基数的指数函数，同时要记住其逆函数仍然未解。

本文将遵循以下符号规则：

  • 矩阵：粗体大写字母，例如$A$ ；显式形式写作$[\cdot]$

  • 向量：带箭头的小写字母，例如 $\vec{s}$ ；显式形式写作 $[\cdot]$ ；默认情况下所有向量均为列向量

  • 标量：常规字母表示

让我们用这个问题作为例子：

$$ \begin{equation} f(x)=x^3+x^2+5 \end{equation} $$

假设爱丽丝想要证明她知道一个$x_0s.tf.(x_0)=41$。我们将逐步介绍爱丽丝为她的证明生成 zk-SNARK 所需采取的整个程序。

这个问题可能看起来太简单，因为它不涉及控制流（例如，if-then-else）。然而，将带有控制流的函数转换为算术表达式并不困难。例如，让我们考虑以下问题（或在编程语言中的“函数”）： 

f(x, z):
  if(z==1):
    return x*x*x+x*x+5
  else:
    return x*x+5

将这个问题重写为以下算术表达式很容易（假设 $z\in {0,1}$），这并不比方程式 (1) 复杂多少。

$f(x,z)=(z-1)(x^2+5)+z(x^3+x^2+5)$

在本文中，我们将继续使用方程式 (1) 作为讨论的基础。

第1步：算术门电路

 

方程式 (1) 可以分解为以下基本算术运算：
$$ \begin{equation}

\begin{matrix} s_1=xx \ s_2=s_1x \ s_3=s_1+s_2 \ y=s_3+5 \end{matrix}

\end{equation} $$

这对应于以下算术门电路：

我们还将方程式 (2) 称为一组4个“一级约束”，每个约束描述了电路中一个算术门的关系。通常，一组 n 个一级约束可以概括为一个二次算术程序（QAP），接下来将进行解释。

第2步：矩阵

首先，让我们定义一个“见证”向量，如下所示：

$$ \vec{s}= \left[ \begin{matrix} 1 \ x \ y \ s_1\ s_2\ s_3 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} 1 \ x \ s_3+5 \ x\cdot x\ s_1 \cdot x\ s_3 \end{matrix} \right] $$

其中$y,s_1,s_2,s_3$ 与方程式 (2) 中定义的相同。

通常，对于一个有 $m$ 个输入和 $n$ 个算术门的问题（即 n-1 个中间步骤和最终输出），这个见证向量将是 $(m+n+1)$维的。在实际问题中，数字 $n$ 可能非常大。例如，对于哈希函数，$n$ 通常是几千。

接下来，让我们构造三个 n(m+n+1) 矩阵$A,B,C$ ，以便我们可以将方程式 (2) 重写如下：

$$ \begin{equation} A \vec{s} \odot B \vec{s} = C \vec{s} \end{equation} $$

其中$\odot$表示逐点乘积，而且

$$ A= \left[ \begin{matrix} \vec{a}_1^T \ \vec{a}_2^T \ \vec{a}_3^T \ \vec{a}_4^T\ \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} 0,1,0,0,0,0\ 0,0,0,1,0,0\ 0,0,0,1,1,0\ 5,0,0,0,0,1 \end{matrix} \right]，\ B= \left[ \begin{matrix} \vec{b}_1^T \ \vec{b}_2^T \ \vec{b}_3^T \ \vec{b}_4^T\ \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} 0,1,0,0,0,0\ 0,1,0,0,0,0\ 1,0,0,0,0,0\ 1,0,0,0,0,0 \end{matrix} \right]，\ C= \left[ \begin{matrix} \vec{c}_1^T \ \vec{c}_2^T \ \vec{c}_3^T \ \vec{c}_4^T\ \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} 0,0,0,1,0,0\ 0,0,0,0,1,0\ 0,0,0,0,0,1\ 0,0,1,0,0,0 \end{matrix} \right].\ $$

