Spartan 预备知识：Hyrax

白菜
更新于 2023-09-22 15:09
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Thanks感谢SecbitLabs@郭宇前两个月分享的SpartanOverview(尽管当时也没太理解)，以及@even在研究方向上的指引(据说Hyrax不太好啃)，不至于走太多弯路。Motivation缘于folding，缘于NOVA，缘于Setty，了解到了Sp

# Thanks

- 感谢SecbitLabs @郭宇 前两个月分享的Spartan Overview (尽管当时也没太理解)， 以及@even 在研究方向上的指引(据说Hyrax 不太好啃)，不至于走太多弯路。

# Motivation

缘于folding，缘于NOVA，缘于Setty，了解到了Spartan，但并不认识它，所以才有了本篇及接下来的关于它的一切(预备知识)......

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/09/PIzxPgw765066e60867af.png)

关于Spartan，在ZK领域可能时间上相对也有点儿远了，暂且不考虑它在某些方面的争议，它的一些思想其实已经影响到其它比较热门的方向了，比如当下的热点Lasso & Jolt，所以它的研究意义仍然很大。

# Overview

- 本篇文章主要参考Hyrax 论文后半部分5-6节，即Hyrax 基于GKR with ZK Argument的contribution。

- 主要分为两部分，前半部分Reduced Sumcheck Verification主要针对GKR with ZK Argument的Step Two做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 5。

- 后半部分Reduced Witness Evaluation 主要针对GKR with ZK Argument的Final Step做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 6。

- 为了方便对照原始论文理解，本文中的notion尽量与Hyrax 原始论文对齐。

# Reduced Sumcheck Verification

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2023/09/KOUCgkBj65066f3d45df7.png)

仍然以这个图为例，$N = 2$，则$b_N = 1$；第0层，$G = 2$，则$b_G = 1$；第1层，$G = 4$，则$b_G = 2$；第2层，$G = 4$，则$b_G = 2$。

## Number of Sumcheck Commitments

为了简单起见，上一篇[GKR with ZK Argument](https://learnblockchain.cn/article/6566) 中Sumcheck 协议每次round prover 发送给verifier 的多项式系数的commitment的个数我们固定都是4，也就是说多项式的degree全为3。**其实prover 需要commit的多项式的degree是有变化的**。

$$
\begin{aligned}

\widetilde{V}_0(q', q) &= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} P_{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \\

&= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} \widetilde{eq}_1(q', h') \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) * \widetilde{V}_1(h', h_R)) + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \\

\end{aligned}
$$

当round $i <= b_N$ 时，prover commit的多项式的degree为3，也就是说commitment的个数为4：

$$
\begin{aligned}

\widetilde{V}_0(q', q) &= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} P_{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \\

&= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} \textcolor{red}{\widetilde{eq}_1(q', h')} \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_L) }* \textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_R)) } + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \\

\end{aligned}
$$

当round $i > b_G$ 时，prover commit的多项式的degree为2， 也就是说commitment的个数为3:

$$
\begin{aligned}

\widetilde{V}_0(q', q) &= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} P_{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \\

&= \sum_{h' \in \{0, 1\}^{b_N} } \sum_{h_L \in \{0, 1\}^{b_G}} \sum_{h_R  \in \{0, 1\}^{b_G}} \widetilde{eq}_1(q', h') \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_L) }* \textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_R)) } + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \\

\end{aligned}
$$

## Sumcheck Verifications

我们试图把verifier sumcheck 协议中所有round的校验等式且一个矩阵点乘运算表示：

$$
\bold{M} \sdot \textcolor{red} {\bold{\pi}} \overset{?}= \textcolor{red}{\bold{Q}}
$$

其中每个round prover发送的message 为：

$$
\begin{aligned}

\pi_1 &= (c_{0,1}, c_{1,1}, c_{2,1}, c_{3,1}) \\

\pi_2 &= (c_{0, 2}, c_{1, 2}, c_{2,2}) \\

\pi_3 &= (c_{0, 3}, c_{1, 3}, c_{2,3}) \\

\pi_4 &= (c_{0, 4}, c_{1, 4}, c_{2,4}) \\

\pi_5 &= (c_{0, 5}, c_{1, 5}, c_{2,5}) \\

\pi_{\text{last}} &= (V_1(r', r_L), V_1(r', r_R), V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R)) \\

\end{aligned}
$$

把它们聚合到一个向量里：

$$
\textcolor{red} {\pi} =

\begin{bmatrix}

&c_{0, 1} \\
&c_{1, 1} \\
&c_{2, 1} \\
&c_{3, 1} \\
&c_{0, 2} \\
&c_{1, 2} \\
&c_{2, 2} \\
&c_{0, 3} \\
&c_{1, 3} \\
&c_{2, 3} \\
&c_{0, 4} \\
&c_{1, 4} \\
&c_{2, 4} \\
&c_{0, 5} \\
&c_{1, 5} \\
&c_{2, 5} \\
&V_1(r', r_L) \\
&V_1(r', r_R) \\
&V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R) \\

\end{bmatrix}
$$

其中每个round verifier 需要验证时用的参数：

$$
\begin{aligned}

M_1 &= (\boxed{2, 1, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \\

M_2 &= (\boxed{-1, -r_1, -r_1^2, -r_1^3, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \\

M_3 &= (0, 0, 0, 0, \boxed{-1, -r_2, -r_2^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \\

M_4 &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \boxed{ -1, -r_3, -r_3^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \\

M_5 &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,  0, 0, 0, \boxed{-1, -r_4, -r_4^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0) \\

M_{\text{last}} &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,  0, 0, 0, 0, 0, 0, \boxed{-1, -r_5, -r_5^2, \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R), \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R), \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{mul}(4, r_L, r_R)}) \\

