[UNISWAP 系列] 2. 理解 CPMM

[UNISWAP SERIES]

1. 理解Uniswap
2. 理解CPMM
3. 深入了解Uniswap V3
4. 理解AMM

本文是[Uniswap Series]的第二篇文章，旨在通过公式理解Uniswap的加密货币价格决定方法。由于本文不涉及Uniswap服务的基本概念，因此建议你在阅读本文之前，先阅读上一篇文章《1. 理解Uniswap》。

引言

Uniswap是一个提供两种加密货币交换交易的去中心化交易所。交易所实现方式选择了AMM模式，而不是中心化交易所使用的订单簿形式。通过AMM方式进行的Uniswap代币交换过程如下所示。

1. 创建一个ETH/DAI池，可以进行ETH和DAI的交换。

（假设：ETH当前价格 = \$100，DAI当前价格 = \$1）

2. 流动性提供者以1:1的比例向池中存入1 ETH和100 DAI。
3. 向池中存入1 ETH后，接收n个DAI。

第2步提到的1:1比例是根据价值而非数量来决定的。假设ETH的当前价值为\$100，DAI的当前价值为\$1，则流动性提供者在第2步中存入1 ETH时，也必须存入100 DAI。一些读者可能会因为上述示例而认为在第3步中用户会收到100个DAI。然而，使用n个的表达是因为在实际交换中接收到的DAI数量会少于100个。

这种最初预期的价格与实际交易价格之间的差异称为滑点（Slippage）。滑点会因池中的流动性不足和交易量大而增加，滑点越大，交易者最终以更高的价格进行代币交易。

在Uniswap中实现的AMM使得代币交换不可避免地会产生滑点。关于这种现象，我们可以考虑以下问题。

在Uniswap中，为什么会发生滑点？

如果更明确地提出这个问题

Uniswap通过AMM是如何决定代币交换量的，从而导致滑点的发生？

本文希望在与读者一起探索上述问题的同时寻找答案。为此，将需要更明确地写出要寻找的答案，形式如下：

我们来了解一下，当用户交换1 ETH时，能够收到多少个DAI的自动计算方式。

最终，从Uniswap的角度更准确地表述上述问题如下。

我们来了解一下，当用户向池中存入1 ETH时，池中应剩余多少个DAI。

一旦决定了交换后池中应剩余的代币数量，代币的价格也会自动确定。当前池中如果剩余1 ETH和100 DAI，则1 ETH的价格被确定为100 DAI。因此，AMM也被称为DEX的价格决定模型。

接下来，我们将通过公式来探讨AMM如何确定DEX的交易方式，以回答上述问题。

本文不涉及帮助理解Uniswap的整体介绍。如果你希望了解Uniswap的概念、流动性提供者、滑点等内容，建议你在阅读本篇文章之前，先阅读第一篇内容。

在开始正式解释之前，我们先介绍Uniswap的AMM函数CPMM。

(1) CPMM

CPMM是Constant Product Market Makers的缩写，是Uniswap为了支持代币交易而首次定义的AMM函数。顾名思义，该函数要求变量x和y的乘积必须始终保持常量k值。接下来的文章将基于这个简单的CPMM函数详细探讨代币交换量是如何计算出来的。

在2021年5月5日，Uniswap发布了V3版本，重新制定了流动性提供方式。部分读者可能会好奇这些变化对现有CPMM逻辑产生了什么影响。为了回答这一疑问，我开始了这次研究。Uniswap V3将在下一篇文章中讨论，但为了满足与我有相同疑问的读者，这里简要提及：

Uniswap V3通过集中流动性（Concentrated liquidity）概念更新了CPMM函数，如下所示。

(2) Uniswap V3的集中流动性函数

Uniswap V3的一个突出特点是流动性提供者能够指定希望提供的价格区间，进行资金提供。这被称为位置设置，而定义该过程的函数正是公式（2）。

Uniswap V2和V3的关键区别在于流动性提供时的位置设置，而流动性提供后的逻辑，代币交换过程在V2和V3中是相同的。因此，我期待对于Uniswap V3的代币交换逻辑感兴趣的读者，也能在本文中解答一些疑问。有关修改后的CPMM函数的解释将在下一篇文章中讨论。

_本文中涉及的公式是基于Uniswap V3白皮书，为提升可读性，一些变量的表示与白皮书略有不同。_

Constant Product Market Makers (CPMM)

