在Polymarket上交易所需的数学（完整路线图）

在 Polymarket 上进行交易所需的数学知识（完整指南）

让我们直奔主题

最近的一篇研究论文揭示了现实。精明的交易员在一年内从 Polymarket 提取了 4000 万美元的有保证的套利利润。仅顶级交易员就赚了 2,009,631.76 美元。这些不是幸运的赌徒。他们正在运行 Bregman 投影、Frank-Wolfe 算法，并解决会让大多数计算机科学博士感到不舒服的优化问题。

收藏此网页 - 我是 Roan，一名后端开发人员，致力于系统设计、HFT 风格的执行和量化交易系统。我的工作重点是预测市场在负荷下的实际表现。

当你看到一个市场中“是”的价格为 0.62 美元，“否”的价格为 0.33 美元时，你会认为“加起来是 0.95 美元，存在套利机会”。你是对的。大多数人永远不会意识到的是，当他们手动检查“是”加上“否”是否等于 1 美元时，量化系统正在解决整数规划问题，这些问题会在几毫秒内扫描 17,218 个条件，涵盖 2^63 种可能的结果。在人类下达两个订单之前，价差就消失了。这些系统已经找到了数十个相关市场中相同的违规行为，计算了考虑订单簿深度和费用的最佳头寸规模，执行了并行的非原子交易，并将资本轮换到下一个机会中。

区别不仅仅是速度。而是数学基础设施。

在本文结束时，你将了解从 Polymarket 提取 4000 万美元的确切优化框架。你将了解为什么简单的加法会失败，整数规划如何压缩指数搜索空间，以及 Bregman 散度对于定价效率的实际意义。更重要的是，你将看到区分业余项目和运行数百万美元的生产系统的特定代码模式和算法策略。注意：这不是泛读。如果你真的想构建可以扩展到七位数的系统，请从头到尾阅读。如果你想快速获胜或凭感觉编码，那么这不适合你。

第一部分：边际多面体问题（为什么简单的数学会失败）

多条件市场的现实

单条件市场：“特朗普会赢得宾夕法尼亚州吗？”

• 是：0.48 美元

• 否：0.52 美元

• 总和：1.00 美元

看起来很完美。没有套利，对吗？

错了。

现在添加另一个市场：“共和党人会以 5 分以上的优势赢得宾夕法尼亚州吗？”

• 是：0.32 美元

• 否：0.68 美元

两者加起来仍然是 1 美元。仍然看起来不错。

但存在逻辑依赖性。如果共和党人以 5 分以上的优势获胜，特朗普必须赢得宾夕法尼亚州。这些市场不是独立的。这就产生了套利机会。

数学框架

对于任何具有 $n$ 个条件的市场，有 2^$n$ 种可能的价格组合。但只有 $n$ 个有效结果，因为必须只有一个条件解析为 TRUE。

定义有效收益向量的集合：

Z = {φ(ω) : ω ∈ Ω}

其中 φ(ω) 是一个二进制向量，显示在结果 ω 中哪个条件为 TRUE。

边际多面体是这些有效向量的凸包：

M = conv(Z)

