Uniswap v3 数学洞察系列翻译 —— 第三部分 共 6 部分

本文翻译自https://medium.com/@med456789d/uniswap-insights-part-3-of-6-f49aa1e5523c，原系列标题为 Uniswap v3 Math Insights ，共有六部分，此为第三部分。

为了让更多人可以访问和了解关于 Uniswap V3 投资的有用信息，我们翻译了系列文章，让中文读者对 Uniswap V3 机制和投资策略选择有更深入的理解。在阅读本翻译同时，可以随时参考原文以获取更多详细信息。

简而言之：

• 拉普拉斯分布 可用于建模 X/Y 货币对的流动性。

• 通过 desmos 可用于拟合和切片 LP 头寸: https://www.desmos.com/calculator/h6dk3cvfne

• 非对称对数拉普拉斯分布 可适应 X/USD 货币对的流动性。

• 通过 desmos 可用于拟合和切片工具 X/USD: https://www.desmos.com/calculator/vqnuqbyrqt

非对称拉普拉斯分布与幂律分布相关: https://www2.seas.gwu.edu/~dorpjr/Publications/JournalPapers/SPL2005.pdf

在第二部分中，我们研究了将我们的价格范围划分为多个流动性提供者（LP）头寸。在这里，我们将使用相同的概念来建模流动性分布，看看我们如何拟合它，然后调整风险。

左侧 ETH/USD 流动性分布与右侧 ETH/BTC 不同。

请记住，我们正在与其他 LP 竞争，竞争的焦点是对价格演化方式的预测。假设没有人知道价格将何去何从，gas 费用不存在，因此任何人都可以创建无限多的 LP 头寸，而且每个人都希望优化收益并最小化发散损失的风险。鉴于不同的 LP 具有不同的时间范围，他们可能会将其预测沿不同的曲线分配。

一些流动性提供者（LP）可能会分配更长的时间范围，扩大他们对价格变动的潜在预测。而其他分配更短时间的LP将缩小他们的分布范围。这两种分配方式会相互交叉，并在交叉范围内提供流动性。

如果我们将所有这样的分布堆叠在一起，我们将得到一个流动性分布，它恰好类似于拉普拉斯分布。

拥有相同时间范围的、更为风险回避的流动性提供者会将他们的分布范围扩大（深蓝色），而那些希望通过集中在当前价格附近以获得更高收益、并暴露自己更多潜在发散损失的提供者（浅蓝色）则会将其分布范围缩小。

如果我们将所有这些分布叠加在一起，我们将得到一个流动性分布，它恰好类似于拉普拉斯分布。

拉普拉斯分布 — https://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_Laplace_distribution

对于基准币种为稳定币（X/USD而不是X/Y）的情况，对数拉普拉斯分布正好适用。

Desmos链接：https://www.desmos.com/calculator/cultd9cxpx

为什么拉普拉斯分布适用呢？当波动性随时间的平方根演化时，每个 LP 分配给额外一天的时间都必须以非线性方式扩大他的预测，因为价格有可能会远离起始点。如果我们假设原点价格为 1 美元，并让价格在两个方向上以平方根速度衰减，那么价格空间中的拉普拉斯分布恰好适用。

Desmos链接：https://www.desmos.com/calculator/cultd9cxpx

我们使用了具有附加参数 kappa 的 非对称 拉普拉斯分布，以考虑不对称性。例如，考虑下面的 MKR/ETH 分布，它似乎是倾斜的，因此 desmos 中的不对称参数可以帮助您很好地捕捉到这一点。此外，参数 lambda 帮助我们代表波动性，而 mu 则代表中心平均值。

我们可以将拉普拉斯分布组合使用，以用作第 1 和第 2 部分中的范围的截止边界。请记住，在现实世界中，我们必须担心 gas 费用，因此我们无法创建无限多的 LP 头寸来完美匹配分布，而是必须通过使用 Riemann 积分的微积分来优化一些离散的 LP 头寸，就像第 2 部分一样。

具有 kappa 的 MKR/WETH 对的非对称倾斜，Desmos 链接：https://www.desmos.com/calculator/h6dk3cvfne

对于 ETH/USD 的 Desmos 链接：https://www.desmos.com/calculator/mu6alnatxc

根据积分，蓝色矩形的总和将等于我们拉普拉斯分布下方的面积。创建太多的矩形虽然有效，但会过于冗余并消耗我们的 gas 费，但只创建一个矩形会错失将资本分散到多个流动性提供者头寸中以获得额外收益的机会。

3 个 LP 头寸与 7 个 LP 头寸

那么我们应该创建多少个呢？每增加一个额外的 LP 头寸，我们就捕获到更少的关于我们分布的额外信息。使用三个 LP 头寸可以捕获偏斜，但不能涵盖曲线下的整个区域，但从七个到八个的增加并不像从六个到七个那样显著。因此，捕获分布预测的最低数量应该是 三 ，但超过 七 后，燃气费用开始积累，同时捕获分布的范围略微减少。

请注意，将分布变得更窄（增加 lambda）会增加发散损失的可能性，因为它会在中心（mu）集中更多的流动性。为了避免这种情况，可以通过减小 lambda 的大小或简单地将 mu 上的顶部栏 削减 来使拉普拉斯分布的顶部变平。

通过将 lambda 值向下推动来修剪这些拉普拉斯峰值。

当然，还有许多其他可以用于预测的分布。广义双曲线分布（拉普拉斯是其中的子类）用于模拟金融中的重尾事件，这在这里也可能有用：https://en.wikipedia.org/wiki/Generalised_hyperbolic_distribution

或者使用维基百科上的数百种其他分布：https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions

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