通过前向兑换 Hook 改进 Uniswap v4 最优路由

介绍 - 自动做市商的发展

如果你曾在 Uniswap 上交易，你可能会把它看作是一个用于代币的去中心化自动售货机——你投入代币 A，它就会吐出代币 B。但这个自动售货机并不是使用固定价格的——它是由一个数学函数来动态确定价格的，该函数基于供需关系进行调整。

Uniswap v4 引入了 hooks，这就像是可以改变这个函数行为的自定义修改。这些 hooks 会干扰曲线，在某些情况下，它们实际上使路由质量更优。这些 hooks 可以：

• 根据市场条件动态调整手续费。
• 引入限价单，让交易者指定确切的买入或卖出价格。
• 使用外部流动性（RFQs），使交易能以比自动池通常允许的更优价格进行。

这就提出了一个根本性的问题：

何时 hook 可以被证明改善路由？

在本文中，我们将严格定义“证明改善路由”，并展示在特定条件下，hooks 会严格扩展执行可能性，改善交易者结果，并保持最佳路由问题的可解性。

CFMMs 和路由的数学

Uniswap 的正常工作方式

一个常数函数做市商（CFMM）为资产 $A$ 和 $B$ 维护储备 $R_A, R_B$，强制施加不变函数：

$$ \Psi(R_A - x, R_B + y) = k. $$

这只是说：

两个代币储备的乘积（或其他某个函数）始终是恒定的。

将 $x$ 单位的 $A$ 兑换为 $y$ 单位的 $B$ 满足正交换函数：

$$ y = \phi(x). $$

这个函数描述的是你每单位代币 A 得到多少代币 B。

对于标准 CFMM（如 Uniswap v2、Curve 或 Balancer），$\phi(x)$ 满足：

• 单调性：$\phi'(x) \geq 0$（如果你增加代币 A 的数量，你会得到更多代币 B。）
• 凹性：$\phi''(x) \leq 0$（你交易越多，兑换率越差，因为每多交换一个代币的价格略差。）

$\phi(x)$ 的凹性确保了当你购买更多资产时，你的价格会反向变化，使大宗交易变得更昂贵。

这使得 AMM 像真实市场一样运作——随着你深入交易，流动性被“拉伸”。

Hooks 如何修改交换函数

Uniswap v4 中的 hook 通过引入一个额外的项来修改交换函数：

$$ \tilde{\phi}(x, s) = \phi(x) + h(x, s). $$

其中：

• $\phi(x)$ 是原始的交换函数。
• $h(x, s)$ 是 hook 引发的修改。
• $s$ 是一个外部状态变量（如预言机价格、限价单、RFQ 报价或流动性激励）。

Hook 启用的定价函数示例

在 上一篇文章 中，我们详细解释了三种基于 Tarun 等人的最新论文 的 hook 启用的正交换函数的用例。

1. 限价单（分段线性段）

   • 用户在一定量限制下进行固定价格交易。
   • 这使得交换曲线在该范围内“平坦”。

   从数学上讲：

   $$ \tilde{\phi}(x) = \begin{cases} \phi(x), & x < x1 \ P{\text{limit}} x, & x_1 \leq x \leq x_2 \ \phi(x), & x > x_2. \end{cases} $$

   效果：在该中间区域，价格不变——你获得的是固定汇率，没有滑点。

2. RFQ Hooks（外部流动性源）

   • 函数检查外部价格馈送并获取更优价格，而不是始终跟随 CFMM 曲线：

   $$ h(x, s) = \max(\phi(x), P_{\text{RFQ}}(s)). $$

   效果：这行为类似于传统金融中的暗池，在那里流动性在更优价格位置“神奇地出现”。

3. 时间加权执行（平滑价格冲击）

   • 并不是一次性交易，而是分为多个小交易进行：

   $$ h(x, t) = \frac{1}{T} \sum_{i=1}^{T} \phi(x_i). $$

   效果：这减少了大交易的价格冲击。

这些 hooks 扩大了可能交易的集合，但什么时候这种扩展实际上改善了路由？

什么时候 Hooks 被证明改善路由

可证明改善的 Hooks 定义

要使 hooks 可证明改善路由，我们要求三个基本属性：

1. 对任何交易规模没有更差：$\tilde{\phi}(x) \geq \phi(x)$ 对于所有 $x \geq 0$。

   • 意味着：修改后的交换函数永远不会提供比原始函数更差的汇率。
   • 它的重要性：这确保用户永远不会被迫进入次优交易。

2. 对某些交易规模严格改善：存在 $x^*$ 使 $\tilde{\phi}(x^*) > \phi(x^*)$。

   • 意味着：hook 必须为至少一种交易规模提供明显更好的汇率。
   • 它的重要性：否则，hook 无法扩展可行交易集，使其在功能上无用。

3. 保持凹性和单调性：$\tilde{\phi}(x)$ 必须保持凹且非递减。

   • 意味着：修改后的函数仍然表现得像一个良定义的市场：较大的交易不会产生递增的边际回报。
   • 它的重要性：确保凹性保证了聚合商的全局路由问题仍然是凸的，这意味着它仍然可以在多项式时间内求解。