无套利价格必须位于 M 中。M 之外的任何东西都可以利用。

对于宾夕法尼亚州的例子：

1. 市场 A 有 2 个条件，2 个有效结果

2. 市场 B 有 2 个条件，2 个有效结果

3. 组合朴素检查：2 × 2 = 4 种可能的结果

4. 实际有效结果：3（依赖性消除了一个）

当价格假设存在 4 个独立的结果，但只存在 3 个时，定价错误会产生有保证的利润。

为什么暴力破解会失败

NCAA 2010 年锦标赛市场有：

• 63 场比赛（每场比赛都有胜负）

• 2^63 = 9,223,372,036,854,775,808 种可能的结果

• 5,000 多种证券

检查每种组合在计算上是不可能的。

该研究论文发现仅在 2024 年美国大选中就有 1,576 对潜在的相关市场对。朴素的成对验证需要检查每对 2^(n+m) 种组合。

仅在每个市场有 10 个条件的情况下，每对需要检查 2^20 = 1,048,576 次。乘以 1,576 对。当选举结果已经公布时，你的笔记本电脑仍在计算。

整数规划解决方案

与其枚举结果，不如用线性约束来描述有效集合。

Z = {z ∈ {0,1}^I : A^T × z ≥ b}

来自杜克大学对阵康奈尔大学市场的真实示例：

每支球队都有 7 种证券（0 到 6 场胜利）。这是 14 个条件，2^14 = 16,384 种可能的组合。

但他们不能同时赢得 5 场以上的比赛，因为他们会在半决赛中相遇。

整数规划约束：

z(duke, 0 to 6) 的总和 = 1 z(cornell, 0 to 6) 的总和 = 1 z(duke,5) + z(duke,6) + z(cornell,5) + z(cornell,6) ≤ 1

三个线性约束取代了 16,384 次暴力破解检查。

这就是量化系统处理指数复杂性的方式。它们不枚举，而是约束。

来自真实数据的检测结果

研究小组分析了 2024 年 4 月至 2025 年 4 月的市场：

• 检查了 17,218 个总条件

• 7,051 个条件显示出单市场套利机会 (41%)

• 中位数定价错误：每美元 0.60 美元（应为 1.00 美元）

• 13 对已确认的依赖市场对，具有可利用的套利机会

0.60 美元的中位数定价错误意味着市场经常出现 40% 的错误。远未达到有效水平。可以大规模利用。

关键要点：套利检测不是检查数字是否加起来。而是使用紧凑的线性表示来解决指数级大型结果空间上的约束满足问题。

第二部分：Bregman 投影（如何真正消除套利）

发现套利是一个问题。计算最佳利用交易是另一个问题。

你不能仅仅通过平均或调整数字来“修复”价格。你需要将当前市场状态投影到无套利流形上，同时保留信息结构。

为什么标准距离会失败

欧几里德投影会最小化：

||μ - θ||^2

这会平等地对待所有价格变动。但市场使用成本函数。从 0.50 美元到 0.60 美元的价格变动与从 0.05 美元到 0.15 美元的价格变动具有不同的信息内容，即使两者都是 10 美分的变动。

做市商使用对数成本函数 (LMSR)，其中价格代表隐含概率。正确的距离度量必须尊重这种结构。

Bregman 散度

对于任何具有梯度 ∇R 的凸函数 R，Bregman 散度为：

D(μ||θ) = R(μ) + C(θ) - θ·μ

其中：

• R(μ) 是成本函数 C 的凸共轭

• θ 是当前市场状态

• μ 是目标价格向量

• C(θ) 是做市商的成本函数

对于 LMSR，R(μ) 是负熵：

R(μ) = μ_i × ln(μ_i) 的总和

这使得 D(μ||θ) 成为 Kullback-Leibler 散度，用于测量概率分布之间的信息论距离。

套利利润公式

任何交易的最大保证利润等于：

max over all trades δ of [min over outcomes ω of (δ·φ(ω) - C(θ+δ) + C(θ))] = D(μ||θ)*

其中 μ* 是 θ 在 M 上的 Bregman 投影。

这并不明显。该证明需要凸对偶理论。但含义很明确：找到最佳套利交易等同于计算 Bregman 投影。

实际数字

顶级套利者在一年内提取了 2,009,631.76 美元。他们的策略是比其他人更快、更准确地解决此优化问题：

μ = argmin over μ in M of D(μ||θ)*

每一笔盈利交易都是在价格变动之前找到 μ*。

为什么这对执行很重要

当你检测到套利机会时，你需要知道：

1. 要采取什么头寸（买入/卖出哪些条件）

2. 头寸规模（考虑订单簿深度）

3. 预期利润（考虑执行风险）

Bregman 投影为你提供所有三个方面的信息。

投影 μ 会告诉你无套利价格向量。散度 D(μ||θ) 会告诉你最大可提取利润。梯度 ∇D 会告诉你交易方向。

如果没有此框架，你就是在猜测。有了它，你就是在优化。

关键要点：套利不是发现定价错误的资产。而是解决由市场微观结构定义的空间中的约束凸优化问题。数学决定了盈利能力。你不能仅仅通过平均或调整数字来“修复”价格。你需要将当前市场状态投影到无套利流形上，同时保留信息结构。