方程式 (3) 只是方程式 (2) 的另一种表示形式：每组 $(\vec{a}_i,\vec{b}_i,\vec{c}_i)$ 对应于电路中的一个门。我们只需要明确地展开矩阵公式就可以看到这一点：

$$ LHS= \left[ \begin{matrix} 0,1,0,0,0,0 \ 0,0,0,1,0,0 \ 0,0,0,1,1,0\ 5,0,0,0,0,1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \ x \ y \ s_1\ s_2\ s_3 \end{matrix} \right] \odot \left[ \begin{matrix} 0,1,0,0,0,0 \ 0,1,0,0,0,0 \ 1,0,0,0,0,0\ 1,0,0,0,0,0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \ x \ y \ s_1\ s_2\ s_3 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} x\ s_1 \ s_1+s_2 \ s_3+5 \end{matrix} \right] \odot \left[ \begin{matrix} x\ x \ 1 \ 1 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} x \cdot x\ s_1 \cdot x \ s_1+s_2 \ s_3+5 \end{matrix} \right] $$

$$ RHS= \left[ \begin{matrix} 0,0,0,1,0,0 \ 0,0,0,0,1,0 \ 0,0,0,0,0,1\ 0,0,1,0,0,0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \ x \ y \ s_1\ s_2\ s_3 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} s_1 \ s_2 \ s_3 \ y \end{matrix} \right] $$

所以$LHS=RHS$ 与方程式 (2) 完全相同，矩阵方程的每一行对应一个一级约束（即电路中的一个算术门）。

我们跳过了构建 $(A,B,C)$ 的步骤，其实这些步骤相对简单直接。我们只需要根据相应的一级约束，把它们转换成矩阵形式，从而确定 $(A,B,C)$ 每一行的内容，即 $( \vec a_i, \vec b_i, \vec c_i)$。以第一行为例：可以很容易地看出，要使第一个一级约束 $x \cdot x =s_1$ 成立，我们需要的是将 $[0,1,0,0,0,0]$、$[0,1,0,0,0,0]$ 和 $[0,0,0,1,0,0]$ 与 $\vec s$ 相乘。

因此，我们已经成功地把算术门电路转换成了矩阵公式，即方程式 (3)。同时，我们也把需要证明掌握的对象，从  转变为了见证向量 $\vec s$ 。

第3步：多项式

现在，让我们构造一个 n(n+m+*1) 矩阵$P_A$，它定义了一组关于 $z$ 的多项式：

$$ \vec p_A(z)= \left[ \begin{matrix} 1 \ z \ z^2\ z^3 \end{matrix} \right]

$$

使得 $\vec p_A$ 在{1,2,3,4}处的取值满足以下条件：

$$ \begin{matrix} \vec p_A(1)=\vec a_1^T, \ \vec p_A(1)=\vec a_2^T, \ \vec p_A(1)=\vec a_3^T,\ \vec p_A(1)=\vec a_4^T. \end{matrix} $$

然后我们可以将$A$重写为：
$$ A= \left[ \begin{matrix} \vec a_1^T \ \vec a_2^T \ \vec a_3^T\ \vec a_4^T \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix} [1,z,z^2,z^3]PA|{z=1} \ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=2} \ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=3}\ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=4} \end{matrix} \right] $$

这些是六个变量的四组线性方程，可以用传统方法求解。然而，在这种情况下解决 $P_A$ 的更有效方法是拉格朗日插值，它利用了问题的特殊性。这里我们跳过求解 $P_A$ 的过程，虽然有点繁琐但很直接。