\end{aligned}
$$

把它们聚合到一个矩阵里：

$$
M =

\begin{bmatrix}

M_1 \\

M_2 \\

M_3 \\

M_4 \\

M_5 \\

M_{\text{last}} \\

\end{bmatrix}
$$

每一个round verifier 校验的结果：

$$
\textcolor{red} {Q} =

\begin{bmatrix}

s_0 \\

0 \\

\end{bmatrix}
$$

> 备注：其中，$s_0$ 是第1个round 需要校验的sumcheck 值，是verifier 随机采样的第0层电路编码的evaluation值，也是prover 第1个round要证明的值。

汇总一下就是：

$$
\begin{aligned}

M \sdot \textcolor{red}{\pi} =

\begin{bmatrix}

M_1 \\

M_2 \\

M_3 \\

M_4 \\

M_5 \\

M_{\text{last}} \\

\end{bmatrix}

\sdot

\begin{bmatrix}

c_{0, 1} \\
c_{1, 1} \\
c_{2, 1} \\
c_{3, 1} \\
c_{0, 2} \\
c_{1, 2} \\
c_{2, 2} \\
c_{0, 3} \\
c_{1, 3} \\
c_{2, 3} \\
c_{0, 4} \\
c_{1, 4} \\
c_{2, 4} \\
c_{0, 5} \\
c_{1, 5} \\
c_{2, 5} \\
V_1(r', r_L) \\
V_1(r', r_R) \\
V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R) \\

\end{bmatrix}

\overset{?}=

\begin{bmatrix}

s_0 \\

0 \\

\end{bmatrix}

\end{aligned}
$$

矩阵$M$ 需要verifier 自行计算，用红色标记的向量$\pi$ 和 向量$Q$ 都是需要prover 进行commit。 如果说仍然是一个field对应一个commitment,那么commit之后的校验就变成了:

$$
\begin{aligned}

M \sdot \delta =

\begin{bmatrix}

M_1 \\

M_2 \\

M_3 \\

M_4 \\

M_5 \\

M_{\text{last}} \\

\end{bmatrix}

\sdot

\begin{bmatrix}

\delta_{0, 1} \\
\delta_{1, 1} \\
\delta_{2, 1} \\
\delta_{3, 1} \\
\delta_{0, 2} \\
\delta_{1, 2} \\
\delta_{2, 2} \\
\delta_{0, 3} \\
\delta_{1, 3} \\
\delta_{2, 3} \\
\delta_{0, 4} \\
\delta_{1, 4} \\
\delta_{2, 4} \\
\delta_{0, 5} \\
\delta_{1, 5} \\
\delta_{2, 5} \\
X \\
Y \\
Z \\

\end{bmatrix}

\overset{?}=

\begin{bmatrix}

C_0 \\

0 \\

\end{bmatrix}

\end{aligned}
$$

有没有觉得向量$\pi$ size太大了(19个commitment)？是的，它直接影响着协议过程中的communication cost，所以需要进行压缩处理。

## Reducing Sumcheck Commitments

一个field 对应一个commitment:
$$

c_{f_i} = [f_i]_g + [r_{f_i}]_h

$$
每次commit的时候还需要一个blind factor $r_{f_i}$.

这样的话Sumcheck 协议中的commitment个数就会与要commit的多项式的degree成线性关系。如果把一个多项式所有参数的commitment压缩成一个commitment：
$$

c_f = \sum_{i = 1}^n [f_i]_{g_i} + [r_f]_h

这样的话就需要多个generator $g_i$ 了，但blind factor 变成了一个$r_f$。

我们用矩阵第一行的校验为例：
$$

\begin{aligned}

\lang M_1, \delta_{, 1} \rang = 2 \sdot \delta_{0, 1} + \delta_{1, 1} + \delta_{2, 1} + \delta_{3, 1} = C_0 \\

\end{aligned}

如果把commitment $\delta_{i, 1}$ 压缩成一个commitment $\delta_1$，verifier 就无法直接通过上面的等式来进行校验。这其实就转换成了大家所熟知的IPA 证明，即Inner Product Argument verification。 接下来简单描述一下IPA协议的执行过程

## IPA Protocol Overview

prover 要证明query 向量$y$ 满足:
$$
\lang \textcolor{red} {u}, y \rang \overset{?}= \textcolor{red} {v}
$$

### Step One

prover 生成多项式的commitment，并发送给verifier

$$
\begin{aligned}

C_u &= \sum_i [u_i]_{g_i} + [r_u]_h \\

C_v &= [v]_{g} + [r_v]_h \\

\end{aligned}
$$

### Step Two

prover 采样一个与向量$u$ 等长的向量$d$，对它进行commit；同样也与query 向量$y$ 交互，结果也进行commit，最后同样也发送给verifier

\begin{aligned}

C_d &= \sum_i [d_i]_{g_i} + [r_1]_h \\

w &= \lang d, y \rang \\

C_{w} &= [w]_{g} + [r_2]_h \\

\end{aligned}

### Step Three

verifier 发送一个challenge factor $e$ 给prover，prover 计算
$$
\begin{aligned}

u' &= e \sdot u + d \\

r_{u'} &= e \sdot r_u + r_1 \\

r_{v'} &= e \sdot r_v + r_2 \\

\end{aligned}
$$

并把它们全部发送给verifier。

### Step Four

根据commitment 同态性质，verifier 验证：

\begin{aligned}

\sum_i [u_i']_{g_i} + [r_{u'}]_h &= e \sdot \sum_i [u_i]_{g_i} + e \sdot [r_u]_h + \sum_i [d_i]_{g_i} + [r_1]_h \\

&\overset{?}= e \sdot C_u + C_d \\

[\lang u', y \rang]_g + [r_{v'}]_h &= e \sdot [\lang u, y\rang]_g + [\lang d, y \rang]_g + [r_{v'}]_h \\