第三部分：Frank-Wolfe 算法（使其在计算上易于处理）

直接计算 Bregman 投影是难以处理的。边际多面体 M 具有指数级的顶点。

标准凸优化需要访问完整的约束集。对于预测市场，这意味着枚举每个有效结果。这在规模上是不可能的。

Frank-Wolfe 算法通过将投影减少为一系列线性程序来解决此问题。

核心见解

Frank-Wolfe 不是一次性地对所有 M 进行优化，而是迭代地构建它。

算法：

1. 从一小组已知的顶点 Z0 开始 2. 对于迭代 t： a. 解决 conv(Z{t-1}) 上的凸优化 μt = argmin over μ in conv(Z{t-1}) of F(μ) b. 通过解决 IP 找到新的下降顶点：z_t = argmin over z in Z of ∇F(μ_t)·z c. 添加到活动集：Zt = Z{t-1} ∪ {z_t} d. 计算收敛间隙：g(μ_t) = ∇F(μ_t)·(μ_t - z_t) e. 如果 g(μ_t) ≤ ε 则停止

活动集 Z_t 每次迭代增加一个顶点。即使经过 100 次迭代，你也只跟踪 100 个顶点，而不是 2^63 个顶点。

整数规划 Oracle

步骤 2b 是最昂贵的部分。每次迭代都需要解决：

min over z in Z of c·z

其中 c = ∇F(μ_t) 是当前梯度，Z 是由整数约束定义的有效收益向量集。

这是一个整数线性程序。通常是 NP 困难的。但像 Gurobi 这样的现代 IP 求解器可以有效地处理这些结构良好的问题。

研究小组使用了 Gurobi 5.5。典型求解时间：

• 早期迭代（小部分结果）：不到 1 秒

• 锦标赛中期（30-40 场比赛已确定）：10-30 秒

• 锦标赛后期（50+ 比赛已确定）：不到 5 秒

为什么后来会更快？因为随着结果的确定，可行集会缩小。变量更少，约束更严格，求解速度更快。

受控增长问题

标准 Frank-Wolfe 假设梯度 ∇F 是 Lipschitz 连续的，具有有界常数。

对于 LMSR，∇R(μ) = ln(μ) + 1。当 μ 接近 0 时，梯度会爆炸至负无穷大。

这违反了标准收敛证明。

解决方案是 Barrier Frank-Wolfe。与其对 M 进行优化，不如对收缩的多面体进行优化：

M' = (1-ε)M + εu

其中 u 是一个内点，所有坐标都严格介于 0 和 1 之间，ε 在 (0,1) 中是收缩参数。

对于任何大于 0 的 ε，梯度在 M' 上都是有界的。Lipschitz 常数为 O(1/ε)。

该算法会随着迭代的进行自适应地减小 ε：

If g(μ_t) / (-4gu) < ε{t-1}: ε_t = min{g(μ_t)/(-4gu), ε{t-1}/2} Else: εt = ε{t-1}

这确保了 ε 渐近地趋于 0，因此收缩的问题会收敛到真正的投影。

收敛速度

Frank-Wolfe 以 O(L × diam(M) / t) 的速率收敛，其中 L 是 Lipschitz 常数，diam(M) 是 M 的直径。

对于具有自适应收缩的 LMSR，这变为 O(1/(ε×t))。随着 ε 自适应地收缩，收敛速度会减慢，但仍保持多项式。

该研究表明，在实践中，对于具有数千个条件的市场，50 到 150 次迭代足以实现收敛。

生产性能

来自论文：“一旦投影实际上变得快速，FWMM 就比 LCMM 实现了更高的准确性。”

时间线：

• 前 16 场比赛：LCMM 和 FWMM 表现相似（IP 求解器太慢）

• 在 45 场比赛结束之后：第一个成功的 30 分钟投影完成

• 锦标赛剩余时间：FWMM 在证券价格方面比 LCMM 提高了 38% 的中位数

交叉点是结果空间缩小到足以在交易时间范围内完成 IP 求解时。

关键要点：没有计算易处理性，理论上的优雅毫无意义。具有整数规划 Oracle 的 Frank-Wolfe 使得 Bregman 投影可以在具有数万亿种结果的市场中实际应用。这就是 4000 万美元的套利实际计算和执行的方式。

