CycleFold Based Nova

白菜
更新于 2023-08-28 10:55
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背景下面这张图是revisitingnova中非常经典的描述cyclecurves的图：通过上面这张图，我们可以有以下共识：我们通常称上面一层电路为primary电路，下面一层电路为secondary电路。以secondary电路为例，secondary电路需要把prima

# Thanks
- 非常感谢secbit labs的@郭宇老师 和 @even ，讨论过程中收获颇多，对folding 有了更抽象层次的理解

# CycleFold 是什么
[CycleFold](https://eprint.iacr.org/2023/1192.pdf) 是针对NOVA系的folding scheme 在代码实现层面的优化技巧，适用于所有基于cycle curves 的诸如SuperNova/HyperNova/Protostar，使得电路的成本更低，[原始paper](https://eprint.iacr.org/2023/1192.pdf) 是针对HyperNova 进行地论证，为了陈述方便，本文是基于Nova的讨论。

文章最后有一个自己的“思考”，是论文中没有涉及到的，感兴趣的欢迎讨论。

# 背景

下面这张图是[revisiting nova](https://eprint.iacr.org/2023/969.pdf) 中非常经典的描述cycle curves 的图：

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/08/XmzYX1WV64ea25a5136bf.png)

通过上面这张图，我们可以有以下共识：

* 我们通常称上面一层电路为primary 电路，下面一层电路为secondary 电路。以secondary 电路为例，secondary 电路需要把primary 电路的proof $u_i^{(1)}$  fold 进$U_i^{(1)}$，生成$U_{i+1}^{(1)}$

* primary 电路会以public IO 形式吐出来两个hash值，$x_0$ 和 $x_1$，这两个hash会随着$u_i^{(1)}$ 传递给secondary 电路

先看一下$u_i^{(1)}$ 的数据结构：
```rust
pub struct AllocatedR1CSInstance<G: Group> {  
 pub(crate) W: AllocatedPoint<G>,  
 pub(crate) X0: AllocatedNum<G::Base>,  
 pub(crate) X1: AllocatedNum<G::Base>, 
}
```

再看一下$U_i^{(1)}$ 的数据结构：

```rust

pub struct AllocatedRelaxedR1CSInstance<G: Group> { 
 pub(crate) W: AllocatedPoint<G>, 
 pub(crate) E: AllocatedPoint<G>, 
 pub(crate) u: AllocatedNum<G::Base>, 
 pub(crate) X0: BigNat<G::Base>, 
 pub(crate) X1: BigNat<G::Base>, 
}
```

我们把folding的过程大概展开一下看看：

$$
\begin{aligned}

&U_{i + 1}^{(1)}.W \leftarrow U_i^{(1)}.W \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.W,  \in \mathbb{F_q} \\

&U_{i + 1}^{(1)}.E \leftarrow U_i^{(1)}.E \overset{\text{fold}} \oplus r * \widetilde{T}, \in \mathbb{F_q} \\

&U_{i + 1}^{(1)}.u \leftarrow U_i^{(1)}.u \overset{\text{fold}} \oplus r * 1, \in \mathbb{F_q}  \\

&U_{i + 1}^{(1)}.x_0 \leftarrow U_i^{(1)}.x_0 \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.x_0, \textcolor{red} {\in \mathbb{F_p}}  \\

&U_{i + 1}^{(1)}.x_1 \leftarrow U_i^{(1)}.x_1 \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.x_1, \textcolor{red} {\in \mathbb{F_p}}  \\

\end{aligned}
$$

folding的计算主要分为两种，一种是椭圆曲线上的点的folding，另一种是hash值的folding。 熟悉EC运算的应该知道第一种比较复杂的计算过程；而第二种就非常简单了。但因为它们分别属于两个不同的field，所以即使引入cycle curves也避免不了non-native计算，只是看孰轻孰重了。

