区块链中的数学-Uniswap交易价格计算

写在前面

上一节说了Uniwap自动化做市商核心算法解析， 这一节继续说Uniwap做市商算法之价格计算。

本文的基础是上一篇，建议认真理解，否则理解本篇有一定难度。系好安全带,准备出发！

uniswap交易价格计算

交易价格的计算有两种类型： 一种是给定X(token)的数量，计算能买到的Y(token）的数量（Input）； 一种是给定Y的数量，计算需要的X数量（Output）。

本文接着上篇加入费用模型的算法。上一节的符号定义全部直接使用，不再重复说明。

给定X数量计算Y

假设要卖出∆x， = ∆x / x，则用来计算可以换取的 ∆y的函数记为getInputPrice如下：

r = 1 - ρ , ρ是费率。交换后，x, y代币余量变化如下：

本次交易，y的价格如下计算： $\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{\alpha x}{\frac{\alpha \gamma}{1+\alpha \gamma}y}=\frac{1+\alpha \gamma}{\gamma}* \frac{x}{y}$

可以看出$\alpha$越大，对y价格影响越大，$\alpha$最大取1，即使用x当前储备量相同数量x,最多可获取50%的y. 这种情况对价格影响加大，uniswap调用合约执行前，会检查用户输入数量是否对价格产生较大影响。

如果超出预定价格波动范围，会提示”Price impact too high“ 来阻止操作， 使用过uniswap的朋友应该对此比较熟悉。

尤其是当一个pool代币余量比较小的情况，每次交易的数量都不大，这就是所谓的交易深度。

下面看一下，第二种价格计算

给定Y数量计算X

假设要卖出∆y， $\beta$= ∆y / y，则用来计算可以换取的 ∆x的函数记为getOutPrice如下：

注意：这里依然是使用一定数量x来交换y, 不是用y交换x. 这里已知的是∆y，求出需要准备的∆x 可以看出当 $\beta$= 1/2 时，大约需要当前流动性中等量的x代币， 这一结果跟上面getInputPrice 是一致的。

交换后x, y剩余量更新如下：

上一节已经对该公式做了分析，看下此时y代币价格：

代入 = ∆y / y，化简得： $\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{(1-\beta)\gamma}* \frac{x}{y}$

可见$\beta$ 越大，价格越高。直面理解，置换出的∆y越多，池子里y代币就越少，同时x代币有所增加∆x，y的价格自然上升。

小结

getInputPrice和getOutputPrice分别从两种代币角度计算价格：

1. 已有∆x数量的x代币，想知道能换得y代币数量

2. 想换取∆y数量的y代币，想知道需要x代币数量

最终的价格是一致的，价格计算公式只区分价格计算的两种方向(x->y & y->x)，不与具体的代币类型挂钩。例如，交易对ETH/UNI，可以把ETH当作x，UNI当作y，同样你也可以将UNI当作x，ETH当作y,这就是抽象。

本文内容主要参考： https://github.com/runtimeverification/verified-smart-contracts/blob/uniswap/uniswap/x-y-k.pdf https://uniswap.org/whitepaper.pdf

本文依然可以感受到uniswap 做市商模型的简洁，

下一节继续分析uniswap中添加移除流动性产生的影响。

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