第四部分：非原子约束下的执行（为什么订单簿会改变一切）

你已经检测到套利机会。你已经通过 Bregman 投影计算出最佳交易。现在你需要执行。这是大多数策略失败的地方。

非原子问题

Polymarket 使用中央限价订单簿 (CLOB)。与套利可以是原子的（所有交易成功或所有交易失败）的去中心化交易所不同，CLOB 执行是顺序的。

你的套利计划：

以 0.30 美元买入“是” 以 0.30 美元买入“否” 总成本：0.60 美元 保证支付：1.00 美元 预期利润：0.40 美元

现实：

提交“是”订单 → 以 0.30 美元成交 ✓ 价格因你的订单而更新 提交“否”订单 → 以 0.78 美元成交 ✗ 总成本：1.08 美元 支付：1.00 美元 实际结果：-0.08 美元亏损

一条腿成交。另一条腿没有成交。你暴露了。

这就是为什么研究论文只计算至少有 0.05 美元利润率的机会。较小的优势会被执行风险吞噬。

成交量加权平均价格 (VWAP) 分析

与其假设以报价瞬间成交，不如计算预期执行价格：

VWAP = (price_i × volume_i) 的总和 / (volume_i) 的总和

研究方法：

对于 Polygon 上的每个区块（大约 2 秒）： 根据该区块中的所有“是”交易计算 VWAP_yes 根据该区块中的所有“否”交易计算 VWAP_no 如果 abs(VWAP_yes + VWAP_no - 1.0) > 0.02： 记录套利机会 Profit = abs(VWAP_yes + VWAP_no - 1.0)

区块是原子时间单位。分析每个区块的 VWAP 可以捕获实际可实现的价格，而不是瞬间执行的幻想。

流动性约束

即使价格存在定价错误，你也只能捕获高达可用流动性的利润。

来自数据的真实示例：

• 市场显示套利机会： “是”价格之和 = 0.85 美元

• 潜在利润： 每美元 0.15 美元

• 这些价格下的订单簿深度： 总成交量 234 美元

• 最大可提取利润： 234 美元 × 0.15 = 35.10 美元

该研究将每次机会的最大利润计算为：

profit = (价格偏差) × min(所有所需头寸的成交量)

对于多条件市场，你需要在所有头寸中同时具有流动性。最小值决定了你的上限。

时间窗口分析

该研究使用了一个 950 个区块的窗口（大约 1 小时）来对相关交易进行分组。

为什么是 1 小时？因为 Polymarket 上 75% 的匹配订单都能在此时间范围内成交。在链上提交、匹配和执行的订单通常会在 60 分钟内完成。

对于每个交易者地址，在一个 950 个区块的窗口中的所有投标都被分组为单个策略执行。利润被计算为所有可能结果中的保证最低支付额减去总成本。

执行成功率

在检测到的套利机会中：

• 单条件套利： 41% 的条件存在机会，大多数都被利用

• 市场再平衡： 42% 的多条件市场存在机会

• 组合套利： 已识别出 13 个有效对，其中 5 个显示执行

检测和执行之间的差距是执行风险。

延迟层：速度层级

零售交易者执行：

Polymarket API 调用： ~50ms 匹配引擎： ~100ms Polygon 区块时间： ~2,000ms 区块传播： ~500ms 总计： ~2,650ms

复杂的套利系统：

WebSocket 价格馈送： <5ms（实时推送） 决策计算： <10ms（预先计算） 直接 RPC 提交： ~15ms（绕过 API） 并行执行： ~10ms（所有腿同时） Polygon 区块包含： ~2,000ms（不可避免） 总计： ~2,040ms

你在链上看到的 20-30ms 是从决策到 mempool 的时间。快速钱包在 30ms 内提交所有头寸，从而通过在同一区块中确认所有内容来消除顺序执行风险。

复合优势：

在你看到他们的交易在链上确认（区块 N）之前，他们已经在 2 秒前（区块 N-1）检测到机会，在 30 毫秒内提交了所有腿，并且市场已经重新平衡。当你复制区块 N+1 时，你比亚秒机会晚了 4 秒。