椭圆曲线上的点的folding比较贵，所以，cycle curves 就尽量照顾到它，把它变成native 的计算，那么$x_0$ 和$x_1$ 的folding就变成了non-native的计算，最大限度的降低了电路的成本。细心地会发现，它是通过把field 转成bigint 来完成non-native 计算的。bigint 的计算成本也不算很低，但相对non-native的椭圆曲线点的计算肯定要低很多很多了。那么有没有更轻量级的secondary电路呢？

# 更轻量级的secondary 电路
有没有一种可能在secondary 电路中完全避开这种non-native的计算？产生non-native的根源在于我们把椭圆曲线点的folding 和 hash值的folding放在一个电路里做了，导致cycle curve只能二选一。那么有没有可能拆开，使得他们都在native field上？

下面这张图节选自[Cycle-Fold ](https://eprint.iacr.org/2023/1192.pdf)原文中比较经典的图：

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/08/NQvc0XoS64ea279a618c2.png)

我们先描述一下它的宗旨：

1. 把基于椭圆曲线E1 的primary 电路的proof $u_i^{(1)}$ 中椭圆曲线的folding工作**代理**给基于椭圆曲线E2 的secondary 电路 $C_{EC}$

2. 剩余的两个hash 值$x_0$ 和 $x_1$ 的folding工作**透传**给下一个step 的primary 电路(HN Partial 部分)，也就是说下一个step 的primary 电路会验证上一个step primary 电路

3. secondary 电路 $C_{EC}$的proof $u_{EC}$ 还是交给primary 电路(Nova 部分)来完成(这里有个细节后面会提到)

下面主要把**代理**的整个过程给展开一下看看，对应上面的第1、2步：

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/08/ZOCbbMYb64ea2832bd1f9.png)

大概流程如下：

1. primary 电路吐出proof $u_i^{(1)}$的时候，需要对当前电路更新后的状态$U_{i−1}^{(1)}$ 进行hash，并publisize 给$u_i^{(1)}.x_1$，最后再通过$u_i^{(2)}$ 透传给下一个step 的primary 电路。
> 
> 
> 
> 目的是，在下一个step 的primary 电路folding之前对电路 $C(EC)^{(2)}$ 的input $U_{i−1}^{(1)}$ 进行合法性校验，校验通过，就**默认** 电路 $C(EC)^{(2)}$ 对椭圆曲线点$u_i^{(1)}.w$ 的folding 结果$u_i^{(2)}.w′$是正确的，这样primary 电路就可以进行其它的工作了。
> 
> 
> 
> 而电路$C(EC)^{(2)}$ 的验证工作是通过上面第3步中提到的primary 电路中的Nova folding verifier 来完成的，跟原始Nova的primary 电路一样，上图只是**代理**的过程，这部分就没有标出。

2. 正是由于primary 电路吐出proof $u_i^{(1)}$中包含hash值 $u_i^{(1)}.x_1$，而电路 $C(EC)^{(2)}$ 只是完成了$u_i^{(1)}$中的$u_i^{(1)}.w$ 的folding，$u_i^{(1)}.x_1$ 的field 又刚好与primary 电路的field 相同，所以$u_i^{(1)}.x_1$ 的folding工作轮到了下一个step 的primary 电路。

到这里，Cycle-Fold 的核心理念就完成了。

# 思考

CycleFold 强调的是轻量级的secondary 电路，主要思想是最大限度地减轻secondary 电路的成本，只是负责**代理** primary 电路的proof中的椭圆曲线点的计算，最后把**代理**计算的结果publisize后返回给primary 电路，primary 电路完成验证后接着就可以进行其它的工作了。

而secondary 电路本身的验证工作，同Nova一样，仍然需要primary 电路来做，secondary 电路吐出来的proof 中因为有public IO，所以secondary 电路proof 的folding 过程仍然免不了有少量的non-native 计算(1-2个)。

