与独裁者共处：变形密码学

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发布于 3天前
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本文介绍了变形密码学的概念，它允许对同一密文进行不同的解密，使得在“独裁者”审查的环境下，可以向审查者显示无害信息，同时秘密接收者可以解密出真实信息。文章通过ElGamal算法演示了变形密码学的实现，并提供了相应的Python代码示例。

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1c91Zltd6RuSBJ84SjdzT4w.png)

## 与独裁者共存：变形密码学

上周，我花了一个小时与强大的 Moti Yung 进行了精彩的对话 \[ [这里](https://www.youtube.com/watch?v=GRY178v1TpI)\]，他概述了变形密码学的用法：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/14UMd6UlvLGXkfE0P-VNdCw.png)

他还在 2022 年发表了一篇经典论文 \[ [这里](https://eprint.iacr.org/2022/639.pdf)\]：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1xtcr6CSYznc_E_LCaHUOkA.png)

通过变形图像，我们可以移动到不同的视角并看到不同的图像。例如 \[ [这里](https://www.demilked.com/anamorphosis-anamorphic-cylinder-art/)\]：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1XzJqEvO36I2PNtODgi0WGA.jpeg)

在网络安全中，我们可以使用变形密码学来改变密码的视角。有了这个，我们假设我们有一个独裁者会读取我们所有的加密数据，因此会拥有一个密钥 sk。独裁者（Mallory）会逮捕任何发送他们无法读取的秘密信息的人。为此，Bob 可以创建两个密钥：sk0 和 sk1。他将 sk0 发送给 Mallory，将 sk1 发送给 Alice（Bob 想要发送秘密信息的人）。就 Mallory 而言，他拥有密文的唯一密钥。

然后我们有一个公钥 Pk 和两个私钥 sk0 和 sk1。然后 Bob 有两条消息：

```
msg0="我爱独裁者"
msg1="我恨独裁者"
```

然后 Bob 使用公钥加密这两条消息：

```
CT=Enc(pk,msg0, msg1)
```

然后独裁者将使用 sk0 解密并显示第一条消息：

```
Dec(sk0,CT) -> m0
```

Alice 将使用她的密钥解密并显示第二条消息：

```
Dec(sk1,CT)-> m1
```

因此，独裁者认为他们可以解密消息，并得到“我爱独裁者”。 然而，Alice 能够将密文解密为另一条消息“我恨独裁者”。

有一些方法支持创建变形加密，例如 RSA-OAEP、Pailler、Goldwasser-Micali、ElGamal 方案、Cramer-Shoup 和基于 Smooth Projective Hash 的系统 \[ [这里](https://eprint.iacr.org/2023/249.pdf)\]。 在这种情况下，我们将使用 ElGamal 方法。

### ElGamal

使用 ElGamal 方法，我们创建一个密钥 sk，然后是一个公钥：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1vYFPJcsXdfzRRhSt0KDDnA.png)

其中 g 是离散对数的基础，p 是一个素数。 对于消息 m，密码是：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1JMCPvNe3BsTxZDxtgAsh9A.png)

要解密，我们执行：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1QO5xtmdkLHzxJrqe83f0fA.png)

\[2] 中的论文然后使用以下内容定义了用于变形密码学的 ElGamal 方法：

![](https://img.learnblockchain.cn/2025/04/24/1N3fJkOXesl1jCnm5tuV4lQ.png)