现在我们正式讨论基于Uniswap的CPMM函数如何决定代币交换量。该过程包含5个阶段。

1. 定义池的储备数量
2. 计算代币流动性和池的基准价格
3. 定义可以决定各代币储备数量的公式
4. 计算当兑换n个y代币时，池中应剩余的x代币的储备数量
5. 向池中添加流动性

1. 定义池的储备数量

流动性提供者希望为代币x和y的交换创建一个x/y池。为此，假设流动性提供者存入了1,000个x代币和4,000个y代币以创建池。因此，池的常数K由每个代币的供应量决定，如下所示：

(3) 池的储备数量

• X: x代币的储备数量
• Y: y代币的储备数量
• K: x/y池的储备数量

这里的储备数量指的是池中剩余的代币数量。即，X和Y代表池中剩余（或存入）的每种代币数量。池的储备数量是根据各代币的储备数量的乘积确定的常数值，也叫做池的流动性。

目前，池中由流动性提供者存入的1,000个x代币和4,000个y代币，则根据公式（3），常数K的值为以下计算：

关于上述函数的图形如下所示。

图1. CPMM

• x轴: x代币的储备数量X
• y轴: y代币的储备数量Y
• 红色曲线: x/y池的储备数量K（池的流动性）

图1中，X与Y的乘积形成的矩形的面积即为常数K的值。流动性提供后，池中x代币和y代币的数量所决定的常数K在今后池中发生的所有交换交易中都是不变的固定值。 若新流动性提供者向池中额外存入代币，或现有提供者从池中取回流动性时，常数K的值会发生变化。对此我们将在最后阶段进行探讨。

2. 计算代币流动性和池的基准价格

现在我们将以池中每种代币的数量为基础来确定“交换量”。简单来说，我们将决定1个x代币可以交换为几个y代币，这个值将根据池的流动性来决定。

流动性的字面定义是将某特定商品或服务转化为其他价值的能力。将此属性应用到代币上，意味着x代币能够转化为另一价值y代币的能力。Uniswap将这种代币交换的基准称为代币流动性，定义如下：

(4) 代币流动性

我们来通过示例计算流动性的值。当前池中有1,000个x代币(X)和4,000个y代币(Y)。由此计算出的x/y池的代币流动性如下：

其中，计算出的代币流动性2,000将成为x代币与y代币之间的交换基准。我们可以基于这个交换基准定义池的基准价格。最终，‘代币交换量’将通过这一阶段决定得到的代币流动性和池的基准价格进行计算。

未来发生的交换交易中，各代币的储备X和Y可能会发生变化，但x和y的代币流动性L将保持在2,000内。

通过公式（4）可以理解常数K的值和L²的值是相等的。

(5) 池的流动性

公式（5）中的L²表示为池的流动性，与公式（3）中定义的池储备K的值相同。公式（5）是Uniswap V3中被更名为contracted liquidity的公式，因此需要记住。

需要记住的是，L²和L表示的是不同的值。L²表示池的总储备K，代表整个池的流动性，而L则适用于池中每个代币的基准流动性。

现在我们通过代币流动性L来决定各代币的流动性价值。代币的流动性价值可以理解为池中每种代币所占的价值。

在此后写到的流动性价值和代币价格的数目符号上，使用$符号以强调价格。然而，这并不意味着它具有法定货币的$(美元)价值。

若Px为x代币的价值（$），则流动性价值Lx可计算如下。

(6) x代币的流动性价值（$）

对于y代币的流动性价值Ly同样可以如此计算。

(7) y代币的流动性价值（$）

假设Lv为池的基准代币流动性价值，定义如下。

(8) 池的代币流动性价值

公式（8）中的√P表示池的基准价格。前面引言中提到，流动性提供时为了保持相同的价值，应以1:1的比例存入x代币和y代币。在这一假设下，每个代币的流动性价值相同，最终形成如下公式。

(9) 所有代币的流动性价值相同

根据公式（9），Lv²可表示为Lx和Ly，如下所示。

(10)

根据公式（4）、（8）、（10），得出如下公式。

(11)

现在我们要正式决定池的基准价格√P的值。公式（11）可进一步表示为Px和Py，如下所示。

(12) 池的基准价格√P

我们现在返回到之前的例子来计算池的基准价格√P的值。

[池现状]

