零知识证明 - zkSNARK入门

理解逻辑，和写文章是两种能力。理解逻辑是将逻辑整理抽象，写文章是将逻辑丰富的过程。很多工程师大量训练的是抽象能力，不愿意写文章，因为觉得“烦”，再复杂的逻辑经过抽象整理后，就是几句话，甚至一句话。在抽象逻辑完成之后，工程师也就满足了。而这样的抽象，是很少人能理解或者说普通人都不懂的。写文章，是将抽象逻辑丰富化，和普通人的逻辑快速建立连接，引导普通人理解抽象后的逻辑。

网络上讲解零知识证明的文章就不多，这些文章要不太浅显，要不太深入，很少有能给入门者整体框架上的认识。

比如，阿里巴巴零知识证明就是一个非常好的通俗理解零知识证明的例子：

阿里巴巴被强盗抓住，为了保命，他需要向强盗证明自己拥有打开石门的密码，同时又不能把密码告诉强盗。他想出一个解决办法，先让强盗离开自己一箭之地，距离足够远让强盗无法听到口令，足够近让阿里巴巴无法在强盗的弓箭下逃生。阿里巴巴就在这个距离下向强盗展示了石门的打开和关闭。

这个整个过程就是零知识证明，证明者能够在不向验证者提供任何有用信息（石门的口令）的情况下，使验证者相信某个论断（阿里巴巴知道打开石门的方法）是正确的。

技术人除了通俗的理解零知识证明外，还需要对零知识的理论和推导过程深入理解运用。以太坊的这篇blog，比较适合想深入理解零知识证明的小伙伴。

本篇文章也是这篇 blog 的翻译和我自己的理解。通过这篇文章，能快速建立零知识证明的逻辑框架。虽然这篇文章有些推导公式，但是相对简单，小伙伴可以耐心阅读。

0 - 零知识证明

先给出零知识证明的逻辑框架：

零知识证明的基本概念

零知识证明，zkSNARK，zero-knowledge Succint Non-interactive ARguments of Knowledge 的简称：

• Succinct：证明的数据量比较小
• Non-interactive：没有或者只有很少交互。
• ARguments：验证者只对计算能力有限的证明者有效。拥有足够计算能力的证明者可以伪造证明。这也叫“计算可靠性"（相对的还有”完美可靠性"）。
• of Knowledge：对于证明者来说在不知道证据（Witness，比如一个哈希函数的输入或者一个确定 Merkle-tree 节点的路径）的情况下，构造出一组参数和证明是不可能的。

零知识证明大体由四部分组成：

• 多项式问题的转化 - 需要证明的问题转化为多项式问题 t(x)h(x) = w(x)v(x)，证明者提交证明让验证者确认多项式成立。
• 随机挑选验证 - 随机选择验证的数值 s，验证 t(s)h(s) = w(s)v(s)。相对于验证多项式相等 t(x)h(x) = w(x)v(x)，随机挑选验证，简单，验证数据少。随机挑选验证，安全性肯定不及多项式等式验证，但如果确实足够随机，安全性还是相当高的。
• 同态隐藏 - 同态隐藏指的是函数的一种特性。输入的计算和输出的计算保持“同态”。以加法同态为例，满足如下的三个条件的函数 E(x)，称为加法同态：1. 给定 E(x)，很难推导出 x. 2. 不同的输入，对应不同输出 3. E(x+y) 可以由 E(x)，E(y)计算出来。乘法同态类似。
• 零知识 - 证明者和验证者之间除了“问题证明与否”知识外，不知道其他任何知识（不知道随机挑选值，不知道挑选值的多项式计算结果等等）。

在了解零知识的基础概念上，慢慢推导整个零知识证明过程，先从 NP 问题说起。

1 - NP 问题以及约化

解决一个问题需要花费时间。如果解决问题需要的时间与问题的规模之间是多项式关系，则可以称该问题具有多项式复杂度。一般问题可分成两类：P 问题和NP 问题。P 问题指的是在多项式时间内可解的问题。 NP 问题（Non-Deterministic Polynomial Problem，非确定性多项式问题），指不能在多项式内可解，但是可以在多项式时间内验证的问题。

很显然，P 问题也是 NP 问题，但是是否 NP 问题是 P 问题，NP=P？，目前为止还没有人能证明。一般认为，NP 问题不等于 P 问题，也就是说，NP 问题不存在多项式解法。

约化(Reduction)，可以理解成问题的转化。对任意一个程序 A 的输入，都能按某种法则变换成程序 B 的输入，使两程序的输出相同，那么，可以说，问题 A 可约化为问题 B。

