零知识证明 - bellman源码分析

bellman是Zcash团队用Rust语言开发的一个zk-SNARK软件库,实现了Groth16算法。

bellman是Zcash团队用Rust语言开发的一个zk-SNARK软件库,实现了Groth16算法。项目地址:

https://github.com/zcash/librustzcash/tree/master/bellman

1. 总体流程

总体流程大致可以分为以下几个步骤: 1.将问题多项式拍平(flatten),构建对应的电路(Circuit) (这一步是由上层应用程序配置的) 2.根据电路生成R1CS(Rank 1 Constraint System) 3.将R1CS转化为QAP(Quadratic Arithmetic Program)。传统做法是通过拉格朗日插值,但是为了降低计算复杂度,可以通过快速傅立叶变换来实现。 4.初始化QAP问题的参数,即CRS(Common Reference Strings) 5.根据CRS和输入创建proof 6.验证proof

下面依次介绍各个步骤的细节。

2. Setup阶段:

Setup阶段最主要的工作是生成CRS数据,相关公式:

注1:公式中的x对应代码中的变量tau,相应的$x^i$对应于powers_of_tau。 注2:$t(\tau)=(\tau -\omega^0)(\tau -\omega^1)...(\tau -\omega^{n-1})=\tau ^n-1$,代码中的powers_of_tau.z(&tau)就是计算该值。

2.1 参数数据结构

pub struct VerifyingKey<E: Engine> {
    pub alpha_g1: E::G1Affine,
    pub beta_g1: E::G1Affine,
    pub beta_g2: E::G2Affine,
    pub gamma_g2: E::G2Affine,
    pub delta_g1: E::G1Affine,
    pub delta_g2: E::G2Affine,
    pub ic: Vec<E::G1Affine>
}

其中$ic=\frac{\beta ui(\tau)+\alpha vi(\tau)+\omega i(\tau)}{\gamma}$

pub struct Parameters<E: Engine> {
    pub vk: VerifyingKey<E>,
    pub h: Arc<Vec<E::G1Affine>>,
    pub l: Arc<Vec<E::G1Affine>>,
    pub a: Arc<Vec<E::G1Affine>>,
    pub b_g1: Arc<Vec<E::G1Affine>>,
    pub b_g2: Arc<Vec<E::G2Affine>>
}

其中$h=\frac{\tau ^it(\tau)}{\delta}$,$l=\frac{\beta ui(\tau)+\alpha vi(\tau)+\omega i(\tau)}{\delta}$ 最后3个参数a, b_g1, b_g2似乎公式中没有出现,实际上它们是根据$x^i$算出来的QAP多项式的值,也就是$[u(x)]_1,[v(x)]_1,[u(x)]_2$,后面在计算proof的时候会用到。以a为例,假设其中一个多项式的系数等于$c_0,c1,...,c{n-1}$,则$a=\sum^{n-1}_{i=0}c_ix^i$,最后再映射到椭圆曲线上。

2.2 变量类型

Variable类型代表输入数据中的每一个值,分为公开的statement数据和私有的witness数据:

  • Input类型:即statement数据

  • Aux类型:即witness数据

pub enum Index {
    Input(usize),
    Aux(usize)
}
pub struct Variable(Index);

2.3 ConstraintSystem

ConstraintSystem是一个接口,定义了下面几个函数用于产生不同类型的变量:

  • one(): 产生Input类型的变量,索引为0

  • alloc(): 产生Aux类型的变量,索引递增

  • alloc_input(): 产生Input类型的变量,索引递增

示例:

let a = cs.alloc(...)
let b = cs.alloc(...)
let c = cs.alloc_input(...)
cs.enforce(
    || "a*b=c",
    |lc| lc + a,
    |lc| lc + b,
    |lc| lc + c
);

在上面这个例子里,c是statement,a和b是witness,需要验证a * b = c这个Circuit。 如果想验证a + b = c,需要写成下面这样:

cs.enforce(
    || "a*b=c",
    |lc| lc + a + b,
    |lc| lc + CS::one(),
    |lc| lc + c
);