因此，我们可以正式定义 可证明改善的 hooks 集合 如下：

$$ \mathcal{H}(\phi) = \Big{ \tilde{\phi} \colon \mathbb{R}+ \to \mathbb{R}+ \; \Big| \; \tilde{\phi}(x) \geq \phi(x) \; \forall x, \quad \tilde{\phi} \text{ 是凹的且非递减的}, \quad \exists x^ \text{ 使得 } \tilde{\phi}(x^) > \phi(x^*) \Big}. $$

这是所有能够证明改善路由的 hook 启用的正交换函数的集合。

如果 $\tilde{\phi} \in \mathcal{H}(\phi)$，则路由是 可证明改善 的。

• 在 $\mathcal{H}(\phi)$ 中的 hooks 确保交易者永远不能获得更糟的汇率。
• 如果 $\tilde{\phi}(x) > \phi(x)$，则路由严格改善。
• 凹性确保最佳路由仍然是可解的。
• 如果 $\tilde{\phi} \notin \mathcal{H}(\phi)$，则该 hook 要么降低路由质量，要么破坏可解性。

可证明改善路由的数学证明

正式优化问题

交易者的工作是寻找多个流动性池中的最佳路线，优化其效用函数 $U(x)$：

$$ \max{x \in \mathbb{R}+^N} U(x) \quad \text{subject to} \quad x \in \mathcal{F}(\phi). $$

其中：

• $U(x)$ 是交易者的效用函数（例如，来自交换的净输出）。
• $\mathcal{F}(\phi)$ 是由 CFMM 正交换函数定义的可行交易集。

当引入 hook 时，可行集扩展到 $\mathcal{F}(\tilde{\phi})$，其中：

$$ \mathcal{F}(\tilde{\phi}) = {(x, y) \in \mathbb{R}_+^2 \;|\; y \leq \tilde{\phi}(x) }. $$

由于 $\tilde{\phi}(x) \geq \phi(x)$ 根据定义，因此新的可行集始终更大， $\mathcal{F}(\tilde{\phi}) \supset \mathcal{F}(\phi)$。

因此，最佳路由解决方案改善：

$$ U(x^(\tilde{\phi})) \geq U(x^(\phi)). $$

如果 hook 在某个交易规模 $x^*$ 上提供严格改善，则：

$$ U(x^(\tilde{\phi})) > U(x^(\phi)). $$

简而言之，如果添加 hooks 总是增加最佳交易，则路由严格改善。

这在以下情况下得以保证：

1. 可行交易集扩展：$\mathcal{F}(\tilde{\phi}) \supset \mathcal{F}(\phi)$。
2. 在某个交易区域存在价格改进 $h(x) > 0$。
3. 聚合商保留选择性：如果 hook 没有好处，可以被忽视。

路由改善的变分证明

现在，让我们通过优化技术严谨地证明这一点。

KKT 条件及其重要性

在最佳交易执行时，Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件 描述了约束优化问题中最佳性的必要条件。

对于最佳路由问题，一级条件表明：

$$ \frac{\partial U}{\partial x_i} = \lambda \frac{\partial \tilde{\phi}(x)}{\partial x_i}. $$

其中：

• $U(x)$ 是交易者的效用函数（例如，交易的净输出）。
• $\lambda$ 是拉格朗日乘数，表示流动性约束的阴影价格。
• $\frac{\partial \tilde{\phi}(x)}{\partial x_i}$ 是边际交换率，即交易者每单位输入能得到的额外输出量。

这为什么重要？

• 如果 $\tilde{\phi}(x)$ 在某个 $x$ 上提供比 $\phi(x)$ 更好的汇率，那么：
  • $\frac{\partial \tilde{\phi}(x)}{\partial x_i} > \frac{\partial \phi(x)}{\partial x_i}$。
  • 这增大了最佳交易规模 $x_i^*$，因为交易者总是朝着更高的边际效用每单位输入移动。
• 路由不改善的唯一方式是交易者完全忽视这个 hook，这与假设 $h(x) > 0$ 在某些 $x$ 上相矛盾。

因此，引入一个可以证明改善的 hook 一定会导致最佳交易量的增加和更好的路由结果。

Gateaux 微分：衡量 Hooks 的影响

另一种理解这一改进的方法是通过变分分析。

考虑对正交换函数的小扰动：

$$ \tilde{\phi}(x) = \phi(x) + \epsilon h(x). $$

其中：

• $\epsilon$ 是一个缩放因子，表示对原始函数的微小修改。
• $h(x)$ 是对交换函数的 hook 引发的修改。

要测量这对最佳路由解决方案的影响，我们取效用函数的 Gateaux 导数：

$$ \frac{d}{d\epsilon} U(x^*(\tilde{\phi})) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial U}{\partial x_i} h(x_i). $$