NPC 问题，是一个 NP 问题，并且，其他所有的 NP 问题都能归约到它。简单的说，NP 问题之间可以相互归约，一个 NP 问题求解，其他 NP 问题一样能求解。

举例说明，NP 问题以及 NP 问题的归约。

布尔公式满足性问题（SAT 问题，boolean formula satisfiability) 就是一个 NP 问题。布尔公式定义如下：

• 假设变量 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , ... 是布尔公式
• 假设 f 是布尔公式， $\lnot f$ 也是布尔公式（取反）
• 假设 f 和 g 是布尔公式， $f \land g$ 和 $f \lor g$ 也是布尔公式（与和或）

一个布尔公式可满足，指输入是 0/1 的情况下，存在输出为真。SAT 问题指，找出所有可满足的布尔公式。SAT 问题看上去，除了枚举一个个可能的布尔公式外，没有更好的办法，也就是多项式时间内不可解。如果知道一个可满足的布尔公式，验证非常方便（输入是 0/1 的情况下，看看输出是否为真）。SAT 问题是 NP 问题。

再看看另外一个 NP 问题：PolyZero 问题。PolyZero 问题指某个多项式满足：多项式输入是 0 或 1 的情况下，多项式输出为 0。

$$ PolyZero(f) := 1 $$

f 满足输入是 0/1 的情况下，多项式输出为 0。

一个布尔表达式 f 可以通过如下的归约函数 r，转化为多项式：

• $$ r(x_i) := (1-x_i) $$
• $$ r(\lnot f) := (1-r(f)) $$
• $$ r(f \land g) := (1- (1 - r(f))(1 - r(g))) $$
• $$ r(f \lor g) := r(f)r(g) $$

也就是说，一个 SAT 问题，通过归约函数 r，可以归约为一个 PolyZero 问题：f 是可满足的，当且仅当 r(f)输出为 0。

$$ SAT(f) = PolyZero(r(f)) $$

总结一下，NP 问题是在多项式时间内无解，但是可以多项式时间验证的问题。NP 问题可以相互归约。

2 - QSP 问题

需要证明的问题，肯定是 NP 问题，如果是 P 问题，不存在问题解的”寻找“，也就不存在证明。简单的说，zkSNARK 问题处理的都是 NP 问题。既然 NP 问题相互可以归约，首先需要确定一个 NP 问题，其他 NP 问题都可以归约到这个 NP 问题，再进行证明。也就是，证明了一个 NP 问题，就可以证明所有 NP 问题。

QSP 问题是个 NP 问题，也特别适合 zkSNARK。为啥特别适合，目前还不需要深究。有相关的论文论证。

QSP 问题是这样一个 NP 问题：给定一系列的多项式，以及给定一个目标多项式，找出多项式的组合能整除目标多项式。输入为 $n$ 位的 QSP 问题定义如下：

• 给定多个多项式： $v_0, ... , v_m, w_0, ... , w_m$
• 目标多项式： $t$
• 映射函数： $$ f: \left{(i, j) |1\leq i \leq n, j\in{0,1} \right} \to \left{1, ... m\right} $$

给定一个证据（Witness）u，满足如下条件，即可验证 u 是 QSP 问题的解：

• $$ a_k, b_k = 1\ \ 如果 k = f(i, u[i]) $$
• $$ a_k, b_k = 0\ \ 如果 k = f(i, 1- u[i]) $$
• $$ v_aw_b能整除\ t，其中v_a = v_0 + a_1v_1 + ... + a_mv_m, w_b = w_0 + b_1w_1+ ... + b_mw_m $$

对一个证据 u，对每一位进行两次映射计算（ $u[i]$ 以及 1 $-u[i]$ ），确定多项式之间的系数。因为针对证据 u 的每一位，计算两次，确定多项式之间的系数，如果 2n < m ，多项式的选择还是有很大的灵活性。

如果证明者知道 QSP 问题的解，需要提供证据（也就是 u）。验证者在获知证据 u 的情况下，按照上述的规则恢复出多项式的系数，验证 $v_av_b$ 是否能整除 $t$ ： $th=v_aw_b$ 。为了方便验证者验证，证明者可以同时提供 $h$ 。在多项式维度比较大的情况下，多项式的乘法还是比较复杂的。

有个简单的想法，与其验证者验证整个多项式是否相等，不如随机挑选数值进行验证。假设验证者随机挑选验证数值 s，验证者只需要验证 $t(s)h(s)=v_a(s)w_b(s)$ 。