• x代币储备: X = 1,000
• y代币储备: Y = 4,000
• 代币流动性: L = Lx = Ly: 2,000

通过公式（6）、（7）可计算出各代币的价格Px和Py，即基于代币流动性L，如下所示。

(13) 代币价格

在确定池的基准价格之前，应先选择作为基准的代币。 这里选择x作为池的基准代币，以便确定池的基准价格。

(14) 池的基准价格

通过公式（14）计算出的池的基准价格是√(4,000/1,000) = $2，与基准代币的价格Px的值相同。

3. 定义可以决定各代币的储备数量的函数

第三阶段，我们将基于第二阶段决定的代币流动性L和池的基准价格√P，定义一个能够计算交换后池中剩余的各代币的储备数量的函数。该函数基于公式（14）进行确定。

首先，在公式（14）的两边乘以*X 1/√P，以便定义关于X**的函数。

(15)

在公式（15）中，√(X*Y) = L，因此X的值可表示为：

(16) x代币储备

同样，Y的函数可以通过在公式（14）两边乘以*Y 1/√P**来构建。

(17) y代币储备

从公式（16）和（17）可以得出以下推论：

• 代币流动性L是一个固定值。
• √P增加时，y代币的储备量将增加。
• √P增加时，x代币的数量(X)将减少。

池中一种代币数量少于另一种代币，意味着数量较少的代币其市场价格较高。换句话说，以下逻辑成立。

• √P增加时，y代币的储备量增加，导致Py的价格下降。
• √P增加时，x代币的储备量减少，导致Px的价格上升。

4. 计算用户兑换n个y代币时池中应剩余的x的储备数量

Uniswap AMM的最终目标是在用户将y代币兑换为x代币时，决定给用户提供多少个x代币。在最后的第4步中，将计算用户在兑换2,000个y代币时应提供多少个x代币的方法。

在第3阶段中，可以基于每个代币的价格√P进行计算，但也可以基于y代币的数量进行考虑。

• 用户存入y代币以兑换x代币。
• y代币的储备量增加，导致√P增加，从而Py价格降低。
• y代币的储备量增加，导致√P增加，从而Px价格增加。

在记住这些逻辑后，绘制公式（17）的图形为如下。

图2. 池的基准价格和代币流动性对y代币的储备数量的影响

[交换前池现状]

• y代币储备: Y = 4,000
• 代币流动性: L = Lx = Ly: 2,000
• 池的基准价格: √P = $ 2
• x轴: 池的基准价格√P
• y轴: 代币流动性L
• 黑色矩形: y代币的储备数量Y

现在，假设用户存入2,000个y代币以交换x代币。在这种情况下，池现状和图2将如下变化。

图3. 交换后y代币储备数量图形

[交换后池现状]

• y代币储备: 4,000 + 2,000 = 6,000
• 代币流动性: L = Lx = Ly: 2,000
• 池的基准价格: √P = Y/L = 6,000 / 2,000 = $3

图3中，ΔY是用户为了进行交换而进一步存入的y代币数量，该值为2,000。即，用户为交换而存入的y代币数量为ΔY，而y代币储备数量Y将增加到6,000。因此，基准价格√P将增加到$3。

同时，可以发现代币流动性L的值在交换过程中未发生变化。这里需要注意的是，在交换中，正在变化的值是√P和Y，而L的值只有在流动性增加或提取的情况下才会变化。

这里有必要重新审视y代币储备的定义。用户可以请求Y代币的兑换量从0到+∞，这将使基准价格√P也可以波动至从0到+∞。考虑到随着交换而变动的值，我们可以重新定义y储备如以下公式所示。

(18) 和代币交换相关的y储备

这里因为L是一个恒定的值，所以不附加变化值Δ。

通过将公式（18）调整为代币流动性L的定义，得出如下。

(19) 与代币交换相关的流动性L

在公式（19）中，恒定的L显示出Y和√P值应以一定比例共同波动。

当考虑到交换时波动的值，绘制的y储备代币图形如下。

图4. 我们非常熟悉的Uniswap的CPMM图形

现在，让我们回到之前的例子，利用用户存入的ΔY改变的池基准价格，从而决定用户应获得的x代币数量ΔX。

用户向池中存入1 ETH时，应剩余多少个DAI

为此，我们使用公式（16）。

(20)