&\overset{?}= e \sdot C_v + C_w + [r_{v'}]_h

\end{aligned}

## Reducing Sumcheck into IPA 
最后我们看看Hyrax 中Sumcheck 协议被reduced成IPA 协议后的执行过程：

### Step One

把多个verification fold成一个：
$$
\begin{aligned}

J &= \sum_{i = 1}^{6} \rho_i \sdot M_i \\

\begin{bmatrix}

(2\rho_1 - \rho_2) \\
(\rho_1 - r_1 \rho_2) \\
(\rho_1 - r_1^2 \rho_2) \\
(\rho_1 - r_1^3 \rho_2) \\
(2\rho_2 - \rho_3) \\
(\rho_2 - r_2 \rho_3) \\
(\rho_2 - r_2^2 \rho_3) \\ 
(2\rho_3 - \rho_4) \\
(\rho_3 - r_3 \rho_4) \\
(\rho_3 - r_3^2 \rho_4) \\ 
(2\rho_4 - \rho_5) \\
(\rho_4 - r_4 \rho_5) \\
(\rho_4 - r_4^2 \rho_5) \\ 
(2\rho_5 - \rho_6) \\
(\rho_5 - r_5 \rho_6) \\
(\rho_5 - r_5^2 \rho_6) \\ 
\rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R)) \\ \rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R)) \\ \rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{mul}(4, r_L, r_R)) \\

\end{bmatrix}^T \\

\Longrightarrow \lang J, \pi \rang &\overset{?}= \sum_{i = 1}^6 \rho_i \sdot Q_i = \rho_0 \sdot s_0 \\

\end{aligned}
$$

对$\pi$ 进行commit：
$$
\begin{aligned}

\alpha_1 &= \sum_{i = 1}^4 [c_{i, 1}]_{g_i} + [r_{\alpha_1}]_h \\

\alpha_2 &= \sum_{i = 1}^3 [c_{i, 2}]_{g_i} + [r_{\alpha_2}]_h \\

\alpha_3 &= \sum_{i = 1}^3 [c_{i, 3}]_{g_i} + [r_{\alpha_3}]_h \\

\alpha_4 &= \sum_{i = 1}^3 [c_{i, 4}]_{g_i} + [r_{\alpha_4}]_h \\

\alpha_5 &= \sum_{i = 1}^3 [c_{i, 5}]_{g_i} + [r_{\alpha_5}]_h \\

X &= [v_0]_g + [r_X]_h \\

Y &= [v_1]_g + [r_Y]_h \\

Z &= [v_0 \sdot v_1]_g + [r_Z]_h \\

\end{aligned}
$$

对$Q$ 进行commit：
$$

C_0 = [s_0]_g + [r_{C_0}]_h \\

commit 之后，prover要证明的变成了：
$$

\lang \vec{J}, (\vec{\alpha}, X, Y, Z)\rang \overset{?}= \rho_0 \sdot C_0 \\

把两组commitment $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5,X, Y, Z)$ 和 $C_0$ 全部发送给verifier。

定义 $J^{*} = J[:-3]$，$\pi^{*} = \pi[:-3]$，即剔除掉最后三个元素，则：
$$
\lang \vec{J^{*}}, \vec{\alpha} \rang + \lang J_X, X \rang + \lang J_Y, Y \rang + \lang J_Z, Z\rang = \rho_0 \sdot C_0 \\

\Downarrow \\

\sum_{i = 1}^5 J_i \sdot r_{\alpha_i} = \rho_0 \sdot r_{C_0} - J_X \sdot r_X - J_Y \sdot r_Y - J_Z \sdot r_Z \\ 
$$

### Step Two

prover 随机生成一个与 $\pi^{*}$ 等长的向量$d$，同$\pi^{*}$ 一样计算它的commitment，及$\lang J^{*}, d \rang$ 的commitment：
$$
\begin{aligned}

\delta_1 &= \sum_{i = 1}^4 [d_{i, 1}]_{g_i} + [r_{\delta_1}]_h \\
\delta_2 &= \sum_{i = 1}^3 [d_{i, 2}]_{g_i} + [r_{\delta_2}]_h \\
\delta_3 &= \sum_{i = 1}^3 [d_{i, 3}]_{g_i} + [r_{\delta_3}]_h \\
\delta_4 &= \sum_{i = 1}^3 [d_{i, 4}]_{g_i} + [r_{\delta_4}]_h \\
\delta_5 &= \sum_{i = 1}^3 [d_{i, 5}]_{g_i} + [r_{\delta_5}]_h \\

C &= [\lang J^{*}, d \rang]

\end{aligned}
$$

把两组 commitment $\delta = (\delta_1, \delta_2, \delta_3, \delta_4, \delta_5)$ 和 $C$ 全部发送给verifier。

### Step Three

verifier 发送一个challenge factor $e$ 给prover，prover 计算：
$$
\begin{aligned}

\text{\textcircled 1 } &\vec{z} = \begin{cases}
\vec{z_1} &= e \sdot [c_{0, 1}, c_{1, 1}, c_{2, 1}, c_{3, 1}] + [d_{0, 1}, d_{1, 1}, d_{2, 1}, d_{3, 1}] \\
\vec{z_2} &= e \sdot [c_{0, 2}, c_{1, 2}, c_{2, 2}] + [d_{0, 2}, d_{1, 2}, d_{2, 2}] \\
\vec{z_3} &= e \sdot [c_{0, 3}, c_{1, 3}, c_{2, 3}] + [d_{0, 3}, d_{1, 3}, d_{2, 3}] \\
\vec{z_4} &= e \sdot [c_{0, 4}, c_{1, 4}, c_{2, 4}] + [d_{0, 4}, d_{1, 4}, d_{2, 4}] \\
\vec{z_5} &= e \sdot [c_{0, 5}, c_{1, 5}, c_{2, 5}] + [d_{0, 5}, d_{1, 5}, d_{2, 5}] \\
\end{cases} \\

\text{\textcircled 2 } &\begin{cases}
z_{\delta_1} &= e \sdot r_{\alpha_1} + r_{\delta_1} \\
z_{\delta_2} &= e \sdot r_{\alpha_2} + r_{\delta_2} \\
z_{\delta_3} &= e \sdot r_{\alpha_3} + r_{\delta_3} \\
z_{\delta_4} &= e \sdot r_{\alpha_4} + r_{\delta_4} \\
z_{\delta_5} &= e \sdot r_{\alpha_5} + r_{\delta_5} \\
\end{cases} \\

