Groth16 与证明你知道 x²-2x-15=0 的答案

billatnapier
发布于 2025-11-18 16:50
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本文介绍了非交互式零知识证明（NI-ZKP）的原理和应用，重点介绍了Groth16算法，它是第一个定义了恒定大小的证明并能有效验证的算法，并探讨了其在区块链中的实际应用。文章还提供了使用Groth16证明知道方程解的示例代码。

> 非交互式零知识证明的美妙之处

想象一下你是一位课堂上的老师，你要求你的学生找到方程 x²-2x-15=0 的根。但是，你不想教你的班级，你也不想计算出正确答案。为此，我们可以要求班级展示一个证明，证明他们知道正确答案，但实际上并不透露它。这就是非交互式零知识证明的魔力。

## NI-ZKPs

我很荣幸能与这么多伟人交谈过，他们帮助保护我们的世界，无论是创建了至今仍在保护我们的密钥交换方法的 Whitfield Diffie 和 Marty Hellman，还是发明了椭圆曲线密码学的 Victor S Miller 和 Neal Koblitz。

虽然密钥交换和椭圆曲线方法为互联网提供了安全基础，但正是非交互式零知识证明 (NI-ZKPs) 让我们看到了现代魔法的发挥。为此，我们看到了 zk-SNARKs（简洁的非交互式知识论证）的兴起，通过它我们可以通过见证证明来证明对某事的了解。想象一下，我可以向你证明我住在某个地址，而无需实际告诉你该地址。

## zk-SNARKs 的魔力

虽然 zk-SNARKs 早已被提出作为一个不错的理论概念，但 **Groth16** 是第一个定义了具有高效验证的恒定大小的证明，并且可以在链上区块链上实际实现。这使用了基于配对的密码学的魔法 [[here](https://eprint.iacr.org/2016/260.pdf)][1]：
总的来说，通过 Groth16，我们信任特定于电路的设置，然后具有强大的知识假设，这为我们提供了现代 NI-ZKP 方法（如 STARK、PLONK 和 Halo）的开发参考点。

## 认识 Jens

所以，昨天，我很幸运赶上了 Groth16 的创造者：

https://www.youtube.com/watch?v=ooOYmDzoQj0

总的来说，Jens 专注于 NI-ZKP 领域，现在为 Nexus [[here](https://nexus.xyz/)] 工作，该公司专注于将 ZKP 构建到Layer 1 区块链中。 Jens 在奥胡斯大学获得了博士学位，该大学是世界上一些最好的密码学研究的所在地，并且拥有像 Ivan Damgard 这样优秀的的研究人员 [[here](https://en.wikipedia.org/wiki/Ivan_Damg%C3%A5rd)]：
Ivan 发明了许多令人惊叹的密码学方法，但可能最出名的是他发明的与 MD5、SHA-1 和 SHA-256 一起使用的哈希方法：Merkle-Damgard (MD) 方法：
你可以在[这里](https://learnblockchain.cn/article/22075?postPublishedType=repub)找到更多关于 Ivan 的信息。
获得博士学位后，Jens 曾担任伦敦大学学院的密码学教授，之后转任 Nexus 首席科学家。 对于 Jens 来说，学术界和工业界之间的跳跃是很自然的，而且似乎发生在他职业生涯的正确时机。

## Groth16

用简单的方式解释 Groth16 并不容易，但我会尝试展示它如何集成到程序中。 第一个核心原则是使用基于配对的密码学，如果我们有两个曲线上的基点（U 和 V），我们有配对关系 (e())：

![image.png](https://img.learnblockchain.cn/attachments/2025/12/OPijhjE36931029197639.png)

然后，点 a.U 和 bV 的配对与 ab.U 和 V 的配对相同。
所以，让我们举一个例子：
x²-2x-15=0

这个的解是：

(x-5)(x+3)=0

所以 x=5 或 x=-3。 使用 Groth16，我们现在可以证明我们知道方程的答案，而无需实际展示我们的答案。 然后我们最初创建一个代表我们方程的电路：
```
circuit := cs.New()  
  
    // declare secret and public inputs
    // 声明 secret 和 public 输入
    x := circuit.SECRET_INPUT("x")  
    y := circuit.PUBLIC_INPUT("y")  
  
   //  x^2+ax+b.   
    xval:= -3  
    yval:= 0  
    a:=-2  
    b:=-15
```

然后可以用逻辑表示：
```
x3 := circuit.MUL(x, x) // x^2  
x2 := circuit.MUL(a, x) // a.x
circuit.MUSTBE_EQ(y, circuit.ADD(x3, x2, b)) // x^2+ax+b
```

然后我们定义什么是秘密的，并创建 Groth16 所需的 R1C2 电路：
```
good := cs.NewAssignment()  
good.Assign(cs.Secret, "x", xval)  
expectedY := cs.Element(yval)  
good.Assign(cs.Public, "y", expectedY)  
  
//.. circuit definition
//.. 电路定义
r1cs := cs.NewR1CS(&circuit)
```