以上是基础知识，下面开始介绍 zkSNARK 的证明过程。在继续深入一个 QSP 问题证明细节之前，先看看一个多项式问题的证明过程。

3 - 多项式问题的证明过程

假设一个多项式

$$ f(x)=a_0+a_1x+a2x^2+ ... + a{d-1}x^{d-1}+a_dx^d $$

。证明一个多项式，即给定一个输入 $x$ ，提供 $f(x)$ 的证明。

3.1 有线群论基础（椭圆曲线）

定一个有限群，生成元是 $g$ ，阶为 $n$ ，则该群包括如下的元素： $g^0,g^1,g^2, ... ,g^{n-1}$ 。通过有限群加密的方式很简单： $E(x) := g^x$ 。也就是说，得知 $g^x$ 的情况下，不能反推出 $x$ 。

3.2 选定随机数

验证者随机选择一个有限群中的元素，比如 $s$ 。提供如下的计算结果（ $s$ 的不同阶的加密结果）：

$E(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$

在生成这些计算结果后， $s$ 就不需要了，可以忘记。

3.3$E(f(s))$ 计算

举个例子， $f(x) = 4 + 2x + 4x^2$ ， $E(f(s)) = E(s^0)^4E(s^1)^2E(s^2)^4$ 。显然， $E(f(s))$ 可以不知道 $s$ 的情况下，通过验证者提供的数据计算出来。

3.4$\alpha$ 对

注意的是，验证者是不知道待证明的多项式参数的，即使证明者提供了 $E(f(s))$ ，验证者也无法验证。 $\alpha$ 对的方法可以让验证者确认证明者是通过多项式计算出结果。 在 3.2 的基础上，验证者还随机选择另外一个元素 $\alpha$ ，并提供额外的计算结果：

$E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$

证明者需要提供 $E(f(s))$ 和 $E(\alpha f(s))$ 。

$E(f(s)) = E(s^0)^4E(s^1)^2E(s^2)^4$

$E(\alpha f(s)) = E(\alpha s^0)^4E(\alpha s^1)^2E(\alpha s^2)^4$

3.5 配对函数

配对函数$e$，满足如下定义：

$e(g^x, g^y) = e(g, g)^{xy}$

验证者验证$\alpha$对的方式很简单，检验如下的等式是否成立：

$e(E(f(s)), g^\alpha) = e(E(\alpha f(s)), g) $

假设$A= e(E(f(s)), B=E(\alpha f(s))$推导过程如下：

$e(A, g^\alpha) = e(E(f(s)), g^\alpha) = e(g^{f(s)}, g^\alpha) = e(g, g)^{\alpha f(s)}$

$e(B, g) = e(E(\alpha f(s)), g) = e(g^{\alpha f(s)}, g) = e(g, g)^{\alpha f(s)}$

到此为止，验证者提供$\alpha$对的情况下，证明者可以证明通过某个多项式计算出某个结果，验证者不知道具体的多项式的参数。

3.6 $\delta $ 偏移

更进一步，证明者采用$\delta $ 偏移，甚至不想让验证者知道$E(f(s))$。采用$\delta $ 偏移，证明者不再提供$A$和$B$，而是随机一个$\delta $参数，提供$A'$和$B'$。

$A' = E(\delta + f(s)) = g^{\delta + f(s)} = g^\delta g^{f(s)} = E(\delta)E(f(s)) = E(\delta)A$

$B' = E(\alpha (\delta + f(s))) = E(\alpha\delta + \alpha f(s)) = g^{\alpha \delta + \alpha f(s)} = E(\alpha)^\delta E(\alpha f(s)) = E(\alpha)^\delta B$

很显然，验证者从$A'$无法推导出$E(f(s))$，但验证者一样能验证$\alpha$对的配对函数是否成立：

$e(A', g^\alpha) = e(E(\delta + f(s)), g^\alpha) = e(g^{\delta + f(s)}, g^\alpha) = e(g, g)^{\alpha (\delta + f(s))}$

$e(B, g) = e(E(\alpha (\delta + f(s)), g) = e(g^{\alpha (\delta + f(s))}, g) = e(g, g)^{\alpha (\delta + f(s))}$

多项式的整个证明过程如下图所示：

4 - QSP问题的skSNARK证明

skSNARK证明过程分为两部分：a) setup阶段 b）证明阶段。QSP问题就是给定一系列的多项式$v_0, ..., v_m, w_0, ..., w_m$以及目标多项式$t$，证明存在一个证据$u$。这些多项式中的最高阶为$d$。