\text{\textcircled 3 } z_C &= e \sdot \sum_{i = 1}^5 J^{*}_i \sdot r_{\alpha_i} + r_C \\
&= e \sdot (\rho_0 \sdot r_{C_0} - J_X \sdot r_X - J_Y \sdot r_Y - J_Z \sdot r_Z) + r_C \\

\end{aligned}
$$

### Step Four

verifier 验证：
$$
\begin{aligned}

\text{\textcircled 1 } &\begin{cases}

\sum_{i = 1}^4 [z_{i, 1}]_{g_i} + [z_{\delta_1}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_1 + \delta_1 \\

\sum_{i = 1}^3 [z_{i, 2}]_{g_i} + [z_{\delta_2}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_2 + \delta_2 \\

\sum_{i = 1}^3 [z_{i, 3}]_{g_i} + [z_{\delta_3}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_3 + \delta_3 \\

\sum_{i = 1}^3 [z_{i, 4}]_{g_i} + [z_{\delta_4}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_4 + \delta_4 \\

\sum_{i = 1}^3 [z_{i, 5}]_{g_i} + [z_{\delta_5}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_5 + \delta_5 \\

\end{cases} \\

\text{\textcircled 2 } &[\lang \vec{J^{*}}, \vec{z} \rang]_g + [z_C]_h \overset{?}= e \sdot (\rho_0 \sdot C_0 - J_X \sdot X - J_Y \sdot Y - J_Z \sdot Z) + C \\

\end{aligned}
$$

----

到此为止多个round 的Sumcheck verification就被转换成了一个IPA verification，proof size(commitments) 也被进一步压缩。

# Reduced Witness Evaluation

本节是Hyrax 基于GKR with ZK Argument的Final Step做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 6。

## Recall

GKR with ZK Argument协议的Final Step是要对最下面一层(input + witness) 的某个evaluation 进行证明，我们仍然用GKR with ZK Argument中的例子：
$$

\widetilde{V}_2(2, (3, 4)) \overset{?}= 2

需要verifier基于Step ZERO发送过来的每个witness对应的commitment 计算witness MLE上的evaluation值对应的commitment：
$$
\begin{aligned}

\widetilde{w}(x_2, x_3) &= 2 \sdot (1 - x_2)(1 - x_3) + 3 \sdot (1 - x_2)x_3 + 2 \sdot x_2 (1 - x_3) + 4 \sdot x_2 x_3 \\

&\Downarrow \\

\text{commit}(\widetilde{w}(x_2, x_3) ) &= \textcolor{red}{\text{commit}(2)} \sdot (1 - x_2)(1 - x_3) + \textcolor{red}{\text{commit}(3)} \sdot (1 - x_2)x_3 + \textcolor{red}{\text{commit}(2)} \sdot x_2 (1 - x_3) + \textcolor{red}{\text{commit}(4)} \sdot x_2 x_3 \\

\end{aligned}
$$

它的问题在于，需要对每个witness进行commit(上面红色标记的部分)，导致communication cost 和 verification cost都会比较高，与witness的长度成线性关系$O(|w|)$，Hyrax 对其进行了压缩，变成了子线性关系$O(\sqrt{|w|})$。

## Square-root commitment scheme

Hyrax 在这里的整体思路是，把上面witness evaluation 的commitment的计算代理给了prover，prover 提供计算结果的同时需要提供相应的proof给verifier 验证，当然了verifier 验证的成本肯定要低于自己计算的成本，满足succinct 特性：
$$
O(\sqrt{|w|}) < O(|w|)
$$

把witness evaluation 的commitment的证明最终变成了一个IPA 的证明。

实例中$|w| = 2^l = 4, l = 2$。

### Evaluation and Proof

prover 把witness 向量$w$转换成一个矩阵$T$表示，$T_{i + 2^{l/2} \sdot j}$ 其中$i、j$分别代表行和列：
$$
T =

\begin{bmatrix}
w_0 & w_2 \\

w_1 & w_3 \\
\end{bmatrix}
$$

按行进行commit：
$$
T_1 = [w_0]_{g_1} + [w_2]_{g_2} + [r_{T_1}]_h \\
T_2 = [w_1]_{g_1} + [w_3]_{g_2} + [r_{T_2}]_h \\
$$

把witness的commitment $T_1、T_2$ 连同evaluation 的commitment $\omega$ 一起发送给verifier。

### Compressed Lagrange Basis

基于MLE 多项式：
$$

\widetilde{w}(r_1, r_2, ..., r_l) = \sum_{b \in \{0, 1\}^l} w(b) \sdot \prod_{k \in \{1, 2, ..., l\}} \chi_{b_k}(r_k)

我们把Lagrange Basis Polynomial $\chi_b$ 一拆为二：
$$
\begin{aligned}

\v{\chi}_b &= \prod_{k = 1}^{l/2}\chi_{b_k}(r_k) \\
\^{\chi}_b &= \prod_{k = l/2 + 1}^{l}\chi_{b_k}(r_k) \\

L &= (\v{\chi}_0, \v{\chi}_1, ..., \v{\chi}_{2^{l/2} - 1}) \\

R &= (\^{\chi}_0, \v{\chi}_{w^{l/2}}, ..., \v{\chi}_{2^{l/2} \sdot (2^{l/2} - 1)}) \\

\end{aligned}
$$

结合上面的witness 矩阵$T$， 一定有：
$$
\begin{aligned}

L \sdot T \sdot R &= \sum_{b \in \{0, 1\}^l} w(b) \sdot \prod_{k \in \{1, 2, ..., l\}} \chi_{b_k}(r_k) \\

&= \widetilde{w}(r_1, r_2, ..., r_l)

\end{aligned}
$$

> 通过两组$\sqrt{n}$的子向量来represent 长度为$n$的整个向量，这里应该是一种很常见的succinct 做法。比如protostar 论文中3.5 节compressed verification也是采用了这种技巧，细节可以参考 https://learnblockchain.cn/article/6503