类似地，我们分别为 $B$ 和 $C$ 构造 $P_B$ 和 $P_C$。然后我们可以将矩阵公式 $A \vec s \odot B \vec s =C \vec s$ 重写为：

$$ \left[ \begin{matrix} [1,z,z^2,z^3]PA|{z=1} \ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=2} \ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=3}\ [1,z,z^2,z^3]PA|{z=4} \end{matrix} \right] \vec s \odot \left[ \begin{matrix} [1,z,z^2,z^3]PB|{z=1} \ [1,z,z^2,z^3]PB|{z=2} \ [1,z,z^2,z^3]PB|{z=3}\ [1,z,z^2,z^3]PB|{z=4} \end{matrix} \right] \vec s

\left[ \begin{matrix} [1,z,z^2,z^3]PC|{z=1} \ [1,z,z^2,z^3]PC|{z=2} \ [1,z,z^2,z^3]PC|{z=3}\ [1,z,z^2,z^3]PC|{z=4} \end{matrix} \right] \vec s $$

如果提取出每一行单独观察，不难发现这四行对应于在四个点分别求值的相同表达式。因此，上述矩阵方程等价于：

$P(z)=0$，at z=1,2,3,4

其中$P(z)$定义为:

$P(z)=[1,z,z^2,z^3]P_A \vec s \cdot [1,z,z^2,z^3]P_B \vec s -[1,z,z^2,z^3]P_C \vec s$

确定$P(z)=0$ 在1,2,3,4 是否成立的最快方法是检查它是否可以被 $(z-1)(z-2)(z-3)(z-4)$ 整除，这被称为“最小多项式”，记为$t(z)$ 。即检查 $P(z)$ 的因式分解：是否存在一个多项式 $h(z)$ 使得 $P(z)$ 可以分解为$h(z)×t(z)$ 。换句话说，我们需要证明以下分解：

$$ \begin{equation} p_A(z)×p_B(z)-p_C(z)=h(z)×t(z) \end{equation} $$

其中：

$$

\begin{matrix} p_A(z)=[1,z,z^2,z^3]P_A \vec s , \ p_B(z)=[1,z,z^2,z^3]P_B \vec s , \ p_C(z)=[1,z,z^2,z^3]P_C \vec s . \end{matrix}

$$

一种直接但不保密的方式来证明这一点是提供方程式 (4) 的左边并展示因式分解。然而，zk-SNARK 的主要目的是保持隐秘（不透露任何知识）。因此，我们不会直接证明这个方程，而是在椭圆曲线点的空间中证明它的加密版本。

第4步：椭圆曲线点

将方程式 (4) 重写为：

$$ \begin{equation} p_A(z)×p_B(z)=h(z)×t(z)+p_C(z)×i(z) \end{equation} $$

其中 $i(z)=1$ 只是 $z$ 的一个平凡的零次多项式，用来使方程统一——所有项都是二次的。这样做的必要性很快就会变得清晰。注意这个方程只包含 $z$ 的多项式的加法和乘法。

从高层次上看，这就是我们要做的：将多项式（具体来说，是多项式的系数）映射到椭圆曲线点，并将方程式 (5) 转换为加密空间中的以下镜像方程，这是需要证明的陈述：

$$ \begin{equation} E(p_A) \otimes E(p_B)=E(h) \otimes E(t) \oplus E(p_C) \otimes E(1) \end{equation} $$

请注意，算术运算，加法 + 和乘法 × ，也被映射到椭圆曲线点的有限域上的对应运算。圆圈中的运算符号 $\oplus$ 和 $\otimes$  用来避免混淆，并表明这些是重新定义的域运算。

接下来，我们将更详细地阐述实际的操作步骤。

椭圆曲线加密

椭圆曲线的一般理论远远超出了本文的范围。就本文的目的而言，椭圆曲线被定义为从素域 $\mathbb{F}_p \rightarrow E$ 的函数，其中 $E$ 包括满足 $y^2=x^3+ax+b$ 的点（称为椭圆曲线点，简称 ECPs）。

请注意，虽然到目前为止我们一直在讨论常规算术，但现在当我们转换到素域时，数字的算术运算是以模运算的方式进行的。例如，$a+b \equiv a+b (mod\ p)$，其中 $p$ 是 $\mathbb{F}_p$ 的阶。