4.1 setup和CRS

CRS - Common Reference String，也就是预先setup的公开信息。在选定$s$和$\alpha$的情况下，发布如下信息：

• $s$和$\alpha$的计算结果

  $E(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$

  $E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$

• 多项式的$\alpha$对的计算结果 $E(t(s)), E(\alpha t(s))$

  $E(v_0(s)), ... E(v_m(s)), E(\alpha v_0(s)), ..., E(\alpha v_m(s))$

  $E(w_0(s)), ... E(w_m(s)), E(\alpha w_0(s)), ..., E(\alpha w_m(s))$

• 多项式的$\beta_v, \beta_w, \gamma$ 参数的计算结果

  $E(\gamma), E(\beta_v\gamma), E(\beta_w\gamma)$

  $E(\beta_vv_1(s)), ... , E(\beta_vv_m(s))$

  $E(\beta_ww_1(s)), ... , E(\beta_ww_m(s))$

  $E(\beta_vt(s)), E(\beta_wt(s))$

4.2 证明者提供证据

在QSP的映射函数中，如果2n < m，1, ..., m中有些数字没有映射到。这些没有映射到的数字组成$I_{free}$，并定义（$k$为未映射到的数字）：

$v_{free}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

证明者需提供的证据如下

• $V{free} := E(v{free}(s)), \ W := E(w(s)), \ H := E(h(s)),$

• $V{free}' := E(\alpha v{free}(s)), W' := E(\alpha w(s)), H' := E(\alpha h(s)), $

• $Y := E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))$

$V{free}/V{free}', W/W', H/H' 是 \alpha 对，用以验证 v_{free}, w, h是否是多项式形式。$

$t 是已知，公开的，毋需验证。 Y 用来确保 v_{free}(s) 和 w(s) 的计算采用一致的参数。$

4.3 验证者验证

在QSP的映射函数中，如果2n < m，1, ..., m中所有映射到的数字作为组成系数组成的二项式定义为（和$v_{free}$互补）：

$v_{in}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

验证者需要验证如下的等式是否成立：

• $e(V{free}', g) = e(V{free}, g^\alpha), e(W', E(1)) = e(W, E(\alpha)), e(H', E(1)) = e(H, E(\alpha))$

• $e(E(\gamma), Y) = e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W)$

• $e(E(v0(s))E(v{in}(s))V_{free}, E(w_0(s))W) = e(H, E(t(s)))$

$第一个（系列）等式验证 V{free}/V'{free} , W/W', H/H' 是否是 \alpha 对。$ $第二个等式验证 V{free} 和 W 的计算采用一致的参数。$ $因为v{free}和w都是二项式，它们的和也同样是一个多项式，所以采用\gamma 参数进行确认。$ 证明过程如下：

$e(E(\gamma), Y) = e(E(\gamma), E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))) = e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))}$

$e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W) = e(E(\betav\gamma), E(v{free}(s)))e(E(\beta_w\gamma), E(w(s))) $ $= e(g,g)^{(\betav\gamma)v{free}(s)}e(g,g)^{(\beta_w\gamma)w(s)} = e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s))}$

第三个等式验证$v(s)w(s) = h(s)t(s)$，其中$v0(s)+v{in}(s)+v_{free}(s) = v(s)。$

简单的说，逻辑是确认$v, w, h$是多项式，并且$v,w$采用同样的参数，满足$v(s)w(s) = h(s)t(s)$。

到目前为止，整个QSP的zkSNARK的证明过程逻辑已见雏形：

4.4 $\delta $ 偏移

为了进一步“隐藏” $V{free} 和 W，额外需要采用两个偏移: \delta{free} 和 \deltaw$。 $v{free}(s)/w(s)/h(s)$进行如下的变形，验证者用同样的逻辑验证。

　$v{free}(s) \rightarrow v{free}(s) + \delta_{free}t(s)$ 　$w(s) \rightarrow w(s) + \deltawt(s)$ 　$h(s) \rightarrow h(s)+\delta{free}(w_0(s) + w(s)) + \delta_w(v0(s) + v{in}(s) + v{free}(s)) + (\delta{free}\delta_w)t(s)$

至此，zkSNARK的推导逻辑就基本完整。使用zkSNARK证明，由如下的几步组成：

1/ 问题转化: 一个需要证明的NP问题转化为选定的NP问题（比如QSP问题）

2/ 设置参数（setup）：设置参数的过程也是挑选随机数的过程，并提供CRS

3/ 证明者获取证据u，通过CRS计算证据（proof）

4/ 验证者验证证据以及响应的proof

总结

零知识证明由四部分组成：多项式问题的转化，随机挑选验证，同态隐藏以及零知识。需要零知识证明的问题先转化为特定的NP问题，挑选随机数，设置参数，公布CRS。证明者，在求得证据的情况下，通过CRS计算出证据。验证者再无需其他知识的情况下可以进行验证。

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