所以verifier 需要自己计算拿到两个向量(为了简化，实例中$|w| = 4$，所以$2\sqrt{|w|} = 4$其实是没有起到compress作用的，如果$|w| > 4$compress 效果就出来了，读者可以自行举例)：
$$

L = (\v{\chi}_0, \v{\chi}_1) \\
R = (\v{\chi}_2, \v{\chi}_3) \\

并计算得到：
$$

T' = \sum_{k = 1} L_k \sdot T_k

$$
其中 $T_k$ 为commitment，$L_k$ 为verifier 刚计算好的scalar，最终verifier 拿到一个commitment $T'$。

### IPA for Evaluation Verification

最终verifier 需要对prover 提供的evaluation的commitment进行验证，这时的验证就变成了标准的IPA 验证：
$$

\lang \textcolor{red}{T'}, R \rang \overset{?}= \textcolor{red}{\omega}

关于IPA 的执行过程这里就不再赘述了，可以参考上面的IPA Protocol Overview。

# References

【1】Hyrax 论文：https\://eprint.iacr.org/2017/1132.pdf

【2】PAZK by Thaler：https\://people.cs.georgetown.edu/jthaler/ProofsArgsAndZK.pdf

【3】protostar compressed verification: https://learnblockchain.cn/article/6503

Thanks

感谢SecbitLabs @郭宇前两个月分享的Spartan Overview (尽管当时也没太理解)，以及@even 在研究方向上的指引(据说Hyrax 不太好啃)，不至于走太多弯路。

Motivation

缘于folding，缘于NOVA，缘于Setty，了解到了Spartan，但并不认识它，所以才有了本篇及接下来的关于它的一切(预备知识)......

Overview

本篇文章主要参考Hyrax 论文后半部分5-6节，即Hyrax 基于GKR with ZK Argument的contribution。

主要分为两部分，前半部分Reduced Sumcheck Verification主要针对GKR with ZK Argument的Step Two做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 5。

后半部分Reduced Witness Evaluation 主要针对GKR with ZK Argument的Final Step做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 6。

为了方便对照原始论文理解，本文中的notion尽量与Hyrax 原始论文对齐。

Reduced Sumcheck Verification

仍然以这个图为例，$N = 2$，则$b_N = 1$；第0层，$G = 2$，则$b_G = 1$；第1层，$G = 4$，则$b_G = 2$；第2层，$G = 4$，则$b_G = 2$。

Number of Sumcheck Commitments

为了简单起见，上一篇GKR with ZK Argument 中Sumcheck 协议每次round prover 发送给verifier 的多项式系数的commitment的个数我们固定都是4，也就是说多项式的degree全为3。其实prover 需要commit的多项式的degree是有变化的。

$$ \begin{aligned}

\widetilde{V}0(q', q) &= \sum{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{bG}} P{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \

&= \sum_{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{b_G}} \widetilde{eq}_1(q', h') \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) * \widetilde{V}_1(h', h_R)) + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \

\end{aligned} $$

当round $i <= b_N$ 时，prover commit的多项式的degree为3，也就是说commitment的个数为4：

$$ \begin{aligned}

\widetilde{V}0(q', q) &= \sum{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{bG}} P{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \

&= \sum_{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{b_G}} \textcolor{red}{\widetilde{eq}_1(q', h')} \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_L) }* \textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_R)) } + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \

\end{aligned} $$

当round $i > b_G$ 时，prover commit的多项式的degree为2，也就是说commitment的个数为3:

$$ \begin{aligned}

\widetilde{V}0(q', q) &= \sum{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{bG}} P{q', q, 1}(h', h_L, h_R) \

&= \sum_{h' \in {0, 1}^{bN} } \sum{h_L \in {0, 1}^{bG}} \sum{h_R \in {0, 1}^{b_G}} \widetilde{eq}_1(q', h') \sdot [\widetilde{mul}_1(q, h_L, h_R)(\textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_L) }* \textcolor{red}{ \widetilde{V}_1(h', h_R)) } + \widetilde{add}_1(q, h_L, h_R)(\widetilde{V}_1(h', h_L) + \widetilde{V}_1(h', h_R))] \

\end{aligned} $$

Sumcheck Verifications

我们试图把verifier sumcheck 协议中所有round的校验等式且一个矩阵点乘运算表示：

$$ \bold{M} \sdot \textcolor{red} {\bold{\pi}} \overset{?}= \textcolor{red}{\bold{Q}} $$

其中每个round prover发送的message 为：

$$ \begin{aligned}

\pi1 &= (c{0,1}, c{1,1}, c{2,1}, c_{3,1}) \

\pi2 &= (c{0, 2}, c{1, 2}, c{2,2}) \

\pi3 &= (c{0, 3}, c{1, 3}, c{2,3}) \

\pi4 &= (c{0, 4}, c{1, 4}, c{2,4}) \

\pi5 &= (c{0, 5}, c{1, 5}, c{2,5}) \

\pi_{\text{last}} &= (V_1(r', r_L), V_1(r', r_R), V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R)) \

\end{aligned} $$

把它们聚合到一个向量里：

$$ \textcolor{red} {\pi} =

\begin{bmatrix}

&c{0, 1} \ &c{1, 1} \ &c{2, 1} \ &c{3, 1} \ &c{0, 2} \ &c{1, 2} \ &c{2, 2} \ &c{0, 3} \ &c{1, 3} \ &c{2, 3} \ &c{0, 4} \ &c{1, 4} \ &c{2, 4} \ &c{0, 5} \ &c{1, 5} \ &c{2, 5} \ &V_1(r', r_L) \ &V_1(r', r_R) \ &V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R) \

\end{bmatrix} $$

其中每个round verifier 需要验证时用的参数：

$$ \begin{aligned}

M_1 &= (\boxed{2, 1, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \

M_2 &= (\boxed{-1, -r_1, -r_1^2, -r_1^3, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \

M_3 &= (0, 0, 0, 0, \boxed{-1, -r_2, -r_2^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \

M_4 &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \boxed{ -1, -r_3, -r_3^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \

M_5 &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \boxed{-1, -r_4, -r_4^2, 2, 1, 1}, 0, 0, 0) \

M_{\text{last}} &= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \boxed{-1, -r_5, -r_5^2, \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R), \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R), \widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{mul}(4, r_L, r_R)}) \

\end{aligned} $$

把它们聚合到一个矩阵里：

$$ M =

\begin{bmatrix}

M_1 \

M_2 \

M_3 \

M_4 \

M_5 \

M_{\text{last}} \

\end{bmatrix} $$

每一个round verifier 校验的结果：

$$ \textcolor{red} {Q} =

\begin{bmatrix}

s_0 \

0 \

\end{bmatrix} $$

备注：其中，$s_0$ 是第1个round 需要校验的sumcheck 值，是verifier 随机采样的第0层电路编码的evaluation值，也是prover 第1个round要证明的值。

汇总一下就是：

$$ \begin{aligned}

M \sdot \textcolor{red}{\pi} =

\begin{bmatrix}

M_1 \

M_2 \

M_3 \

M_4 \

M_5 \

M_{\text{last}} \

\end{bmatrix}

\sdot

\begin{bmatrix}

c{0, 1} \ c{1, 1} \ c{2, 1} \ c{3, 1} \ c{0, 2} \ c{1, 2} \ c{2, 2} \ c{0, 3} \ c{1, 3} \ c{2, 3} \ c{0, 4} \ c{1, 4} \ c{2, 4} \ c{0, 5} \ c{1, 5} \ c{2, 5} \ V_1(r', r_L) \ V_1(r', r_R) \ V_1(r', r_L) \sdot V_1(r', r_R) \

\end{bmatrix}

\overset{?}=

\begin{bmatrix}

s_0 \

0 \

\end{bmatrix}

\end{aligned} $$

矩阵$M$ 需要verifier 自行计算，用红色标记的向量$\pi$ 和向量$Q$ 都是需要prover 进行commit。如果说仍然是一个field对应一个commitment,那么commit之后的校验就变成了:

$$ \begin{aligned}

M \sdot \delta =

\begin{bmatrix}

M_1 \

M_2 \

M_3 \

M_4 \

M_5 \

M_{\text{last}} \

\end{bmatrix}

\sdot

\begin{bmatrix}

\delta{0, 1} \ \delta{1, 1} \ \delta{2, 1} \ \delta{3, 1} \ \delta{0, 2} \ \delta{1, 2} \ \delta{2, 2} \ \delta{0, 3} \ \delta{1, 3} \ \delta{2, 3} \ \delta{0, 4} \ \delta{1, 4} \ \delta{2, 4} \ \delta{0, 5} \ \delta{1, 5} \ \delta{2, 5} \ X \ Y \ Z \

\end{bmatrix}

\overset{?}=

\begin{bmatrix}

C_0 \

0 \

\end{bmatrix}

\end{aligned} $$

有没有觉得向量$\pi$ size太大了(19个commitment)？是的，它直接影响着协议过程中的communication cost，所以需要进行压缩处理。

Reducing Sumcheck Commitments

一个field 对应一个commitment: $$

c_{f_i} = [f_i]g + [r{f_i}]_h

$$ 每次commit的时候还需要一个blind factor $r_{f_i}$.

这样的话Sumcheck 协议中的commitment个数就会与要commit的多项式的degree成线性关系。如果把一个多项式所有参数的commitment压缩成一个commitment： $$

cf = \sum{i = 1}^n [fi]{g_i} + [r_f]_h

这样的话就需要多个generator $g_i$ 了，但blind factor 变成了一个$r_f$。

我们用矩阵第一行的校验为例： $$

\begin{aligned}

\lang M1, \delta{, 1} \rang = 2 \sdot \delta{0, 1} + \delta{1, 1} + \delta{2, 1} + \delta{3, 1} = C_0 \

\end{aligned}

IPA Protocol Overview

prover 要证明query 向量$y$ 满足: $$ \lang \textcolor{red} {u}, y \rang \overset{?}= \textcolor{red} {v} $$

Step One

prover 生成多项式的commitment，并发送给verifier

$$ \begin{aligned}

C_u &= \sum_i [ui]{g_i} + [r_u]_h \

Cv &= [v]{g} + [r_v]_h \

\end{aligned} $$

Step Two

prover 采样一个与向量$u$ 等长的向量$d$，对它进行commit；同样也与query 向量$y$ 交互，结果也进行commit，最后同样也发送给verifier

\begin{aligned}

C_d &= \sum_i [di]{g_i} + [r_1]_h \

w &= \lang d, y \rang \

C{w} &= [w]{g} + [r_2]_h \

\end{aligned}

Step Three

verifier 发送一个challenge factor $e$ 给prover，prover 计算 $$ \begin{aligned}

u' &= e \sdot u + d \

r_{u'} &= e \sdot r_u + r_1 \

r_{v'} &= e \sdot r_v + r_2 \

\end{aligned} $$

并把它们全部发送给verifier。

Step Four

根据commitment 同态性质，verifier 验证：

\begin{aligned}

\sum_i [ui']{gi} + [r{u'}]_h &= e \sdot \sum_i [ui]{g_i} + e \sdot [r_u]_h + \sum_i [di]{g_i} + [r_1]_h \

&\overset{?}= e \sdot C_u + C_d \

[\lang u', y \rang]g + [r{v'}]_h &= e \sdot [\lang u, y\rang]_g + [\lang d, y \rang]g + [r{v'}]_h \