另一方面，两个椭圆曲线点的加法定义如下图所示：

Figure from Wikipedia

具体来说，两个 ECPs $P$和 $Q$的加法：

  1. 找到直线 $PQ$ 和曲线的交点 $R$，定义为-$(P+Q)$

  2. 翻转到曲线上 $R$ 的“镜像”点 $R'$。

因此我们定义椭圆曲线点的加法$P \oplus Q = R'$：

请注意，这个规则也适用于特殊情况，即一个 ECP 自加的情况，此时将使用该点的切线。

现在假设我们随机选择一个点 $G$，并将数字 1 映射到它上面。（这种“初始映射”听起来有点任意。稍后将进行讨论）。然后对于任何 $n \in \mathbb{F}_p$，我们定义：

$E(n):=G \oplus G \oplus ... \oplus G = G \cdot n$

这有一个操作表达式。定义 $\oplus G$ 的操作为“生成器”，记为 $g$。那么上述定义等同于：

$E(n) := g^n$

也就是说，$E(n)$ 是从 $G$ 开始，进行 n-1 次 $\oplus G$ 操作的椭圆曲线点。这实际上是椭圆曲线加密最初构建的方式：

  1. 从 $G$作为 $E(1)$ 开始；

  2. 然后进行 $\oplus G$ 操作跳转到 $E(2)$：曲线和 $G$ 处切线的交点的翻转；

  3. 然后再次进行 $\oplus G$ 操作跳转到 $E(3)$：曲线和直线$E(1)E(2)$ 的交点的翻转；

  4. 依此类推。

所以 $\oplus G$ 操作就像 $\mathbb{F}_p$中的 “++” 操作符。（请记住， $\mathbb{F}_p$中的加法是以模运算的方式定义的）。

对于不熟悉椭圆曲线的人来说，你可以将这种映射类比为一个常规的指数函数，其中基数 $g$ 代替了实数。算术运算的行为类似。然而，一个关键的区别是$g^n$ 的逆函数在计算上是不可行的。也就是说，没有办法计算椭圆曲线版本的$log_g(n)$ 。这当然是椭圆曲线加密的基础。这样的映射被称为单向加密。

请注意，给定一个椭圆曲线，由于选择 $G$（因此选择“生成器” $g$）是任意的（除了 x 轴上的点），有无限种映射方式。选择 $G$（或 $g$）可以类比为选择指数函数的基数（$2^x,10^x,e^x,$等），这是常识的一部分。

定义了加法后，以下线性关系很容易看出：

$E(n+m)=G \cdot (n+m) =G \cdot n \oplus G \cdot m = E(n) \oplus E(m)$

范数表达：

$g^{n+m}=g^ng^m=g^n \oplus g^m$

因此，$\mathbb{F}_p$ 中的任何线性关系（或约束）都会通过这种映射在加密空间 $E$ 中得到保留。例如， $\mathbb{F}_p$中的方程 $l+m=n$ 将导致 $E(l)\oplus E(m)=E(n)$，或者 $g^lg^m=g^n$。

然而，Alice 想要证明的方程式 (5) 是二次形式的，所以线性不够。为了处理二次项，我们需要在加密空间中定义乘法。这被称为配对函数，或双线性映射，接下来将进行解释。

双线性映射

假设 $G_1,G_2$ 和 $G_T$ 是素数阶 $q$ 的群。配对函数，或 双线性映射，定义为：

$e:G_1×G_2 \rightarrow G_T$

使得如果 $g,h$ 分别是 $G_1$ 和 $G_2$ 的生成器，则 $e(g,h)\not=1$ 是 $G_T$ 的生成器，并且 $e(g^a,h^b)=e(g,h)^{ab}$。