为什么复制交易快速钱包会失败

实际发生的情况： 区块 N-1：快速系统检测到定价错误，在 30 毫秒内提交 4 笔交易 区块 N：所有交易都已确认，套利已捕获，你看到了这个 区块 N+1：你复制他们的交易，但价格现在是 0.78 美元（原为 0.30 美元）

你不是在套利。你是在提供退出流动性。

订单簿深度会杀死你：

快速钱包购买 50,000 个代币：

• VWAP： 多个价格水平的 0.322 美元

• 市场变动

你之后购买 5,000 个代币：

• VWAP： 0.344 美元（市场已经转变）

• 他们支付了 0.322 美元，你支付了 0.344 美元

• 他们的 10 美分优势变成了你 2.2 美分的损失

资本效率问题

顶级套利者以 50 万美元以上的资本运作。有了 5,000 美元的资本，同样的策略就会失效，因为：

• 滑点会吞噬较小头寸的较大部分

• 无法分散到足够多的机会

• 单次执行失败会抹去数天的利润

• 固定成本（gas）会消耗更多的利润率

4 腿策略的 Gas 费用： ~0.02 美元

• 0.08 美元利润 → 25% 用于 gas

• 0.03 美元利润 → 67% 用于 gas

这就是为什么存在 0.05 美元的最低门槛。

实际执行数据

单条件套利：

• 已检测到： 7,051 个条件

• 已执行： 87% 成功率

• 失败原因： 流动性 (48%)、价格变动 (31%)、竞争 (21%)

组合套利：

• 已检测到： 13 对

• 已执行： 45% 成功率

• 失败原因： 同时流动性不足 (71%)、速度竞争 (18%)

关键要点：数学正确性是必要的，但不是充分的。执行速度、订单簿深度和非原子成交风险决定了实际盈利能力。该研究表明，提取了 4000 万美元的原因是，经验丰富的参与者解决了执行问题，而不仅仅是数学问题。

第五部分：完整的系统（实际部署的内容）

理论是干净的。生产是混乱的。以下是基于研究结果和实际要求的，一个有效的套利系统的实际样子。

数据管道

实时要求：

WebSocket 连接到 Polymarket CLOB API └─ 订单簿更新（价格/成交量变化） └─ 交易执行馈送（正在发生的成交） └─ 市场创建/结算事件 历史分析： Alchemy Polygon 节点 API └─ 查询合约 0x4D97DCd97eC945f40cF65F87097ACe5EA0476045 的事件 └─ OrderFilled 事件（已执行的交易） └─ PositionSplit 事件（已铸造的新代币） └─ PositionsMerge 事件（已销毁的代币）

该研究分析了 8600 万笔交易。如此大的成交量需要基础设施，而不是脚本。

依赖检测层

对于 305 个美国选举市场，有 46,360 对可能需要检查。

手动分析是不可能的。该研究使用了 DeepSeek-R1-Distill-Qwen-32B 以及提示工程：

输入： 两个市场及其条件描述 输出： 有效结果组合的 JSON 验证检查： 1. 每个市场在每次结果中是否都有且只有一个 TRUE 条件？ 2. 有效组合是否少于 n × m（存在依赖关系）？ 3. 依赖子集是否满足套利条件？ 选举市场的结果： 40,057 个独立对（不可能进行套利） 1,576 个依赖对（潜在的套利） 374 个满足严格的组合条件 13 个手动验证为可利用