示例代码是 \[ [这里](https://github.com/fbanfi90/robust-anamorphic-encryption/blob/main/elgamal.py)}:\
\
```python
import random
from Crypto.Cipher import AES
from Crypto.Random import get_random_bytes

class PublicParams:
    def __init__(self, p, q, g):
        self.p = p
        self.q = q
        self.g = g

class AnamParams:
    def __init__(self, l, s, t):
        self.F = lambda pp, K, x, y: \
                    int.from_bytes(AES.new(K, AES.MODE_ECB) \
                    .encrypt(x.to_bytes(8, 'little') \
                    + y.to_bytes(8, 'little')), "little") % pp.p
        self.d = lambda ap, x: x % ap.t
        self.l = l
        self.s = s
        self.t = t

class KeyPair:
    def __init__(self, sk, pk):
        self.sk = sk
        self.pk = pk

class DoubleKey:
    def __init__(self, K, T, pk):
        self.K = K
        self.T = T
        self.pk = pk

def Gen(pp):
    sk = random.randint(0, pp.q - 1)
    pk = pow(pp.g, sk, pp.p)
    return KeyPair(sk, pk)

def Enc(pp, pk, msg):
    r = random.randint(0, pp.q - 1)
    c0 = (msg * pow(pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    return c0, c1

def Dec(pp, sk, c):
    return (c[0] * pow(c[1], -sk, pp.p)) % pp.p

def aGen(pp, ap, pk):
    K = get_random_bytes(16)
    T = dict()
    for i in range(ap.l):
        T[pow(pp.g, i, pp.p)] = i
    return DoubleKey(K, T, pk)

def aEncCtr(pp, ap, dk, msg, cm, ctr):
    found = False
    for x in range(ctr[0], ap.s):
        for y in range(ctr[1], ap.t):
            t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
            r = (cm + t) % pp.q
            if ap.d(ap, pow(pp.g, r, pp.p)) == y:
                found = True
                break
        if found:
            break
        ctr[1] = 0
    ctr[0] = (x + (1 if y == ap.t - 1 else 0)) % ap.s
    ctr[1] = (y + 1) % ap.t
    c0 = (msg * pow(dk.pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    ctx = (c0, c1)
    return ctx, ctr

def aEnc(pp, ap, dk, msg, cm):
    while True:
        x = random.randint(0, ap.s - 1)
        y = random.randint(0, ap.t - 1)
        t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
        r = (cm + t) % pp.q
        if ap.d(ap, pow(pp.g, r, pp.p)) == y:
            break
    c0 = (msg * pow(dk.pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    ctx = (c0, c1)
    return ctx

def aDec(pp, ap, dk, ctx):
    y = ap.d(ap, ctx[1])
    for x in range(ap.s):
        t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
        s = (ctx[1] * pow(pp.g, -t, pp.p)) % pp.p
        if s in dk.T:
            return dk.T[s]
    return -1

## Settings
runs = 1

## Public Parameters (safe prime, pow(g, (p - 1) // 2, p) != 1)
##p, g = int("0xFFFFFFFFFFFFFFFFC90FDAA22168C234C4C6628B80DC1CD1\
##29024E088A67CC74020BBEA63B139B22514A08798E3404DD\
##EF9519B3CD3A431B302B0A6DF25F14374FE1356D6D51C245\
##E485B576625E7EC6F44C42E9A637ED6B0BFF5CB6F406B7ED\
##EE386BFB5A899FA5AE9F24117C4B1FE649286651ECE65381\
##FFFFFFFFFFFFFFFF", 0), 5 # Oakley group (RFC 2409)
p, g = 1000000007, 5
q = p - 1
pp = PublicParams(p, q, g)
print("p =", pp.p)
print("q =", pp.q)
print("g =", pp.g)

## Anamorphic Parameters
l = 100
s = 100
t = 100
ap = AnamParams(l, s, t)
print("l =", ap.l)
print("s =", ap.t)
print("t =", ap.s)

## Keys Generation
kp = Gen(pp)
dk = aGen(pp, ap, kp.pk)
print("(sk, pk) = (%d, %d)" % (kp.sk, kp.pk))
print("K =", dk.K)
print("T = [", ", ".join(str(a) + "->" + str(b) for (a,b) in \
    sorted([((pp.g ** i) % pp.p, i) for i in range(l)])), ']')

## Testing aEnc -> Dec and aEnc -> aDec
msg = random.randint(1, pp.p - 1)
cm = random.randint(0, l - 1)
##ctr = [0, 0]
for i in range(runs):
    #c, ctr = aEncCtr(pp, dk, msg, cm, ctr)
    ctx = aEnc(pp, ap, dk, msg, cm)
    msg_ = Dec(pp, kp.sk, ctx)
    cm_ = aDec(pp, ap, dk, ctx)
    print("(%d, %d) -> aEnc -> (%d, %d) -> Dec -> %d" \
        % (msg, cm, ctx[0], ctx[1], msg_))
    print("(%d, %d) -> aEnc -> (%d, %d) -> aDec -> %d" \
        % (msg, cm, ctx[0], ctx[1], cm_))

## Testing Enc -> Dec and Enc -> aDec
for i in range(runs):
    m = random.randint(1, pp.p - 1)
    ctx = Enc(pp, kp.pk, m)
    msg_ = Dec(pp, kp.sk, ctx)
    cm_ = aDec(pp, ap, dk, ctx)
    print("%d -> Enc -> (%d, %d) -> Dec -> %d" \
        % (m, ctx[0], ctx[1], msg_))
    print("%d -> Enc -> (%d, %d) -> aDec -> %d" \
        % (m, ctx[0], ctx[1], cm_), "(!)" if cm_ != -1 else "")
```