2.4 构建R1CS

Circuit的synthesize()会调用ConstraintSystem的enforce()构建R1CS。 KeypairAssembly是ConstraintSystem的一个实现,R1CS的参数会保存在其成员变量中:

struct KeypairAssembly<E: Engine> {
    num_inputs: usize,
    num_aux: usize,
    num_constraints: usize,
    at_inputs: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>,
    bt_inputs: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>,
    ct_inputs: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>,
    at_aux: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>,
    bt_aux: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>,
    ct_aux: Vec<Vec<(E::Fr, usize)>>
}

以上面的a * b = c为例: num_inputs = 1 num_aux = 2 num_constraints = 1 后面6个字段就对应R1CS中的A、B、C矩阵:

2.5 构建QAP

接下来就是要完成R1CS到QAP的转换。其中有一步会利用逆离散快速傅立叶变换实现拉格朗日插值:

powers_of_tau.ifft(&worker);
let powers_of_tau = powers_of_tau.into_coeffs();

这里有一个单位根(root of unity)的概念: 如果$\omega ^n=1$,则称ω单位根。以复平面为例,$\omega ^i$实际上把单位圆等分成了n份:

现在我们是在有限循环群的条件下,根据费马小定理:假如p是质数,且ω和p互质,那么$\omega^{p-1}(mod\ p)=1$。因此,和p互质的素数都可以作为单位根。

同时我们发现,任何一个元素都可以用$\omega^1,\omega^2,...,\omega^{p-1}$的线性组合来表示,也就是说它们可以作为循环群的一组基。我们利用这组基进行逆离散傅立叶变换,就可以得到拉格朗日插值系数,将R1CS转化为QAP。

2.6 准备验证参数

最后,由于验证proof的时候需要用到下面公式里带中括号的那些参数:

为了能快速验证,预先把这些参数的值计算出来。代码如下:

pub fn prepare_verifying_key<E: Engine>(
    vk: &VerifyingKey<E>
) -> PreparedVerifyingKey<E>
{
    let mut gamma = vk.gamma_g2;
    gamma.negate();
    let mut delta = vk.delta_g2;
    delta.negate();

    PreparedVerifyingKey {
        alpha_g1_beta_g2: E::pairing(vk.alpha_g1, vk.beta_g2),
        neg_gamma_g2: gamma.prepare(),
        neg_delta_g2: delta.prepare(),
        ic: vk.ic.clone()
    }
}

一个小细节:在有限域中如何计算除法? 显然,$a÷b=a×b^{-1}$,那么乘性逆元素(multiplicative inverse)$b^{-1}$如何计算呢? 根据费马小定理:假如p是质数,且a和p互质,那么$a^{p-1}(mod\ p)=1$。 因此,在有限域中,$b^{-1}=b^{p-2}$。 对应代码:

fn inverse(&self) -> Option<Self> {
    if <Fr as Field>::is_zero(self) {
        None
    } else {
        Some(self.pow(&[(MODULUS_R.0 as u64) - 2]))
    }
}

3. 创建Proof阶段

Groth16算法生成Proof的公式如下:

随机选取r和s,计算这三个值。

pub struct Proof<E: Engine> {
    pub a: E::G1Affine,
    pub b: E::G2Affine,
    pub c: E::G1Affine
}

公式中其他的参数都是已知的,最主要的难点是计算h(x),下面会进行详细介绍。

3.1计算$s\cdot A(x),s\cdot B(x),s\cdot C(x)$

回顾一下QAP,我们需要通过拉格朗日插值,把R1CS转化为一系列多项式: 然后我们需要验证:

因此我们需要计算$s\cdot A(x),s\cdot B(x),s\cdot C(x)$。一种方法是直接进行多项式运算,还有一种方法是算出它们在$\omega^0,\omega^1,\omega^2,...,\omega^{n-1}$处的值,然后通过iFFT(逆快速傅立叶变换)获得多项式系数。 值得注意的是,当x分别取$\omega^0,\omega^1,\omega^2,...,\omega^{n-1}$时,$A(x),B(x),C(x)$的值其实就是R1CS的值。因此,$s \cdot A(x)$其实就是所有门电路的左输入,$s \cdot B(x)$就是所有门电路的右输入,而$s \cdot C(x)$就是所有门电路的输出。我们可以复用Circuit的synthesize()函数来进行计算。 生成proof的时候使用的是ConstraintSystem的另外一个实现ProvingAssignment来调用Circuit的synthesize()函数。

struct ProvingAssignment<E: Engine> {
    ...
    a: Vec<Scalar<E>>,
    b: Vec<Scalar<E>>,
    c: Vec<Scalar<E>>,

    input_assignment: Vec<E::Fr>,
    aux_assignment: Vec<E::Fr>
}

和Setup阶段基本类似:

  • alloc():把witness数据送入aux_assignment中

  • alloc_input():把statement数据送入input_assignment中

  • enforce()/eval():计算出$s\cdot A(x),s\cdot B(x),s\cdot C(x)$,分别放入a、b、c这3个成员变量中

然后就可以通过iFFT获得对应的多项式系数了。

3.2 计算h(x)

有了$s\cdot A(x),s\cdot B(x),s\cdot C(x)$,就可以计算h(x)了: 但是这里有个问题,$t(x)=(x-\omega ^0)(x-\omega ^1)...(x-\omega ^{n-1})=x^n-1$,而x的取值是 $\omega^0,\omega^1,\omega^2,...,\omega^{n-1}$,所以分母为零!

显然我们是不能除以零的,因此需要对x做一定的“变换”或者“偏移”。用bellman里的术语,叫做从“Evaluation Domain”转换到“Coset”上。

1.定义$\omega=\sigma^{(r-1)/n}$,则$\omega^n=1$(费马小定理) 2.先通过3次iFFT,计算出a,b,c的多项式系数 3.计算多项式在$\sigma\omega^0,\sigma\omega^1,...,\sigma\omega^{n-1}$这个“偏移集合”上的值 4.再通过3次FFT,获得偏移后的点的集合a',b',c' 5.由于$t(\sigma\omega^i)=(\sigma\omega^i)^n-1=\sigma^n-1$,计算h(x)在偏移集合上的点$h(\sigma\omega^i)=\frac{a'_i*b'_i-c'_i}{\sigma^n-1}$ 6.做一次iFFT,计算出偏移后的多项式系数 7.根据尺度变换定理:$f(\sigma x)\leftarrow\rightarrow F(\frac{1}{\sigma}\omega)$,把上一步得到的结果除以σ,就获得了h(x)的多项式系数 根据以上分析,一共需要执行3次FFT,4次iFFT。 bellman基本上就是按照上面的算法来计算的,我们来详细分析一下。

首先,获取上一节的计算结果:

let mut a = EvaluationDomain::from_coeffs(prover.a)?;
let mut b = EvaluationDomain::from_coeffs(prover.b)?;
let mut c = EvaluationDomain::from_coeffs(prover.c)?;

然后,通过3次iFFT获取多项式系数,计算在coset上的值,再通过3次FFT获取偏移后的点:

a.ifft(&worker);
a.coset_fft(&worker);
b.ifft(&worker);
b.coset_fft(&worker);
c.ifft(&worker);
c.coset_fft(&worker);

接下来,计算$h(\sigma\omega^i)=\frac{a'_i*b'_i-c'_i}{\sigma^n-1}$:

a.mul_assign(&worker, &b);
drop(b);
a.sub_assign(&worker, &c);
drop(c);
a.divide_by_z_on_coset(&worker);

最后,通过iFFT获取多项式系数,然后除以σ:

a.icoset_fft(&worker);

另外,后面还有一步是计算$\frac{h(\tau)t(\tau)}{\delta}$,作为$[C]_1$的一部分:

multiexp(&worker, params.get_h(a.len())?, FullDensity, a)

4. 验证阶段

Groth16算法的proof验证公式如下:

中间的求和部分参见以下代码(使用了CRS中的ic),生成中间变量acc:

let mut acc = pvk.ic[0].into_projective();

for (i, b) in public_inputs.iter().zip(pvk.ic.iter().skip(1)) {
    acc.add_assign(&b.mul(i.into_repr()));
}

然后把公式略做变形,将问题转化为验证以下等式: 对应代码如下:

Ok(E::final_exponentiation(
    &E::miller_loop([
        (&proof.a.prepare(), &proof.b.prepare()),
        (&acc.into_affine().prepare(), &pvk.neg_gamma_g2),
        (&proof.c.prepare(), &pvk.neg_delta_g2)
    ].into_iter())
).unwrap() == pvk.alpha_g1_beta_g2)

至此,bellman源码的基本流程就分析完毕了,欢迎一起交流讨论~

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  • 发表于 2019-07-14 23:52
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Star Li
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