在复杂的多条件市场中，准确率为 81.45%。足以进行过滤。需要手动验证才能执行。

优化引擎

三层套利消除：

Layer1：简单的 LCMM 约束 快速线性规划松弛。检查基本约束，例如“概率之和等于 1”和“如果 A 意味着 B，则 P(A) 不能超过 P(B)”。

在几毫秒内运行。消除明显的定价错误。

Layer2：整数规划投影 具有 Gurobi IP 求解器的 Frank-Wolfe 算法。

来自研究的参数：

• Alpha = 0.9（提取至少 90% 的可用套利）

• 初始 epsilon = 0.1（10% 收缩）

• 收敛阈值 = 1e-6

• 时限 = 30 分钟（随着市场萎缩而减少）

典型迭代次数： 50 到 150。每次迭代的典型求解时间： 1 到 30 秒，具体取决于市场规模。

第 3 层：执行验证 在提交订单之前，模拟针对当前订单簿的成交。

检查：

• 在这些价格下，流动性是否充足？

• 预计滑点是多少？

• 滑点后的保证利润是多少？

• 利润是否超过最低阈值（该研究使用了 0.05 美元）？

仅在所有检查都通过后才执行。

头寸规模逻辑

考虑执行风险的修正 Kelly 准则：

$f = (b×p - q) / b × sqrt(p)$

其中：

• $b$ = 套利利润百分比

• $p$ = 完全执行的概率（根据订单簿深度估算）

• $q$ = 1 - $p$

上限为订单簿深度的 50%，以避免影响市场。

监控仪表板

实时跟踪：

每分钟检测到的机会 每分钟执行的机会 执行成功率 总利润（运行总和） 当前回撤百分比 平均延迟（从检测到提交） 警报： 回撤超过 15% 执行率降至 30% 以下 IP 求解器超时增加 订单成交失败激增

该研究确定顶级套利者进行了 4,049 笔交易。这大约是一年中每天 11 笔交易。从传统意义上讲，不是高频，而是系统性和一致性。

实际结果

2024 年 4 月至 2025 年 4 月提取的总金额：

单条件套利： 同时购买 < 1 美元： 5,899,287 美元 同时出售 > 1 美元： 4,682,075 美元 小计： 10,581,362 美元 市场再平衡： 购买所有“是” < 1 美元： 11,092,286 美元 出售所有“是” > 1 美元： 612,189 美元 购买所有“否”： 17,307,114 美元 小计： 29,011,589 美元 组合套利： 跨市场执行： 95,634 美元 总计： 39,688,585 美元

前 10 名提取者获得了 8,127,849 美元（占总数的 20.5%）。

顶级单提取者： 4,049 笔交易中获得 2,009,632 美元。

顶级玩家的平均每笔交易利润： 496 美元。

不是彩票中奖。不是幸运的时机。是系统地执行的数学精度。

什么将赢家与输家区分开

该研究清楚地表明：

零售方法：

• 每 30 秒检查一次价格

• 查看“是”+“否”是否大致等于 1 美元

• 也许使用电子表格

• 手动提交订单

• 抱着最好的希望

量化方法：

• 实时 WebSocket 馈送

• 用于依赖关系检测的整数规划

• 用于最佳交易的具有 Bregman 投影的 Frank-Wolfe

• 具有 VWAP 估计的并行订单执行

• 执行约束下的系统头寸规模

• 2.65 秒延迟与 30 秒轮询

一组提取了 4000 万美元。另一组提供了流动性。

关键要点：生产系统需要数学上的严谨性 AND 工程上的复杂性。优化理论、分布式系统、实时数据处理、风险管理、执行算法。所有这些。数学是基础。基础设施使其盈利。

最终现实

当交易者阅读完“预测市场的 10 个技巧”时，量化系统正在：

1. 解决整数程序以检测 17,218 个条件之间的依赖关系

2. 计算 Bregman 投影以找到最佳套利交易

3. 运行具有受控梯度增长的 Frank-Wolfe 算法

4. 执行具有基于 VWAP 的滑点估计的并行订单

5. 系统地提取 4000 万美元的保证利润

区别不在于运气。而在于数学基础设施。该研究论文是公开的。算法是已知的。利润是真实的。

问题是：你能在下一个 4000 万美元被提取之前构建它吗？

资源：

• 研究论文：“揭开概率森林：预测市场中的套利”（arXiv:2508.03474v1）

• 理论基础：“通过整数规划实现无套利组合做市”（arXiv:1606.02825v2）

• IP 求解器：Gurobi Optimizer

• 用于依赖关系的 LLM：DeepSeek-R1-Distill-Qwen-32B

• 数据来源：Alchemy Polygon 节点 API

数学有效。基础设施存在。唯一的问题是执行。如果你想了解这方面的第 2 部分，请在下面告诉我？

• 原文链接： x.com/RohOnChain/status/...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～