&\overset{?}= e \sdot C_v + Cw + [r{v'}]_h

\end{aligned}

Reducing Sumcheck into IPA

最后我们看看Hyrax 中Sumcheck 协议被reduced成IPA 协议后的执行过程：

Step One

把多个verification fold成一个： $$ \begin{aligned}

J &= \sum_{i = 1}^{6} \rho_i \sdot M_i \

\begin{bmatrix}

(2\rho_1 - \rho_2) \ (\rho_1 - r_1 \rho_2) \ (\rho_1 - r_1^2 \rho_2) \ (\rho_1 - r_1^3 \rho_2) \ (2\rho_2 - \rho_3) \ (\rho_2 - r_2 \rho_3) \ (\rho_2 - r_2^2 \rho_3) \ (2\rho_3 - \rho_4) \ (\rho_3 - r_3 \rho_4) \ (\rho_3 - r_3^2 \rho_4) \ (2\rho_4 - \rho_5) \ (\rho_4 - r_4 \rho_5) \ (\rho_4 - r_4^2 \rho_5) \ (2\rho_5 - \rho_6) \ (\rho_5 - r_5 \rho_6) \ (\rho_5 - r_5^2 \rho_6) \ \rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R)) \ \rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{add}(4, r_L, r_R)) \ \rho_6 \sdot (\widetilde{eq}(2, r') \sdot \widetilde{mul}(4, r_L, r_R)) \

\end{bmatrix}^T \

\Longrightarrow \lang J, \pi \rang &\overset{?}= \sum_{i = 1}^6 \rho_i \sdot Q_i = \rho_0 \sdot s_0 \

\end{aligned} $$

对$\pi$ 进行commit： $$ \begin{aligned}

\alpha1 &= \sum{i = 1}^4 [c{i, 1}]{gi} + [r{\alpha_1}]_h \

\alpha2 &= \sum{i = 1}^3 [c{i, 2}]{gi} + [r{\alpha_2}]_h \

\alpha3 &= \sum{i = 1}^3 [c{i, 3}]{gi} + [r{\alpha_3}]_h \

\alpha4 &= \sum{i = 1}^3 [c{i, 4}]{gi} + [r{\alpha_4}]_h \

\alpha5 &= \sum{i = 1}^3 [c{i, 5}]{gi} + [r{\alpha_5}]_h \

X &= [v_0]_g + [r_X]_h \

Y &= [v_1]_g + [r_Y]_h \

Z &= [v_0 \sdot v_1]_g + [r_Z]_h \

\end{aligned} $$

对$Q$ 进行commit： $$

C_0 = [s_0]g + [r{C_0}]_h \

commit 之后，prover要证明的变成了： $$

\lang \vec{J}, (\vec{\alpha}, X, Y, Z)\rang \overset{?}= \rho_0 \sdot C_0 \

把两组commitment $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5,X, Y, Z)$ 和 $C_0$ 全部发送给verifier。

定义 $J^{} = J[:-3]$，$\pi^{} = \pi[:-3]$，即剔除掉最后三个元素，则： $$ \lang \vec{J^{*}}, \vec{\alpha} \rang + \lang J_X, X \rang + \lang J_Y, Y \rang + \lang J_Z, Z\rang = \rho_0 \sdot C_0 \

\Downarrow \

\sum_{i = 1}^5 Ji \sdot r{\alpha_i} = \rho0 \sdot r{C_0} - J_X \sdot r_X - J_Y \sdot r_Y - J_Z \sdot r_Z \ $$

Step Two

prover 随机生成一个与 $\pi^{}$ 等长的向量$d$，同$\pi^{}$ 一样计算它的commitment，及$\lang J^{*}, d \rang$ 的commitment： $$ \begin{aligned}

\delta1 &= \sum{i = 1}^4 [d{i, 1}]{gi} + [r{\delta_1}]_h \ \delta2 &= \sum{i = 1}^3 [d{i, 2}]{gi} + [r{\delta_2}]_h \ \delta3 &= \sum{i = 1}^3 [d{i, 3}]{gi} + [r{\delta_3}]_h \ \delta4 &= \sum{i = 1}^3 [d{i, 4}]{gi} + [r{\delta_4}]_h \ \delta5 &= \sum{i = 1}^3 [d{i, 5}]{gi} + [r{\delta_5}]_h \

C &= [\lang J^{*}, d \rang]

\end{aligned} $$

把两组 commitment $\delta = (\delta_1, \delta_2, \delta_3, \delta_4, \delta_5)$ 和 $C$ 全部发送给verifier。

Step Three

verifier 发送一个challenge factor $e$ 给prover，prover 计算： $$ \begin{aligned}

\text{\textcircled 1 } &\vec{z} = \begin{cases} \vec{z1} &= e \sdot [c{0, 1}, c{1, 1}, c{2, 1}, c{3, 1}] + [d{0, 1}, d{1, 1}, d{2, 1}, d_{3, 1}] \ \vec{z2} &= e \sdot [c{0, 2}, c{1, 2}, c{2, 2}] + [d{0, 2}, d{1, 2}, d_{2, 2}] \ \vec{z3} &= e \sdot [c{0, 3}, c{1, 3}, c{2, 3}] + [d{0, 3}, d{1, 3}, d_{2, 3}] \ \vec{z4} &= e \sdot [c{0, 4}, c{1, 4}, c{2, 4}] + [d{0, 4}, d{1, 4}, d_{2, 4}] \ \vec{z5} &= e \sdot [c{0, 5}, c{1, 5}, c{2, 5}] + [d{0, 5}, d{1, 5}, d_{2, 5}] \ \end{cases} \

\text{\textcircled 2 } &\begin{cases} z_{\delta1} &= e \sdot r{\alpha1} + r{\delta1} \ z{\delta2} &= e \sdot r{\alpha2} + r{\delta2} \ z{\delta3} &= e \sdot r{\alpha3} + r{\delta3} \ z{\delta4} &= e \sdot r{\alpha4} + r{\delta4} \ z{\delta5} &= e \sdot r{\alpha5} + r{\delta_5} \ \end{cases} \

\text{\textcircled 3 } zC &= e \sdot \sum{i = 1}^5 J^{*}i \sdot r{\alpha_i} + r_C \ &= e \sdot (\rho0 \sdot r{C_0} - J_X \sdot r_X - J_Y \sdot r_Y - J_Z \sdot r_Z) + r_C \