如果套用上面的思路，可不可以也把这部分non-native 的计算放到下一个step 的secondary 电路中呢？这样最终就会形成：**primary 电路proof中椭圆曲线的计算代理给了secondary 电路，secondary 电路proof中的椭圆曲线的计算代理给了primary 电路，整个folding scheme中就完全避开了non-native 的计算**。理论上是可行的，只是CycleFold原始论文中并没有提到这一点，它只是强调了轻量级的secondary 电路。

最终的逻辑大概是这样子的：

![Screen Shot 2023-08-28 at 10.31.46.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/08/qcMhTkbP64ec0719420fc.png)

# 参考资料
【1】CycleFold论文: https://eprint.iacr.org/2023/1192.pdf

# 其它相关资料
【1】关于cycle curve更多的细节：https://learnblockchain.cn/article/6429

Thanks

非常感谢secbit labs的@郭宇老师和 @even ，讨论过程中收获颇多，对folding 有了更抽象层次的理解

CycleFold 是什么

CycleFold 是针对NOVA系的folding scheme 在代码实现层面的优化技巧，适用于所有基于cycle curves 的诸如SuperNova/HyperNova/Protostar，使得电路的成本更低，原始paper 是针对HyperNova 进行地论证，为了陈述方便，本文是基于Nova的讨论。

文章最后有一个自己的“思考”，是论文中没有涉及到的，感兴趣的欢迎讨论。

背景

下面这张图是revisiting nova 中非常经典的描述cycle curves 的图：

通过上面这张图，我们可以有以下共识：

我们通常称上面一层电路为primary 电路，下面一层电路为secondary 电路。以secondary 电路为例，secondary 电路需要把primary 电路的proof $u_i^{(1)}$ fold 进$Ui^{(1)}$，生成$U{i+1}^{(1)}$

primary 电路会以public IO 形式吐出来两个hash值，$x_0$ 和 $x_1$，这两个hash会随着$u_i^{(1)}$ 传递给secondary 电路

先看一下$u_i^{(1)}$ 的数据结构：

pub struct AllocatedR1CSInstance&lt;G: Group> {  
    pub(crate) W: AllocatedPoint&lt;G>,  
    pub(crate) X0: AllocatedNum&lt;G::Base>,  
    pub(crate) X1: AllocatedNum&lt;G::Base>, 
}

再看一下$U_i^{(1)}$ 的数据结构：


pub struct AllocatedRelaxedR1CSInstance&lt;G: Group> { 
    pub(crate) W: AllocatedPoint&lt;G>, 
    pub(crate) E: AllocatedPoint&lt;G>, 
    pub(crate) u: AllocatedNum&lt;G::Base>, 
    pub(crate) X0: BigNat&lt;G::Base>, 
    pub(crate) X1: BigNat&lt;G::Base>, 
}

我们把folding的过程大概展开一下看看：

$$ \begin{aligned}

&U_{i + 1}^{(1)}.W \leftarrow U_i^{(1)}.W \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.W, \in \mathbb{F_q} \

&U_{i + 1}^{(1)}.E \leftarrow U_i^{(1)}.E \overset{\text{fold}} \oplus r * \widetilde{T}, \in \mathbb{F_q} \

&U_{i + 1}^{(1)}.u \leftarrow U_i^{(1)}.u \overset{\text{fold}} \oplus r * 1, \in \mathbb{F_q} \

&U_{i + 1}^{(1)}.x_0 \leftarrow U_i^{(1)}.x_0 \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.x_0, \textcolor{red} {\in \mathbb{F_p}} \

&U_{i + 1}^{(1)}.x_1 \leftarrow U_i^{(1)}.x_1 \overset{\text{fold}} \oplus r * u_i^{(1)}.x_1, \textcolor{red} {\in \mathbb{F_p}} \

\end{aligned} $$

folding的计算主要分为两种，一种是椭圆曲线上的点的folding，另一种是hash值的folding。熟悉EC运算的应该知道第一种比较复杂的计算过程；而第二种就非常简单了。但因为它们分别属于两个不同的field，所以即使引入cycle curves也避免不了non-native计算，只是看孰轻孰重了。