一次示例运行是：

```
p = 1000000007
q = 1000000006
g = 5
l = 100
s = 100
t = 100
(sk, pk) = (808381696, 432452453)
K = b'\x8a\x96\xbe\x94:\x1d\x9a\x0e`1|?\x16D]N'
T = [ 1->0, 5->1, 25->2, 125->3, 625->4, 3125->5, 15625->6, 78125->7, 390625->8, 1953125->9, 9765625->10, 18207916->80, 26761407->94, 27912589->38, 48828125->11, 55390767->72, 91039580->81, 96145664->77, 102694758->31, 103515583->14, 110488626->68, 133807035->95, 134200073->44, 139562945->39, 154865266->21, 171376783->64, 184223302->35, 220538953->30, 220703118->13, 226840016->43, 234275358->63, 244107792->29, 244140625->12, 246855073->62, 249371016->61, 275989486->83, 276953835->73, 284419547->66, 335688566->89, 339598996->57, 345175854->97, 355001804->46, 358158117->24, 375225192->49, 379947423->84, 380629737->51, 384769168->74, 392214094->91, 403641586->79, 422097728->67, 430973056->20, 445368006->42, 449874206->60, 455197900->82, 467137716->88, 467919802->56, 480728320->78, 486194614->19, 489073604->41, 489974844->59, 493427546->87, 498685512->86, 513473790->32, 515743362->53, 517577915->15, 552443130->69, 567368936->33, 578716796->54, 587889561->16, 605582522->37, 619229137->76, 629396294->99, 669035175->96, 671000365->45, 678442823->90, 697238927->18, 697814725->40, 697994973->58, 725879263->98, 762215636->70, 769764317->27, 774326330->22, 775009013->47, 790790578->25, 805352287->93, 811078159->71, 836844666->34, 848821564->28, 856883915->65, 871631629->23, 875045044->48, 876125953->50, 893583966->55, 899737108->85, 903148678->52, 921116510->36, 923845833->75, 939447791->17, 953952869->26, 961070463->92 ]
(4, 2) -> aEnc -> (929257589, 695009996) -> Dec -> 4
(4, 2) -> aEnc -> (929257589, 695009996) -> aDec -> 2
451787795 -> Enc -> (749003435, 140907022) -> Dec -> 451787795
451787795 -> Enc -> (749003435, 140907022) -> aDec -> -1
```

在这种情况下，消息 1 是 4，消息 2 是 2。当我们解密时，我们得到 4，但是当我们进行变形解密时，我们得到 2。

你可以在这里运行代码：

[**变形密码学**
\\
**在网络安全中，我们可以使用变形密码学 \[1] 来改变密码的视角。有了这个，我们假设…**
\\
asecuritysite.com](https://asecuritysite.com/principles_pub/ana?source=post_page-----6aa3e1f12513---------------------------------------)