这个配对函数是我们在加密空间中需要的“乘法”操作，用于处理方程式 (5) 中的二次项。

$e(A,B \oplus C)=e(g^a,h^bh^c)=e(g^a,h^b)e(g^a,h^c)=e(A,B)\oplus e(A,C)$ $e(A \oplus D , C)=e(g^ag^d,h^c)=e(g^a,h^c)e(g^d,h^c)=e(A,B)\oplus e(D,C)$

其中$A=g^a,D=g^d,B=h^b,C=h^c$是$G_1$和$G_2$中的元素。这个定义当然比本文所需的更为一般。你可以把$A,B,C,D$看作是椭圆曲线点。

让我们用$\otimes$作为乘法操作的符号，那么双线性可以用算术形式重写：

$A \otimes (B \oplus C) = (A \otimes B) \oplus (A \otimes C)$ $(A \oplus B) \otimes C = (A \otimes B) \oplus (B \otimes C)$

这是我们都熟悉的东西——加法和乘法操作的分配律。

有了这样的双线性映射，我们就可以将方程式 (5) 的两边映射到加密空间。

公共参考字符串    

在这里，我们需要一个可信的第三方来选择五个随机系数：$\alpha,\beta_A,\beta_B,\beta_B,\gamma$，以及一个随机点$z_0 \in \mathbb{F}$ ，在这个点上将会（虚拟地）评估多项式。这个 6 元组 $\alpha,\beta_A,\beta_B,\beta_B,\gamma,z_0$ 被称为“toxic waste”，需要被丢弃。

请注意，整个程序基于对第三方正确处理有毒数据的信任。在现实中，这个“可信设置”程序并不是一个简单的任务。在这篇文章中，我们将假设这一步骤将被正确进行。

设 $\vec z_0 = [1,z_0,z_0^2,z_0^3]$，并计算：

  • $E(\vec z_0),E(\alpha \vec z_0)$

  • $E(\vec z_0P_A),E(\alpha \vec z_0P_A),E(\beta_A \vec z_0 P_A)$

  • $E(\vec z_0P_B),E(\alpha \vec z_0P_B),E(\beta_B \vec z_0 P_B)$

  • $E(\vec z_0P_C),E(\alpha \vec z_0P_C),E(\beta_C \vec z_0 P_C)$

这整体被称为“证明钥”（proving key），记为 PK。请注意， $E(\cdot)$中包含向量的表示法应该被解释为椭圆曲线点的向量，其中每个点都是从相应的向量元素映射而来的。所以这 11 个向量实际上包含 62（=4*2+6*3+6*3+6*3）个椭圆曲线点。这 62 个 ECP 将被提供给 Alice，即证明者。在一个一般的情况下，对于一个有 个输入和 个一级约束的问题，PK 将包含 $2n+3(m+n+1)*3=11n+9m+9$ 个 ECP。

同时，进行以下计算：

  • $E(1),E(\alpha),E(t(z_0))$

  • $E(\gamma),E(\gamma \beta_A),E(\gamma \beta_B),E(\gamma \beta_C)$

整个过程被称作“验证钥”，简称VK。这里只涉及7个椭圆曲线点（ECPs），需要提供给验证方。要注意的是，不管问题里面涉及多少输入和一级约束，VK始终是由7个ECPs构成的。