解释：

• 由于 $h(x) \geq 0$ 对于所有 $x$（根据 $\mathcal{H}(\phi)$ 的定义），我们可以得出：

  $$ \frac{d}{d\epsilon} U(x^*(\tilde{\phi})) \geq 0. $$

• 这意味着引入 hook 后，路由结果不会变差。

• 此外，如果某些交易规模上 $h(x) > 0$，那么：

  $$ \frac{d}{d\epsilon} U(x^*(\tilde{\phi})) > 0. $$

  这证明了在 hook 启用的函数下，最佳路由解决方案严格改善。

因此，我们已经在数学上建立了：

• Hooks 总是扩展执行可能性，而不会使情况变得更糟。
• 每当 hook 在某个交易规模上提供严格更好的汇率时，最佳路由解决方案就会改善。

定理：使用 Hooks 可证明的改善路由

现在，让我们正式化一个主要定理，保证 hook 修改的正交换函数在保持凸可解性的同时改善路由。

定理（可证明改善路由）

设 ${ \phii }{i=1}^{m}$ 是 $m$ 个 CFMM 池的原始正交换函数。假设我们通过 hooks 修改它们，得到新函数 ${ \tilde{\phi}_i }_{i=1}^{m}$，其中每个 $\tilde{\phi}_i$ 属于集合 $\mathcal{H}(\phi_i)$。定义新的可行交易集：

$$ \tilde{T}i = {(x,y) \in \mathbb{R}+^2 \;|\; y \leq \tilde{\phi}_i(x) }. $$

那么：

• 新的路由问题仍然是一个凸优化问题：

  $$ \max{x} U!\Bigl(\sum\nolimits{i=1}^m A_i x_i \Bigr) \quad \text{subject to} \quad x_i \in \tilde{T}_i. $$

• 最佳结果弱改善：

  $$ U(x^(\tilde{\phi})) \geq U(x^(\phi)). $$

• 如果某些 $x$ 上 $\tilde{\phi}_i(x) > \phi_i(x)$，则路由严格改善：

  $$ U(x^(\tilde{\phi})) > U(x^(\phi)). $$

因此，$\mathcal{H}(\phi)$ 中的 hooks 可证明改善路由，严格提高用户效用，同时保持可解性。

直觉与关键见解

• 扩大可行交易集

  • 由于 $\tilde{\phi}(x) \geq \phi(x)$，每个之前的交易仍有效或改善。
  • 结果：路由器总是可以找到相同或更好的路径。

• 保持凸性 = 保持路由可处理性

  • 凹性确保路由在多项式时间内可解。
  • 如果没有凹性，路由问题可能变为非凸，导致局部最优和低效。

• 属于 $\mathcal{H}(\phi)$ 的实际 hook 示例

  • 限价单：它们添加了分段线性改进，保持 $\tilde{\phi}$ 凹性。
  • RFQ Hooks：它们提供外部流动性源，严格提高输出函数。
  • 费用折扣：它们向上移动交换函数而不打破凸性。

• 当 Hook 无法证明改善时

  • 如果 hook 降低任何交易规模的输出，它就未能满足可行交易集条件。
  • 如果 hook 引入一个非凹的区段，它会打破凸可解性。

Hook 效率前沿：金融与 AMMs 的交汇

Hooks 如何改善执行质量

我们可以定义执行质量为：

$$ R = \int{0}^{x^*} (\tilde{\phi}(x) - P{\text{market}})dx. $$

如果：

$$ \max{h} R(h) \geq \max{\phi} R(\phi). $$

均值-方差优化连接

在组合理论中，投资者最大化回报的同时最小化方差：

$$ \max_{x} \mathbb{E}[R(x)] - \lambda \text{Var}[R(x)]. $$

• Hooks 在这里扮演了新资产类别的角色。
• 如果它们在不增加方差的情况下增加预期回报，交易者总是更喜欢它们。

因此，hook 启用的 CFMM 扩展了有效路由前沿，就像投资组合多样化改善风险调整回报一样。

结论：这对 Uniswap v4 意味着什么

我们证明了什么

• Hooks 严格扩展了可能交易的集合。
• Hooks 从未使路由变得更糟（交易者可以始终忽视它们）。
• Hooks 将执行前沿向外移动（更好的执行质量）。
• 从数学上讲，可证明改善的 hooks 确保最佳路由保持凸性和可解性。

Uniswap v4 的 hook 启用正交换函数不仅仅是技术上的好奇心——它们是去中心化交易运作的根本升级。通过扩展数学上可证明的交易改进集，Uniswap 为 DeFi 带来了更灵活、高效和可定制的 AMM 系统。

参考文献

• Chitra, Tarun 等, "Optimal Routing in the Presence of Hooks: Three Case Studies, 2025."
• Diamandis 等, An Efficient Algorithm for Optimal Routing Through Constant Function Market Makers, 2023.
• Guillermo Angeris 等, An analysis of Uniswap markets, 2021
• Uniswap V4
• Guillermo Angeris 等, When Does The Tail Wag The Dog? Curvature and Market Making, 2022.

• 原文链接： github.com/thogiti/thogi...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～