### 结论

如果你有时间，请去听听 Moti 的演讲：

YouTube

Spotify: [https://open.spotify.com/episode/0zsjAewJt8YnlB6g5Q1eZm?si=b6483c6f33df4285](https://open.spotify.com/episode/0zsjAewJt8YnlB6g5Q1eZm?si=b6483c6f33df4285)

Apple: [https://podcasts.apple.com/gb/podcast/asecuritysite-podcast/id1617044319?i=1000703484352](https://podcasts.apple.com/gb/podcast/asecuritysite-podcast/id1617044319?i=1000703484352)

### 参考

\[1] Persiano, G., Phan, D. H., & Yung, M. (2022, May). Anamorphic encryption: private communication against a dictator. In **Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques** (pp. 34–63). Cham: Springer International Publishing.

\[2] Banfi, F., Gegier, K., Hirt, M., Maurer, U., & Rito, G. (2024, May). Anamorphic encryption, revisited. In **Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques** (pp. 3–32). Cham: Springer Nature Switzerland.

>- 原文链接： [medium.com/asecuritysite...](https://medium.com/asecuritysite-when-bob-met-alice/living-with-a-dictator-anamorphic-cryptography-6aa3e1f12513)
>- 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～

与独裁者共存：变形密码学

上周，我花了一个小时与强大的 Moti Yung 进行了精彩的对话 [ 这里]，他概述了变形密码学的用法：

他还在 2022 年发表了一篇经典论文 [ 这里]：

通过变形图像，我们可以移动到不同的视角并看到不同的图像。例如 [ 这里]：

然后我们有一个公钥 Pk 和两个私钥 sk0 和 sk1。然后 Bob 有两条消息：

msg0="我爱独裁者"
msg1="我恨独裁者"

然后 Bob 使用公钥加密这两条消息：

CT=Enc(pk,msg0, msg1)

然后独裁者将使用 sk0 解密并显示第一条消息：

Dec(sk0,CT) -> m0

Alice 将使用她的密钥解密并显示第二条消息：

Dec(sk1,CT)-> m1

因此，独裁者认为他们可以解密消息，并得到“我爱独裁者”。然而，Alice 能够将密文解密为另一条消息“我恨独裁者”。

有一些方法支持创建变形加密，例如 RSA-OAEP、Pailler、Goldwasser-Micali、ElGamal 方案、Cramer-Shoup 和基于 Smooth Projective Hash 的系统 [ 这里]。在这种情况下，我们将使用 ElGamal 方法。

ElGamal

使用 ElGamal 方法，我们创建一个密钥 sk，然后是一个公钥：

其中 g 是离散对数的基础，p 是一个素数。对于消息 m，密码是：

要解密，我们执行：

[2] 中的论文然后使用以下内容定义了用于变形密码学的 ElGamal 方法：

示例代码是 [ 这里}:\ \

import random
from Crypto.Cipher import AES
from Crypto.Random import get_random_bytes

class PublicParams:
    def __init__(self, p, q, g):
        self.p = p
        self.q = q
        self.g = g

class AnamParams:
    def __init__(self, l, s, t):
        self.F = lambda pp, K, x, y: \
                    int.from_bytes(AES.new(K, AES.MODE_ECB) \
                    .encrypt(x.to_bytes(8, 'little') \
                    + y.to_bytes(8, 'little')), "little") % pp.p
        self.d = lambda ap, x: x % ap.t
        self.l = l
        self.s = s
        self.t = t

class KeyPair:
    def __init__(self, sk, pk):
        self.sk = sk
        self.pk = pk

class DoubleKey:
    def __init__(self, K, T, pk):
        self.K = K
        self.T = T
        self.pk = pk

def Gen(pp):
    sk = random.randint(0, pp.q - 1)
    pk = pow(pp.g, sk, pp.p)
    return KeyPair(sk, pk)

def Enc(pp, pk, msg):
    r = random.randint(0, pp.q - 1)
    c0 = (msg * pow(pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    return c0, c1