\end{aligned} $$

Step Four

verifier 验证： $$ \begin{aligned}

\text{\textcircled 1 } &\begin{cases}

\sum{i = 1}^4 [z{i, 1}]_{gi} + [z{\delta_1}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_1 + \delta_1 \

\sum{i = 1}^3 [z{i, 2}]_{gi} + [z{\delta_2}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_2 + \delta_2 \

\sum{i = 1}^3 [z{i, 3}]_{gi} + [z{\delta_3}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_3 + \delta_3 \

\sum{i = 1}^3 [z{i, 4}]_{gi} + [z{\delta_4}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_4 + \delta_4 \

\sum{i = 1}^3 [z{i, 5}]_{gi} + [z{\delta_5}]_h \overset{?}= e \sdot \alpha_5 + \delta_5 \

\end{cases} \

\text{\textcircled 2 } &[\lang \vec{J^{*}}, \vec{z} \rang]_g + [z_C]_h \overset{?}= e \sdot (\rho_0 \sdot C_0 - J_X \sdot X - J_Y \sdot Y - J_Z \sdot Z) + C \

\end{aligned} $$

到此为止多个round 的Sumcheck verification就被转换成了一个IPA verification，proof size(commitments) 也被进一步压缩。

Reduced Witness Evaluation

本节是Hyrax 基于GKR with ZK Argument的Final Step做的优化，对应Hyrax 论文中的Part 6。

Recall

GKR with ZK Argument协议的Final Step是要对最下面一层(input + witness) 的某个evaluation 进行证明，我们仍然用GKR with ZK Argument中的例子： $$

\widetilde{V}_2(2, (3, 4)) \overset{?}= 2

需要verifier基于Step ZERO发送过来的每个witness对应的commitment 计算witness MLE上的evaluation值对应的commitment： $$ \begin{aligned}

\widetilde{w}(x_2, x_3) &= 2 \sdot (1 - x_2)(1 - x_3) + 3 \sdot (1 - x_2)x_3 + 2 \sdot x_2 (1 - x_3) + 4 \sdot x_2 x_3 \

&\Downarrow \

\end{aligned} $$

Square-root commitment scheme

把witness evaluation 的commitment的证明最终变成了一个IPA 的证明。

实例中$|w| = 2^l = 4, l = 2$。

Evaluation and Proof

prover 把witness 向量$w$转换成一个矩阵$T$表示，$T_{i + 2^{l/2} \sdot j}$ 其中$i、j$分别代表行和列： $$ T =

\begin{bmatrix} w_0 & w_2 \

w_1 & w_3 \ \end{bmatrix} $$

按行进行commit： $$ T_1 = [w0]{g_1} + [w2]{g2} + [r{T_1}]_h \ T_2 = [w1]{g_1} + [w3]{g2} + [r{T_2}]_h \ $$

把witness的commitment $T_1、T_2$ 连同evaluation 的commitment $\omega$ 一起发送给verifier。

Compressed Lagrange Basis

基于MLE 多项式： $$

\widetilde{w}(r_1, r_2, ..., rl) = \sum{b \in {0, 1}^l} w(b) \sdot \prod{k \in {1, 2, ..., l}} \chi{b_k}(r_k)

我们把Lagrange Basis Polynomial $\chi_b$ 一拆为二： $$ \begin{aligned}

\v{\chi}b &= \prod{k = 1}^{l/2}\chi_{b_k}(r_k) \ \^{\chi}b &= \prod{k = l/2 + 1}^{l}\chi_{b_k}(r_k) \

L &= (\v{\chi}_0, \v{\chi}1, ..., \v{\chi}{2^{l/2} - 1}) \

R &= (\^{\chi}0, \v{\chi}{w^{l/2}}, ..., \v{\chi}_{2^{l/2} \sdot (2^{l/2} - 1)}) \

\end{aligned} $$

结合上面的witness 矩阵$T$，一定有： $$ \begin{aligned}

L \sdot T \sdot R &= \sum{b \in {0, 1}^l} w(b) \sdot \prod{k \in {1, 2, ..., l}} \chi_{b_k}(r_k) \

&= \widetilde{w}(r_1, r_2, ..., r_l)

\end{aligned} $$

通过两组$\sqrt{n}$的子向量来represent 长度为$n$的整个向量，这里应该是一种很常见的succinct 做法。比如protostar 论文中3.5 节compressed verification也是采用了这种技巧，细节可以参考 https://learnblockchain.cn/article/6503

L = (\v{\chi}_0, \v{\chi}_1) \ R = (\v{\chi}_2, \v{\chi}_3) \

并计算得到： $$

T' = \sum_{k = 1} L_k \sdot T_k

$$ 其中 $T_k$ 为commitment，$L_k$ 为verifier 刚计算好的scalar，最终verifier 拿到一个commitment $T'$。

IPA for Evaluation Verification

最终verifier 需要对prover 提供的evaluation的commitment进行验证，这时的验证就变成了标准的IPA 验证： $$

\lang \textcolor{red}{T'}, R \rang \overset{?}= \textcolor{red}{\omega}

关于IPA 的执行过程这里就不再赘述了，可以参考上面的IPA Protocol Overview。

References

【1】Hyrax 论文：https\://eprint.iacr.org/2017/1132.pdf

【2】PAZK by Thaler：https\://people.cs.georgetown.edu/jthaler/ProofsArgsAndZK.pdf

【3】protostar compressed verification: https://learnblockchain.cn/article/6503

原创
学分: 8
分类: 零知识证明
标签: Hyrax Spartan 零知识证明

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Spartan 预备知识：Hyrax

Thanks

Motivation

Overview

Reduced Sumcheck Verification

Number of Sumcheck Commitments

Sumcheck Verifications

Reducing Sumcheck Commitments

IPA Protocol Overview

Step One

Step Two

Step Three

Step Four

Reducing Sumcheck into IPA

Step One

Step Two

Step Three

Step Four

Reduced Witness Evaluation

Recall

Square-root commitment scheme

Evaluation and Proof

Compressed Lagrange Basis

IPA for Evaluation Verification

References

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