公式（20）得出的结果是要从池中取出并提供给用户的x代币数量。通过ΔX值，我们也可以计算池中应剩余的x代币数量X值。

(21) 交换后x代币储备数量

通过基准价格√P的变化也能计算出x代币的储备数量，得出相同的结果。

通过这些步骤，一个用户在交换2,000个y代币后将获得333个x代币，池中则将剩余666个x代币。

现在，我们将查看交换后的CPMM图形如何变化。

图5. 交换后的AMM图形

[交换后池现状]

• x代币储备: X = 666
• y代币储备: Y = 6,000
• 代币流动性: L = 2,000
• 池的基准价格: √P = $3

从图中可以看出，交换后变化的值是x代币储备和y代币储备的数量。然而，表示池的储备的红色曲线K的值并未发生变化。

通过CPMM确定储备数量的过程简要总结如下。

1. 用户存入2,000个y代币至池中
2. y代币的储备增加导致池的基准价格由2增加到3
3. 池的基准价格上升导致x代币储备从1,000减少到666
4. 取出的333个x代币支付给用户

5. 向池中添加流动性

通过1至4阶段的过程，我们观察了代币交换进行后池的现状和CPMM图形的变化。现在，我们将研究当池中增加或减少流动性时，这些值将如何变化。

[池现状]

• x代币储备数量 (X): 666个
• y代币储备数量 (Y): 6,000个
• x代币价格 (Px): $3
• y代币价格 (Py): $0.33
• 池的常数 (K): 3,996,000
• 池的代币流动性 (L): 2,000
• 池的基准价格 (√P): $3

现在，假设另一个流动性提供者打算向池中提供1,000个x代币作为流动性。为此，他还需同时提供价值为1:1的y代币。因此，该流动性提供者需存入价值为1,000个x代币 (总额$3,330) 对应的10,090个y代币。此供款将使池的状态如下变化。

[流动性供款后池现状]

• x代币的储备数量 (X): 1,666个
• y代币的储备数量 (Y): 16,090个
• x代币价格 (Px): $3
• y代币价格 (Py): $0.33
• 池的常数 (K): 26,805,940
• 池的代币流动性 (L): 5,177
• 池的基准价格 (√P): $3

通过这些值可以看出，当池流动性发生波动时，变化的值是X、Y、K及流动性L。

图6. 流动性供款后的CPMM图形

在图6中，红色虚线表示流动性供款前池的储备，而紫色曲线表示流动性供款后池的储备。流动性供款后，各代币的储备数量以相同的比例增加，池的储备量也与此相同比例增加。

图7. 流动性供款后的y代币储备

图7中y代币储备数量的增加导致代币流动性L增加，同时基准价格√P保持在$3。

结论

本文详细描述了Uniswap的AMM模型CPMM如何自动决定代币交换量。通过这个过程，当希望在x/y池中将y代币兑换为x代币时，应给用户支付多少个x代币，能够自动确定的逻辑得以清晰呈现。本文中至关重要的有以下两点需牢记。

[通过CPMM决定储备数量的方法]

1. 用户存入2,000个y代币至池中
2. y代币的储备数量增加导致池的基准价格由2增加到3
3. 池的基准价格增加导致x代币储备从1,000减少到666
4. 池中取出的333个x代币支付给用户

[因交换或流动性波动而变动的值]

交换与流动性波动并非同时发生的事件。

1. 由于交换而变的值

• x代币的储备数量 (X)
• y代币的储备数量 (Y)
• x代币价格 (Px)
• y代币价格 (Py)
• 池的基准价格 (√P)

2. 由于流动性波动而变动的值

• x代币的储备数量 (X)
• y代币的储备数量 (Y)
• 池的常数 (K)
• 池的代币流动性 (L)

在下一篇文章中，我们将讨论Uniswap在更新为V3后引入的新概念集中流动性（CONCENTRATED LIQUIDITY）。具体内容包括修改后的CPMM公式、懒惰流动性（lazy liquidity）问题解决方案以及Uniswap V3的池现状等。

[UNISWAP SERIES]

1. 理解Uniswap
2. 理解CPMM
3. 深入了解Uniswap V3
4. 理解AMM

• 原文链接： hyun-jeong.medium.com/un...
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