def Dec(pp, sk, c):
    return (c[0] * pow(c[1], -sk, pp.p)) % pp.p

def aGen(pp, ap, pk):
    K = get_random_bytes(16)
    T = dict()
    for i in range(ap.l):
        T[pow(pp.g, i, pp.p)] = i
    return DoubleKey(K, T, pk)

def aEncCtr(pp, ap, dk, msg, cm, ctr):
    found = False
    for x in range(ctr[0], ap.s):
        for y in range(ctr[1], ap.t):
            t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
            r = (cm + t) % pp.q
            if ap.d(ap, pow(pp.g, r, pp.p)) == y:
                found = True
                break
        if found:
            break
        ctr[1] = 0
    ctr[0] = (x + (1 if y == ap.t - 1 else 0)) % ap.s
    ctr[1] = (y + 1) % ap.t
    c0 = (msg * pow(dk.pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    ctx = (c0, c1)
    return ctx, ctr

def aEnc(pp, ap, dk, msg, cm):
    while True:
        x = random.randint(0, ap.s - 1)
        y = random.randint(0, ap.t - 1)
        t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
        r = (cm + t) % pp.q
        if ap.d(ap, pow(pp.g, r, pp.p)) == y:
            break
    c0 = (msg * pow(dk.pk, r, pp.p)) % pp.p
    c1 = pow(pp.g, r, pp.p)
    ctx = (c0, c1)
    return ctx

def aDec(pp, ap, dk, ctx):
    y = ap.d(ap, ctx[1])
    for x in range(ap.s):
        t = ap.F(pp, dk.K, x, y)
        s = (ctx[1] * pow(pp.g, -t, pp.p)) % pp.p
        if s in dk.T:
            return dk.T[s]
    return -1

## Settings
runs = 1

## Public Parameters (safe prime, pow(g, (p - 1) // 2, p) != 1)
##p, g = int("0xFFFFFFFFFFFFFFFFC90FDAA22168C234C4C6628B80DC1CD1\
##29024E088A67CC74020BBEA63B139B22514A08798E3404DD\
##EF9519B3CD3A431B302B0A6DF25F14374FE1356D6D51C245\
##E485B576625E7EC6F44C42E9A637ED6B0BFF5CB6F406B7ED\
##EE386BFB5A899FA5AE9F24117C4B1FE649286651ECE65381\
##FFFFFFFFFFFFFFFF", 0), 5 # Oakley group (RFC 2409)
p, g = 1000000007, 5
q = p - 1
pp = PublicParams(p, q, g)
print("p =", pp.p)
print("q =", pp.q)
print("g =", pp.g)

## Anamorphic Parameters
l = 100
s = 100
t = 100
ap = AnamParams(l, s, t)
print("l =", ap.l)
print("s =", ap.t)
print("t =", ap.s)

## Keys Generation
kp = Gen(pp)
dk = aGen(pp, ap, kp.pk)
print("(sk, pk) = (%d, %d)" % (kp.sk, kp.pk))
print("K =", dk.K)
print("T = [", ", ".join(str(a) + "->" + str(b) for (a,b) in \
    sorted([((pp.g ** i) % pp.p, i) for i in range(l)])), ']')

## Testing aEnc -> Dec and aEnc -> aDec
msg = random.randint(1, pp.p - 1)
cm = random.randint(0, l - 1)
##ctr = [0, 0]
for i in range(runs):
    #c, ctr = aEncCtr(pp, dk, msg, cm, ctr)
    ctx = aEnc(pp, ap, dk, msg, cm)
    msg_ = Dec(pp, kp.sk, ctx)
    cm_ = aDec(pp, ap, dk, ctx)
    print("(%d, %d) -> aEnc -> (%d, %d) -> Dec -> %d" \
        % (msg, cm, ctx[0], ctx[1], msg_))
    print("(%d, %d) -> aEnc -> (%d, %d) -> aDec -> %d" \
        % (msg, cm, ctx[0], ctx[1], cm_))

