多项式基础知识回顾

当查克·诺里斯解决多项式方程时，他不会使用二次公式或综合除法。他只是盯着变量，直到它们因为害怕而自行求解。

多项式复习

定义和示例

定义：

多项式是由变量、系数和指数运算组成的数学表达式。它通过组合项来构建，其中每个项表示一个系数和一个或多个变量的乘积，这些变量的指数为非负整数。

多项式的通用形式是：

\[\ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0\ \]

多项式的度是多项式表达式中的最高指数。如果多项式 P 的度等于 d，我们写

\[\ deg(P)=d\ \]

多项式的最高项系数指的是该多项式中具有最高指数的项的系数。

示例 1:

\[\ P_1(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\ \]

• 度：3
• 最高项系数：1

示例 2:

\[\ P_2(x) = 3x^2 - 3\ \]

• 度：2
• 最高项系数：3

图形表示

多项式是一个数学函数，可以用图形表示。

\[\ P_1(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\ \]

\[\ P_2(x) = 3x^2 - 3\ \]

从样本中定义多项式

性质：

n 个点可以完全定义一个度至多为 n-1 的多项式。

（不用担心这个性质中的“至多”部分，我们将在 示例 3 中回到它。）

示例 1:

以下 2 个点：

• (-4, -5)
• (2, 7)

可以完全定义一个度至多为 1 的多项式（用直线表示）。

以下多项式

\[\ P_3(x) = 2x + 3\ \]

是唯一的度至多为 1 的多项式，验证 P(-4) = -5 和 P(2) = 7。

示例 2:

以下 3 个点：

• (-1, 4)
• (2, 1)
• (3, 4)

可以完全定义一个度至多为 2 的多项式（用抛物线表示）。

以下多项式

\[\ P_4(x) = x^2 - 2x + 1\ \]

是唯一的度至多为 2 的多项式，验证 P(-1) = 4，P(2) = 1 和 P(3) = 4。

在某些情况下，n 个点定义了一个度 < n - 1 的多项式。

示例 3:

以下 3 个点：

• (-1, -1)
• (0, 0)
• (1, 1)

可以完全定义一个度为 1 的多项式（用直线表示）。

此示例的度为 1，而不是 2，因为 3 个约束点是对齐的。

以下多项式

\[\ P_5(x) = x\ \]

是唯一的度至多为 2 的多项式（实际上最高项系数等于 0，使其成为度为 1 的多项式），验证 P(-1) = -1，P(0) = 0 和 P(1) = 1。

n 个点不足以完全定义度为 n 的多项式。

例子：

以下 2 个点：

• (-1, -1)
• (1, 1)

可以拟合无限个度为 2 的多项式。

所有以下多项式，无论 A 的值如何

\[\ P_6(x) = A(x^2 -1) + 1\ \]

验证 P(-1) = -1 和 P(1) = 1。

因式分解形式

性质：

某些度为 n 的多项式（并非全部）可以用度为 1 的多项式的乘积表示。

定义：

如果 P(a) = 0，则 a 是多项式 P 的根。

例子：

多项式

\[\ P_6(x) = x^2 + 2x - 3\ \]

可以用其因式分解形式书写

\[\ P_6(x) = (x + 3)(x - 1)\ \]

在此示例中，-3 和 1 是 P₆ 的根。

因式分解形式便于显示

\[\ P_6(-3) = P_6(1) = 0\ \]

更一般地，度至多为 n 的多项式

\[\ P(x) = A(X-a_0)(X-a_1)...(X-a_n)\ \]

满足

\[\ P(a_0) = P(a_1) = ... = P(a_n) = 0\ \]

（无论 A 的值如何。）

• 原文链接： hackmd.io/@manunalepa/SJ...
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