椭圆曲线密码学：

初学者介绍

椭圆曲线密码学（ECC）是一种使用有限域上的椭圆曲线来导出密钥的公钥密码学。它是驱动网站加密、加密货币、iMessage、信用卡和许多其他安全数据传输系统的魔法。本文旨在为任何对ECC没有任何先前知识的人提供一个高层次的概述。让我们开始吧。

在我们实际深入ECC之前，让我们分解一些术语。

1. 密码学：密码学是确保信息在第三方存在的情况下安全传输的科学。以互联网为例；你通过互联网发送的每条消息、每张照片或每条信息都是通过空气传输的，任何人都可以监听。如果没有密码学，发送任何远程机密的内容都是不明智的。
2. 密钥：密钥是访问其他信息所必需的一段信息。它通常是一串字符，用于在密码学中编码和解码消息。
3. 公钥（非对称）密码学：非对称密码学是一类使用数学关联的密钥对进行加密/解密的密码学。非对称加密的基础在于，任何用一个密钥加密的信息只能用另一个密钥解密。因此，如果你用我的公钥加密信息，只有我用我的私钥才能解密。这一概念稍后将变得相关。

了解了不熟悉的术语后，让我们开始讨论什么是椭圆曲线。

什么是椭圆曲线

椭圆曲线是由以下方程定义的数学函数：

其中，a和b是任何实数变量，并且满足以下条件：

以下是几幅椭圆曲线的图片：

所有椭圆曲线都具有两个特性：

1. 它们都关于x轴对称，
2. 通过曲线上的任意两个点的直线只会与曲线上的其他一个点相切。

这两个椭圆曲线的属性对理解ECC至关重要。

椭圆曲线上的操作

在普通代数中，你可以执行加法、减法、乘法和除法。在椭圆曲线上，你可以对位于椭圆曲线上的点执行的操作只有两种：

1. 将一个点加到它自己上。

取椭圆曲线上的一个点P。要得到2P（在椭圆曲线术语中），我们在点P处画一条切线，切线与曲线相切的地方是-2P。由于椭圆曲线对x轴对称，我们翻转-2P的值，得到2P。在这个例子中，R = 2P。

2. 将两个点相加。

假设椭圆曲线上的两个点，P和Q，我们想要一个点R使得P + Q = R。根据椭圆曲线的第二个性质，如果我们画一条通过P和Q的直线，它将会准确地在曲线上与一个点相切。正如你所猜到的，这个点是-R。如果我们翻转这个点，就得到了R。这里，R = P + Q。

重要的是要注意，椭圆曲线上的操作是可交换的。也就是说，无论你是将P加到Q还是将Q加到P，答案总是R。

椭圆曲线的单向性

假设我给你两个椭圆曲线上的点。我告诉你，其中一个是另一个的椭圆曲线倍数（ecMUL）；从数学上来说，推导出这个倍数是不可能的。

换句话说，如果 A = a.G，仅凭 a 和 A 是不可能提取出 G 的。

找到A的已知唯一方法是通过暴力方式，即对每一个可能的 a（1，2，3，4，5，6，7，8，…，∞）将 G 加到自己身上，直到得到A。

得益于计算机的强大，对于一个小的椭圆曲线，经过数小时的暴力计算，你应该能够找到 a。但对于一个足够大的曲线，在你尝试所有可能的解决方案之前，太阳实际上会爆炸并摧毁地球。

另一个 a 和 A 的重要属性是它们是数学上关联的。可以设计出一种编码算法，使得用 a 编码的任何内容只能用 A 解码，反之亦然。这一属性与椭圆曲线的单向特性结合起来，使得它们在公钥密码学中完美适用。

ECC的一个实际例子：Diffie-Hellman密钥交换算法

DHKE 的问题陈述是一种在不安全网络上达成共享秘密的方法。

这个共享秘密通常用作对称加密的密钥，但关于这方面的进一步讨论超出了本文的范围。仅想象为两个人在不安全网络上通信，他们想要达成一个只有他们两人知道的数字。

假设我们有两个人，Alice和Bob，他们想执行DHKE。以下是他们如何通过椭圆曲线和ECC实现这一目标：

Alice和Bob首先达成一致并公开说明：

1. 他们的椭圆曲线的参数，
2. 曲线上一个称为生成点G的随机点。

接下来，他们还各自选择随机数，Alice选择 a，Bob选择 b。这些数字是他们的私钥，他们不对外透露。

接下来，他们每个人都通过用生成点对私钥执行椭圆曲线倍数来生成公钥A和B。

他们通过不安全网络将这些公钥相互发送。

到目前为止，以下所有信息都是公开的：

1. Alice和Bob选择的椭圆曲线
2. 生成点G。
3. 公钥A和B。

但只有Bob和Alice知道他们的私钥。

有了这些信息，Alice和Bob可以独立创建一个其他人无法导出的共享密钥。以下是具体如何进行的：

由于椭圆曲线倍数是可交换的，如果Alice和Bob利用对方的公钥与自己的私钥相乘，他们将得到相同的答案。

对于Bob：

对于Alice：

任何在不安全网络上监听的人都获得了椭圆曲线、A、B和G。但是所有这些信息对于导出共享秘密来说都是不够的。

以上是ECC在实际中如何用于保护信息的基本示例。

椭圆曲线的另一个用途是椭圆曲线数字签名算法（ECDSA），但那是另一个主题。

结论

本文探讨了ECC的高层工作原理。为了简单起见，我省略了一些细节，例如ECC中使用的椭圆曲线是定义在有限域而不是实数集上的。但很多信息对理解这个概念来说是多余的。希望你能从中获得对椭圆曲线和ECC工作原理的高层而完整的理解。

这就是本文的全部内容，祝你一切顺利。

• 原文链接： apfikunmi.medium.com/are...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～