Uniswap V3中的平方根价格

在 Uniswap V2 中，协议跟踪代币储备并推导现货价格 $p_x=y/x$ 和总流动性 $L=xy$, ，其中 $x$ 和 $y$ 是代币 X 和 Y 的储备。

而 Uniswap V3 则跟踪当前价格和流动性，并推导储备。这一计算较为复杂，后面的章节将对其进行详细说明。

Uniswap V3 实际上存储的是价格的平方根 $\sqrt{p}$，而不是价格本身。这样的方法提高了 gas 效率，具体内容将在后面的章节中详细探讨。通过这种方式，我们不会失去准确性，因为价格总是可以从其平方根推导出来。

本章的目标是讨论 Uniswap V3 存储价格平方根 $\sqrt{p}$ 的位置和方式，以及如何处理代币价格可能为小数值，而 Solidity 并没有浮点或小数类型的问题。

变量 sqrtPriceX96

价格的平方根存储在 池合约 中的结构体 slot0 的字段变量 sqrtPriceX96 中，如下图所示。

结构体 slot0 还存储其他变量，如 tick，表示当前刻度，如我们在 刻度章节 中看到的。slot0 中的其他变量与预言机、费用或合约安全性相关，后续将进行检查。

变量名 sqrtPriceX96 已经表明存储值是价格的平方根 (sqrtPrice)，以 Q96 数字格式 (X96) 存储，特别是 Q64.96 格式。

Q 数字格式 的详细说明在前一章中提供。我们将在接下来的部分简要回顾其在 Uniswap V3 中的使用。

价格的平方根$\sqrt{p}$ 作为定点值

Uniswap V3 将价格的平方根存储为定点数。

定点数允许我们以高效的 gas 使用来表示分数。例如，假设我们需要存储 1.0050122696230506，但只能存储整数。一个方法是将该值乘以一个大数，比如 $2^{96}$，结果为：

$$ 1.0050122696230506 \times 2^{96}=79625275426524700982079509374.66678 $$

然后我们丢弃小数部分，存储 79625275426524700982079509374。

因此，定点表示 Q64.96 和（原始）数字之间的关系为：

$$ \text{value_in_Q64.96} = \text{floor}( \text{original_value} \times 2^{96}) $$

要恢复原始值，我们只需将定点表示除以 $2^{96}$，公式为：

$$ \text{original_value} \approx \frac{\text{value_in_Q64.96}}{2^{96} } $$

在我们的例子中，值 1.0050122696230506 表示为定点数：79625275426524700982079509374。要恢复原始值，我们将该值除以 $2^96$，得到大约 1.0050122696230507，这非常接近原始数字。

这正是 Uniswap V3 处理 Solidity 没有浮点或小数类型方法。存储代币价格平方根的变量 sqrtPriceX96 是通过将实际的、可能为分数的价格 p 的平方根乘以 $2^96$ 得到的定点数。

$\sqrt{p}$ 和 sqrtPriceX96 之间的关系

$\sqrt{p}$ 和 sqrtPriceX96 之间的关系是，$\sqrt{p}$ 是价格的实际平方根，而 sqrtPriceX96 表示代币价格在 Q64.96 格式中的平方根。

这种关系可以用一个简单的公式表示。要将 $\sqrt{p}$ 转换为 sqrtPriceX96，我们使用：

$$ \text{sqrtPriceX96} = \text{floor}(\sqrt{p} \times 2^{96}) $$

要将 sqrtPriceX96 转回 $\sqrt{p}$ ，我们使用：

$$ \text{sqrtPriceX96} = \text{floor}(\sqrt{p} \times 2^{96}) $$

使用 Python 计算 sqrtPriceX96

下面是将价格转换为 sqrtPriceX96 并随后检索原始价格的 Python 代码：

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 100
price = Decimal('1.0050122696230506')
sqrtPriceX96 = price * Decimal(2) ** 96 # Decimal('79625275426524700982079509374.6667867672150016')
original_price = sqrtPriceX96 / 2 ** 96 # Decimal('1.0050122696230506')

使用 decimal 库以增加计算精度。

sqrtPriceX96 值的示例

我们来通过一些示例进行讲解。

1. 如果代币的当前价格平方根 ($\sqrt{p}$) 为 100 ，则该值将在 sqrtPriceX96 中存储为：

$$ 100 \times 2^{96}= 7922816251426433759354395033600 $$

1. 如果当前价格的平方根为 323.002，则它将在 sqrtPriceX96 中存储为：

$$ 323.002 \times 2^{96} = 25590854948432409571389883046428 $$

要恢复原始（实际）值，只需将上述值除以 $2^{96}$即可。

查询 slot0 中的 sqrtPriceX96 以找到池的价格

Base 中的 ETH:DAI 池

当前 Base 中 ETH:DAI 池的 sqrtPriceX96 值为 4552234755200983230583166215033，如下图所示。

要将 sqrtPriceX96 转换为 $ \sqrt{p} $，我们将获得的值除以 $2^{96}$。因此：

$$ \sqrt{p} =\frac{4552234755200983230583166215033}{2^{ 96}}≈57.46942221802943 $$

通过平方价格的平方根，我们得到实际价格：

$$ p = (\sqrt{p})^2 = 57.46942221802943^2=3302.7344900741346 $$

这代表了在本文撰写时以 DAI 计价的以太币的价值。

主网中的 USDC:ETH 池除

作为另一个示例，我们检索 主网中的 USDC:ETH 池的 sqrtPriceX96。这个示例与前一个示例不同，有两个原因：首先，价格是以以太币计算 USDC，而不是以稳定币计算以太币。其次，以太币有 18 位小数，而 USDC 只有 6 位，与前一个示例中两个代币都有 18 位小数不同。

