本文深入探讨了有限循环群的基本定理，解释了该定理如何保证循环群中循环子群的存在性。文章从子群的定义、群的阶、元素的幂、循环子群和循环群等概念入手，逐步引入有限循环群的基本定理，并通过实例展示了如何利用该定理寻找有限域中的乘法子群及其生成元。此外，文章还提到了该定理在密码学和 ZK-STARKs 中的应用背景。

本文深入探讨了Uniswap v3中恒定乘积公式的推导及其与实际储备金的关系。文章解释了如何在特定价格区间内，利用流动性(L)、上下限价格(pl, pu)以及实际储备金(xr, yr)来表示恒定乘积公式，并讨论了该公式在不同价格场景下的应用，以及如何从该公式推导出实际储备金。

本文详细介绍了以太坊中智能合约地址的推导方法，包括EOA、CREATE和CREATE2三种方式。文章深入探讨了RLP编码在地址生成中的应用，通过Solidity代码示例展示了如何预测合约地址，并解释了nonce在EOA和合约账户中的作用。此外，还介绍了使用CREATE2预计算合约地址的方法，并通过Foundry脚本演示了如何预先计算地址并部署相互依赖的合约。

本文深入探讨了 Uniswap v3 中真实储备金的概念，解释了如何根据流动性、价格以及上下限价格计算一个segment中的真实储备金，并提供相应的公式。文章还讨论了在当前价格超出segment范围时如何计算真实储备金，以及如何在实际交易中使用这些公式。

本文深入探讨了 Uniswap v3 中的两种储备类型：真实储备和虚拟储备。真实储备代表一个 segment 中存在的实际代币数量，而虚拟储备代表如果 segment 是无限曲线的一部分，它将拥有的代币数量。文章详细解释了这两种储备的定义、计算方法以及它们在 Uniswap v3 交易中的作用，并解释了Uniswap v3如何通过虚拟储备，使用与Uniswap v2 相同的数学公式计算交易价格。

本文详细解释了 Uniswap V3 TickMath 库中 getSqrtRatioAtTick() 函数的工作原理。

本文介绍了 Circom 中 public input 和 output 的概念，以及如何在 Circom 电路中定义和使用它们。

本文是关于Circle STARKs中Circle FFT算法的系列文章的第一部分，主要介绍了构建圆形域的基础概念，包括STARK友好的素数演变、圆曲线、群结构、孪生陪集和标准位置陪集等，并给出了详细的示例和推导。文章还提供了Python代码示例，帮助读者理解和实践这些概念，为后续深入研究Circle FFT算法奠定基础。

本文深入探讨了群论中的子群、生成元和本原元素的概念。首先从加法群入手，例如 Z6 和 Z9， 然后转向乘法群，例如 Z7 和 Z11。通过具体的例子和 Python 代码，展示了如何识别子群，找到生成元，并计算模逆。文章还介绍了本原元素的概念，并提供了在 Zp* 中寻找本原元素的 Python 代码。

本文介绍了平方乘算法，它是一种在O(log n)时间内计算整数幂的算法，相比于朴素算法的O(n)时间复杂度更高效。文章解释了该算法的原理，包括平方指数序列和如何利用指数的二进制表示来选择正确的平方指数序列元素。此外，还探讨了如何将该算法应用于具有分数指数和固定点数的场景，并提供了Python和Solidity的实现示例，最后提到了Uniswap V3中使用平方乘算法的例子。