另外，值得一提的是，“可信设置”以及生成PK和VK的过程，对于一个特定的问题来说，只需操作一次即可。

证明与验证

现在拥有公钥（PK），爱丽丝将计算以下椭圆曲线点（ECPs）：

  • $E_A=E( \vec z_0 P_A \vec s)=E(\vec z_0 P_A)\vec s$

  • $E'_A=E( \alpha \vec z_0 P_A \vec s)=E(\alpha \vec z_0 P_A)\vec s$

  • $E_B=E( \vec z_0 P_B \vec s)=E(\vec z_0 P_B)\vec s$

  • $E'_B=E( \alpha \vec z_0 P_B \vec s)=E(\alpha \vec z_0 P_B)\vec s$

  • $E_C=E( \vec z_0 P_C \vec s)=E(\vec z_0 P_C)\vec s$

  • $E'_C=E( \alpha \vec z_0 P_C \vec s)=E(\alpha \vec z_0 P_C)\vec s$

  • $E_h=E(h z_0)=E(\vec z_0 \vec h)=E(\vec z_0)\vec h$

  • $E'_h=E( \alpha h (z_0))=E( \alpha \vec z_0 \vec h)=E( \alpha \vec z_0)\vec h$

  • $E_\beta=E(\beta_A \vec z_0 P_A \vec s + \beta_B \vec z_0 P_B \vec s + \beta_C \vec z_0 P_C \vec s)=E(\beta_A \vec z_0 P_A) \vec s + E( \beta_B \vec z_0 P_B) \vec s + E\beta_C \vec z_0 P_C) \vec s)$

这9个椭圆曲线点就是零知识简洁非交互式证明（zk-SNARK）的关键！

注意，爱丽丝其实只是对公钥里的椭圆曲线点做了些线性组合运算。这点特别关键，验证时会重点检查。

现在，爱丽丝交出了zk-SNARK证明，咱们终于进入验证环节，分三步走。

首先得确认，前8个椭圆曲线点真的是通用参考串里那些点的线性组合。

$E_A \otimes E(\alpha)=E'_A \otimes E(1)$
$E_B \otimes E(\alpha)=E'_B \otimes E(1)$
$E_C \otimes E(\alpha)=E'_C \otimes E(1)$
$E_h \otimes E(\alpha)=E'_h \otimes E(1)$

其次，检查$E_A,E_B,E_C$确实来自同一个见证向量$\vec s$：

$E_\beta \otimes E(\gamma) = E_A \otimes E(\gamma \beta_A) \oplus E_B \otimes E(\gamma \beta_B) \oplus E_C \otimes E(\gamma \beta_C) $

最后，检查等式（5）的相等性：

$E_A \otimes E_B = E_h \otimes E_t \oplus E_C \otimes E(1)$

如果这三项检查都成立，那么等式（5）得到验证，因此我们相信爱丽丝知道见证。

让我们解释一下等式背后的理由。以第一部分中的第一个等式为例，等式成立是因为双线性性质：

$E_A \otimes (E(1) \cdot \alpha)=(E(A) \cdot \alpha ) \otimes E(1)$

然而，由于爱丽丝不知道 $\alpha$ 的值，她无法明确计算这个加法。她唯一能想出来满足等式的一对 $E_A,E'_A$ 的方法，是分别用相同的一组系数$\vec s$ ，计算 $E(\vec z_0P_A)$ 和 $E(\alpha \vec z_0 P_A)$ 的两个组合。

参考文献

  1. “Zk-SNARKs: Under the Hood” (Vitalik Buterin)

  2. “A Review of Zero Knowledge Proofs” (Thomas Chen, Abby Lu, Jern Kunpittaya, and Alan Luo)

  3. “Why and How zk-SNARK Works: Definitive Explanation” (Maksym Petkus)

  4. Website: Zero-Knowledge Proofs

  5. Wikipedia: Elliptic curve

  6. Wikipedia: Finite field

  7. Wikipedia: Pairing-based cryptography

免责声明

本研究报告内的信息均来自公开披露资料，且本文中的观点仅作为研究目的，并不代表任何投资意见。报告中出具的观点和预测仅为出具日的分析和判断，不具备永久有效性。

编译：DODO Research

作者：0xAlpha  Co-founder @DeriProtocol

欢迎关注推特：@0x_Alpha

0xAlpha 投稿 DODO research。这篇文章将用数学解码这项技术，揭示它如何在不透露任何信息的情况下证明知识的真实性。准备好，让我们一起揭开 zk-SNARK 的神秘面纱。

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