如图所示，该值为 1506673274302120988651364689808458。

值 $ \sqrt{p} $ 可以计算为：

$$ \sqrt{p}=\frac{1506673274302120988651364689808458}{2^{96}} = 19016.89028861243 $$

价格可以计算为：

$$ p = (\sqrt{p})^2= 19016.89028861243 ^2 \approx 361642116.2491218 $$

由于这是一个 USDC:ETH 池，我们计算的是 USDC 以至于 ETH 的价格。以太坊相对于 USDC 的价格由所获得价格的倒数给出：

$$ p_{y} = \frac{1}{p_x} \approx \frac{1}{361642116.2491218} \approx 2.7651646616046713 \times 10^{-9} $$

最后，USDC 有 6 位小数，而 ETH 有 18 位小数。我们需要考虑这个差异；要计算 ETH 以 USDC 计价的价格，我们必须将以上值乘以 10¹²。

$$ p \approx 2.7651646616046713 \times 10^{-9} \times 10^{12} \approx 2765.1646616046713 $$

这代表了在本文撰写时以 USDC 计价的以太币的价值。以太币在我们撰写时是极其波动的。

协议中的最高价格

由于价格的平方根存储在 Q64.96 格式的数字中，它所能存储的最大整数约为 $2{64}$。与该平方根对应的价格可以通过平方该最大整数获得。

因此，协议能够处理的最大价格的平方根约为 $2^{64}$，且最大价格略低于 $2¹²⁸$。

协议中的最低价格

定点数派生于 $2^{96}$ ，可以表示小至 $2⁻⁹⁶$ 的分数。这是因为 2⁻⁹⁶ 在乘以 $2^{96}$ 时，结果为 1，可以存储为整数。

小于 $2⁻⁹⁶$ 的值超出范围。例如，$2⁻⁹⁷$ 转换为定点数，通过乘以 $2^{96}$，变为 $ 2⁻⁹⁷×2^{96}=2⁻¹$，或 0.5。由于只保留整数部分，向下取整为 0，导致原始值的信息丢失。

因此，理论上，协议可以处理的最低价格是 $(2⁻⁹⁶)²$，或 $2⁻¹⁹²$。然而，正如我们将在下一章看到的那样，协议不允许如此低的价格。

协议在代币可以承受的最大价格平方根 $2^{64}$ 和最小价格平方根 由 $2⁻⁶⁴$ 限制之间施加了对称性。这个对称性是有道理的，因为代币 X 相对于 Y 的价值是代币 Y 相对于 X 的价值的倒数。

为什么使用 Q64.96 来存储价格的平方根

这并不是一个容易回答的问题，协议团队本可以选择其他的 Q 数字格式。由于他们决定将价格的平方根与刻度及其他信息打包在一个 256 位存储槽中，因此留给价格的平方根的空间为 160 位。

在下一节中，我们将展示如何使用 64 位来表示整数部分足以容纳真实世界场景中的价格，使协议能够支持一个币值数万亿美元的池，而另一个币只值几分钱。

真实世界场景中的代币价格限制

正如我们所见，协议可以处理的最高价格约为 $2¹²⁸$ （$（2^{64}）²$），或数字上的大约 $10³⁸$。由于代币的价格始终是相对于另一代币，池中两个代币之间的价格差异可达到 $10³⁸$ 个数量级。

我们还必须小心计算价格差异时考虑到小数。例如，具有 18 位小数的代币以 $10¹⁸$ 单位存储在其合约中，而具有 8 位小数的代币以 $10⁸$ 单位储存。因此，如果两个代币的美元价值相同，池中它们的价格差异已经因小数位的不同而有 10 个数量级的差异。

让我们考虑一个真实的例子，一个 WBTC:PEPE 池。目前，1 WBTC 的价值大约为 100,000 ($10⁵$) 美元，而 1 PEPE 的价值大约为 0.00001 ($10⁻⁵$) 美元，二者之间存在 10 个数量级的差异。

然而，我们还必须考虑小数位的不同。WBTC 有 8 位小数，而 PEPE 有 18 位小数，产生了 10 个数量级的差异，此外还存在由于价格差异导致的 10 个数量级的差异。

因此，WBTC 代币的最小单位（一 Satoshi，或 $10⁻⁸$ WBTC）价值约为 $10²⁰$（即一百亿亿）倍于 PEPE 最小单位（没有名称，但代表 $10⁻¹⁸$ PEPE）的价值。

二十个数量级是一个显著的差异，但 Uniswap V3 池允许多达 38 个数量级的差异。因此，WBTC 相对于 PEPE 的价格可以再增加 18 个数量级，才会达到 Uniswap V3 的限制。

假设 PEPE 保持在当前价格（0.00001 美元），那么比特币的价格必须达到 $10²³$ 美元，才会到达 Uniswap V3 的价格限制。类似地，如果比特币的价格达到 1 万亿美元，PEPE 的价格可以低至 0.0000000000000001 美元（即千分之一的万亿分之一美元），才会到达协议的价格限制。

推导这些限制是读者的练习。

总结

• Uniswap V3 以 Q64.96 数字格式存储价格的平方根。这样做是因为 Solidity 中没有浮点数，使用定点数字在二进制中更具 gas 效率。
• 协议可以存储的代币最高价格约为 $2¹²⁸$。为了保持对称性，其最低价格可以存储在 $2⁻¹²⁸$。池中代币价格不得超过这些值。

• 原文链接： rareskills.io/post/unisw...
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