椭圆曲线上的点的folding比较贵，所以，cycle curves 就尽量照顾到它，把它变成native 的计算，那么$x_0$ 和$x_1$ 的folding就变成了non-native的计算，最大限度的降低了电路的成本。细心地会发现，它是通过把field 转成bigint 来完成non-native 计算的。bigint 的计算成本也不算很低，但相对non-native的椭圆曲线点的计算肯定要低很多很多了。那么有没有更轻量级的secondary电路呢？

更轻量级的secondary 电路

有没有一种可能在secondary 电路中完全避开这种non-native的计算？产生non-native的根源在于我们把椭圆曲线点的folding 和 hash值的folding放在一个电路里做了，导致cycle curve只能二选一。那么有没有可能拆开，使得他们都在native field上？

下面这张图节选自Cycle-Fold 原文中比较经典的图：

我们先描述一下它的宗旨：

把基于椭圆曲线E1 的primary 电路的proof $ui^{(1)}$ 中椭圆曲线的folding工作代理给基于椭圆曲线E2 的secondary 电路 $C{EC}$

剩余的两个hash 值$x_0$ 和 $x_1$ 的folding工作透传给下一个step 的primary 电路(HN Partial 部分)，也就是说下一个step 的primary 电路会验证上一个step primary 电路

secondary 电路 $C{EC}$的proof $u{EC}$ 还是交给primary 电路(Nova 部分)来完成(这里有个细节后面会提到)

下面主要把代理的整个过程给展开一下看看，对应上面的第1、2步：

大概流程如下：

primary 电路吐出proof $ui^{(1)}$的时候，需要对当前电路更新后的状态$U{i−1}^{(1)}$ 进行hash，并publisize 给$u_i^{(1)}.x_1$，最后再通过$u_i^{(2)}$ 透传给下一个step 的primary 电路。

 

目的是，在下一个step 的primary 电路folding之前对电路 $C(EC)^{(2)}$ 的input $U_{i−1}^{(1)}$ 进行合法性校验，校验通过，就默认电路 $C(EC)^{(2)}$ 对椭圆曲线点$u_i^{(1)}.w$ 的folding 结果$u_i^{(2)}.w′$是正确的，这样primary 电路就可以进行其它的工作了。

 

而电路$C(EC)^{(2)}$ 的验证工作是通过上面第3步中提到的primary 电路中的Nova folding verifier 来完成的，跟原始Nova的primary 电路一样，上图只是代理的过程，这部分就没有标出。
正是由于primary 电路吐出proof $u_i^{(1)}$中包含hash值 $u_i^{(1)}.x_1$，而电路 $C(EC)^{(2)}$ 只是完成了$u_i^{(1)}$中的$u_i^{(1)}.w$ 的folding，$u_i^{(1)}.x_1$ 的field 又刚好与primary 电路的field 相同，所以$u_i^{(1)}.x_1$ 的folding工作轮到了下一个step 的primary 电路。

到这里，Cycle-Fold 的核心理念就完成了。

思考

CycleFold 强调的是轻量级的secondary 电路，主要思想是最大限度地减轻secondary 电路的成本，只是负责代理 primary 电路的proof中的椭圆曲线点的计算，最后把代理计算的结果publisize后返回给primary 电路，primary 电路完成验证后接着就可以进行其它的工作了。

如果套用上面的思路，可不可以也把这部分non-native 的计算放到下一个step 的secondary 电路中呢？这样最终就会形成：primary 电路proof中椭圆曲线的计算代理给了secondary 电路，secondary 电路proof中的椭圆曲线的计算代理给了primary 电路，整个folding scheme中就完全避开了non-native 的计算。理论上是可行的，只是CycleFold原始论文中并没有提到这一点，它只是强调了轻量级的secondary 电路。

最终的逻辑大概是这样子的：