## Testing Enc -> Dec and Enc -> aDec
for i in range(runs):
    m = random.randint(1, pp.p - 1)
    ctx = Enc(pp, kp.pk, m)
    msg_ = Dec(pp, kp.sk, ctx)
    cm_ = aDec(pp, ap, dk, ctx)
    print("%d -> Enc -> (%d, %d) -> Dec -> %d" \
        % (m, ctx[0], ctx[1], msg_))
    print("%d -> Enc -> (%d, %d) -> aDec -> %d" \
        % (m, ctx[0], ctx[1], cm_), "(!)" if cm_ != -1 else "")

一次示例运行是：

p = 1000000007
q = 1000000006
g = 5
l = 100
s = 100
t = 100
(sk, pk) = (808381696, 432452453)
K = b'\x8a\x96\xbe\x94:\x1d\x9a\x0e`1|?\x16D]N'
T = [ 1->0, 5->1, 25->2, 125->3, 625->4, 3125->5, 15625->6, 78125->7, 390625->8, 1953125->9, 9765625->10, 18207916->80, 26761407->94, 27912589->38, 48828125->11, 55390767->72, 91039580->81, 96145664->77, 102694758->31, 103515583->14, 110488626->68, 133807035->95, 134200073->44, 139562945->39, 154865266->21, 171376783->64, 184223302->35, 220538953->30, 220703118->13, 226840016->43, 234275358->63, 244107792->29, 244140625->12, 246855073->62, 249371016->61, 275989486->83, 276953835->73, 284419547->66, 335688566->89, 339598996->57, 345175854->97, 355001804->46, 358158117->24, 375225192->49, 379947423->84, 380629737->51, 384769168->74, 392214094->91, 403641586->79, 422097728->67, 430973056->20, 445368006->42, 449874206->60, 455197900->82, 467137716->88, 467919802->56, 480728320->78, 486194614->19, 489073604->41, 489974844->59, 493427546->87, 498685512->86, 513473790->32, 515743362->53, 517577915->15, 552443130->69, 567368936->33, 578716796->54, 587889561->16, 605582522->37, 619229137->76, 629396294->99, 669035175->96, 671000365->45, 678442823->90, 697238927->18, 697814725->40, 697994973->58, 725879263->98, 762215636->70, 769764317->27, 774326330->22, 775009013->47, 790790578->25, 805352287->93, 811078159->71, 836844666->34, 848821564->28, 856883915->65, 871631629->23, 875045044->48, 876125953->50, 893583966->55, 899737108->85, 903148678->52, 921116510->36, 923845833->75, 939447791->17, 953952869->26, 961070463->92 ]
(4, 2) -> aEnc -> (929257589, 695009996) -> Dec -> 4
(4, 2) -> aEnc -> (929257589, 695009996) -> aDec -> 2
451787795 -> Enc -> (749003435, 140907022) -> Dec -> 451787795
451787795 -> Enc -> (749003435, 140907022) -> aDec -> -1

在这种情况下，消息 1 是 4，消息 2 是 2。当我们解密时，我们得到 4，但是当我们进行变形解密时，我们得到 2。

你可以在这里运行代码：

变形密码学 \ 在网络安全中，我们可以使用变形密码学 [1] 来改变密码的视角。有了这个，我们假设… \ asecuritysite.com

结论

如果你有时间，请去听听 Moti 的演讲：

YouTube

Spotify: https://open.spotify.com/episode/0zsjAewJt8YnlB6g5Q1eZm?si=b6483c6f33df4285

Apple: https://podcasts.apple.com/gb/podcast/asecuritysite-podcast/id1617044319?i=1000703484352

参考

[1] Persiano, G., Phan, D. H., & Yung, M. (2022, May). Anamorphic encryption: private communication against a dictator. In Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques (pp. 34–63). Cham: Springer International Publishing.

[2] Banfi, F., Gegier, K., Hirt, M., Maurer, U., & Rito, G. (2024, May). Anamorphic encryption, revisited. In Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques (pp. 3–32). Cham: Springer Nature Switzerland.

原文链接： medium.com/asecuritysite...

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与独裁者共处：变形密码学

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结论

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