区块链中的数学-用Miller Rabin算法判断大素数实例

写在前面

上一节说了抽象的椭圆曲线密钥协商和素数判断法， 对于Miller Rabin素数判定法做了简要的概述， 本文再展开说明一下，并附带具体实现如果篇幅允许的话。

Miller Rabin算法之凭证

结合上一文的说明，该算法利用费马小定理和二次探测定理的逆否性质：

把$p-1$分解为$ 2^k t $ 的形式，即：$ p-1=2^k t$

如果我们能找到这样一个a，使得对任意 0 < r < = k, 以下两个式子均满足：

那么p肯定就不是一个素数。这样的a称为p是合数的一个凭证（witness）,否则a可能是一个证明p是素数的“强伪证”（strong liar）。

也就是说，当p是一个合数的时候，由于a是一定范围内随机选取的，对某次选取的a来说,上述两个式子不同时满足，这时称为p是基于a的大概率素数【注：1-1/4 = 3/4 （单次素数概率），上文提及】。

每个奇合数n都有很多个对应的凭证a，但并不容易直接找出这些a。当前解决的办法是使用概率性的测试。我们从集合中随机选择数a，然后检测当前的a是否是p为合数的一个凭证。

如果p本身确实是一个合数，那么大部分被选择的a都应该是n的凭证，也即通过这个测试能检测出n是合数的可能性很大[注：也有极小概率我们找到的a是一个“强伪证”（反而表明了n可能是一个素数]见举例说明]。

通过多次独立测试不同的a，我们能减少这种出错的概率，这就是Miller Rabin算法思想的核心。

对于测试一个大数是否是素数，通用的做法随机选取基数a，毕竟我们并不知道凭证和伪证在 [1, p-1]这个区间如何分布。

典型的例子是 Arnault 曾经给出了一个397位的合数n，但是所有小于307的基数a都是n是素数的“强伪证”。很不幸，如果函数通过检测a = 2,3,5,7,11这几种情况来进行素性检验，会被误判为素数。

所以使用Miller Rabin算法库，错误概率参数尽量设置非常低，即测试次数足够多。

实例说明

通过例子，更能清楚理解“强伪证”。

假设需要检验p = 221是否是一个素数。

首先$p - 1 = 220 =2^2 * 55$，于是我们得到了 k = 2和t = 55。我们随机从[1,p-1]中选取a，假设a = 174，于是有：

因为我们得到了一个-1，所以要么p = 221确实是一个素数，要么a = 174是一个“强伪证”。再尝试选取a=137，于是有：

可得，a = 137是 n = 221为合数的一个凭证，而a = 174是一个“强伪证”， 综合可得p = 221不是一个素数。

代码示例

具体实现代码容易在GitHub上找到，这里贴简单示例，方便直接查看（PC端阅读效果佳）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm> 
#include <cmath> 
#include <cstring> 
#include <map> 
using namespace std;
int number = 0;

map<long long, int>m;
long long Random( long long n )        
//生成[ 0 , n ]的随机数
{
    return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}
long long q_mul( long long a, long long b, long long mod )
{//快速计算 (a*b) % mod
    long long ans = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            b--;
            ans =(ans+ a)%mod;
        }
        b /= 2;
        a = (a + a) % mod;

    }
    return ans;
}

long long q_pow( long long a, long long b, long long mod )
{   //快速幂模运算 (a^b) % mod
    long long ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = q_mul( ans, a, mod );
        }
        b /= 2;
        a = q_mul( a, a, mod );
    }
    return ans;
}

bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的核心
{  //用检验算子a来检验n是不是素数
    long long tem = n - 1;
    int j = 0;
    while(tem % 2 == 0)
    {
        tem /= 2;
        j++;
    }
    //将n-1拆分为a^r * s
    long long x = q_pow( a, tem, n );
    //得到a^r mod n
    if(x == 1 || x == n - 1) return true;  
    //余数为1则为素数
    while(j--) //否则试验条件2看是否有满足的 j
    {
        x = q_mul( x, x, n );
        if(x == n - 1) return true;
    }
    return false;
}

bool miller_rabin( long long n， int times ) 
{   //检验n是否是素数
     if(n == 2)
        return true;
    if(n < 2 || n % 2 == 0)
        return false; //注：特别大的数使用BigInt             

    for(int i = 1; i <= times; i++)  //做times次随机检验
    {
        long long a = Random( n - 2 ) + 1;
        //得到随机检验算子 a
        if(!witness( a, n ))                       
        //用a检验n是否是素数
            return false;
    }
    return true;
}

可以看到用到了快速幂模运算等， 注意对于特别大的数使用BigInt，示例代码仅帮助理解。

小结

本节从"凭证"的角度来扩展说明了Miller Rabin算法，结合前文会有更好的理解。判断大素数的方法除了Miller Rabin这种概率性的算法，也有确定的算法，但是效率不高，未能广泛使用，故不再介绍。

有了数论，RSA，椭圆曲线密码学等基础，从下一篇起打算介绍VRF（随机可验证函数）的原理和在区块链中的应用。

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