本文深入探讨了 Uniswap v3 中真实储备金的概念，解释了如何根据流动性、价格以及上下限价格计算一个segment中的真实储备金，并提供相应的公式。文章还讨论了在当前价格超出segment范围时如何计算真实储备金，以及如何在实际交易中使用这些公式。

本文深入探讨了 Uniswap v3 中的两种储备类型：真实储备和虚拟储备。真实储备代表一个 segment 中存在的实际代币数量，而虚拟储备代表如果 segment 是无限曲线的一部分，它将拥有的代币数量。文章详细解释了这两种储备的定义、计算方法以及它们在 Uniswap v3 交易中的作用，并解释了Uniswap v3如何通过虚拟储备，使用与Uniswap v2 相同的数学公式计算交易价格。

本文详细解释了 Uniswap V3 TickMath 库中 getSqrtRatioAtTick() 函数的工作原理。

本文介绍了 Circom 中 public input 和 output 的概念，以及如何在 Circom 电路中定义和使用它们。

本文是关于Circle STARKs中Circle FFT算法的系列文章的第一部分，主要介绍了构建圆形域的基础概念，包括STARK友好的素数演变、圆曲线、群结构、孪生陪集和标准位置陪集等，并给出了详细的示例和推导。文章还提供了Python代码示例，帮助读者理解和实践这些概念，为后续深入研究Circle FFT算法奠定基础。

本文深入探讨了群论中的子群、生成元和本原元素的概念。首先从加法群入手，例如 Z6 和 Z9， 然后转向乘法群，例如 Z7 和 Z11。通过具体的例子和 Python 代码，展示了如何识别子群，找到生成元，并计算模逆。文章还介绍了本原元素的概念，并提供了在 Zp* 中寻找本原元素的 Python 代码。

本文介绍了平方乘算法，它是一种在O(log n)时间内计算整数幂的算法，相比于朴素算法的O(n)时间复杂度更高效。文章解释了该算法的原理，包括平方指数序列和如何利用指数的二进制表示来选择正确的平方指数序列元素。此外，还探讨了如何将该算法应用于具有分数指数和固定点数的场景，并提供了Python和Solidity的实现示例，最后提到了Uniswap V3中使用平方乘算法的例子。

本文解释了Uniswap V3协议中如何将sqrtPriceX96转换为tick，以及如何从tick转换回sqrtPriceX96，讨论了相关的数学公式和代码实现，以及如何在Python中进行计算，最后通过练习，帮助读者理解如何在实际的Uniswap V3池中进行这些转换。

本文介绍了 Uniswap V3 中 tick spacing 的概念及其与交易手续费、资产波动率之间的关系。Tick spacing 决定了流动性池中允许使用的最小价格间隔，影响交易 gas 成本和流动性提供者的流动性集中程度。文章还阐述了手续费档位与 tick spacing 之间的对应关系，以及 Uniswap 如何通过治理来调整这些参数。

本文介绍了 Circom 编程语言，它用于创建 Rank 1 Constraint Systems (R1CS) 并填充 R1CS 的 witness 向量，主要是为了简化约束系统的设计和自动化 witness 的生成。文章还解释了 Circom 存在的意义，以及它如何帮助开发者更轻松地进行零知识证明相关的开发，最后说明了学习 Circom 的理由，并概述了资源结构，包括语法和约束设计。