现在，我们可以创建一个 Proving Key 和一个 Verification Key：
```
var pk groth16.ProvingKey  
var vk groth16.VerifyingKey  
  
groth16.Setup(r1cs, &pk, &vk)
```

然后我们创建一个证明，证明我们知道解决方案：
```
public := cs.NewAssignment()  
public.Assign(cs.Public, "y", yval)  
  
proof, err1 := groth16.Prove(r1cs, &pk, good)
```

然后可以验证：
```
res,err2:= groth16.Verify(proof, &vk, public)  
if (err2==nil) { fmt.Print("\nVerified: ",res) }
```

完整的程序是 [这里](http://asecuritysite.com/zero/zkgn) :

```
package main

import
("github.com/consensys/gnark/cs"  
 "github.com/consensys/gnark/cs/groth16"  
  "fmt"  
 "os"  
 "strconv"  
)  
  
func main() {  
    // create root constraint system
    // 创建根约束系统
    circuit := cs.New()  
  
    // declare secret and public inputs
    // 声明 secret 和 public 输入
    x := circuit.SECRET_INPUT("x")  
    y := circuit.PUBLIC_INPUT("y")  
  
  
   //  x^2+ax+b.   
    xval:= -3  
    yval:= 0  
    a:=-2  
    b:=-15  
  
  
   argCount := len(os.Args[1:])  
  
    if (argCount>1) {xval,_= strconv.Atoi(os.Args[1])}  
    if (argCount>2) {yval,_= strconv.Atoi(os.Args[2])}  
    if (argCount>3) {a,_= strconv.Atoi(os.Args[3])}  
    if (argCount>4) {b,_= strconv.Atoi(os.Args[4])}  
  
    fmt.Printf("%d =x^3 + (%d) x + (%d) when x= %d\n\n",yval,a,b,xval)  
  
    x3 := circuit.MUL(x, x)  
    x2 := circuit.MUL(a, x)  
    circuit.MUSTBE_EQ(y, circuit.ADD(x3, x2, b))  
  
//    circuit.Write("cubic.r1cs")  
  
  
  good := cs.NewAssignment()  
  good.Assign(cs.Secret, "x", xval)  
  expectedY := cs.Element(yval)  
  good.Assign(cs.Public, "y", expectedY)  
  
  
    //.. circuit definition
    //.. 电路定义
    r1cs := cs.NewR1CS(&circuit)  
      
    var pk groth16.ProvingKey  
    var vk groth16.VerifyingKey  
  
    groth16.Setup(r1cs, &pk, &vk)  
      
    public := cs.NewAssignment()  
   public.Assign(cs.Public, "y", yval)  
  
  
    proof, err1 := groth16.Prove(r1cs, &pk, good)  
  
    if (err1==nil) {  
      fmt.Print("Proof: ",proof)  
     } else {  
          fmt.Print("No proof!")  
           return  
       }  
  
    res,err2:= groth16.Verify(proof, &vk, public)  
    if (err2==nil) { fmt.Print("\nVerified: ",res) }  
}
```

你可以在这里尝试其他方程式：
* x=1, **x** ²−3 **x** −10=−12。 成功。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=1&y=-12&a=-3&b=-10)
* x=1, **x** ²−3 **x** −10=−13。 失败。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=1&y=-13&a=-3&b=-10)
* x=-3, **x** ²−2 **x** −15=0。 成功。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=-3&y=0&a=-2&b=-15)
* x=5, **x** ²−2 **x** −15=0。 成功。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=5&y=0&a=-2&b=-15)
* x=4, **x** ²−2 **x** −15=0。 失败。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=4&y=0&a=-2&b=-15)
* x=-15, **x** ²+5 **x** −150=0。 成功。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=-15&y=0&a=5&b=-150)
* x=10, **x** ²+5 **x** −150=0。 成功。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=10&y=0&a=5&b=-150)
* x=-8, **x²** +5 **x** −150=0。 失败。[尝试一下！](https://asecuritysite.com/zero/zkgn?x=8&y=0&a=5&b=-150)

**这难道不是很棒吗？**

如果你想了解如何设置 Groth，请在此处尝试：
[ zkSnarks：从电路到验证 通过 zkSnark（一种非交互式自适应知识论证）](https://asecuritysite.com/zero/zksnark03?source=post_page-----029f6db184d0---------------------------------------)

以及智能合约中的一个实际示例：

[zkSnarks、智能合约和测试网络上的以太坊](https://asecuritysite.com/blockchain/ethereum02?source=post_page-----029f6db184d0---------------------------------------)

## 使用 Groth16 构建一个真实的 ZKP

一根绳子(string)有多长？ 好吧，谁知道呢！ 但是，创建和验证零知识证明需要多长时间？ 好吧，这实际上是我们可以衡量的东西。 我们会发现，我们大约需要两分钟来生成证明，但我们可以快速检查证明是否正确。 总的来说，生成 ZKP 可能需要一段时间，但随后可以快速验证它。
由于我们想要良好的性能，我们将使用 Rust 编程语言来实现这一点，它将被编译成一个可执行程序。 一个常见的 ZKP 是 Groth16，它由 Jen Groth 在 2016 年创建 [1]。 这使用了基于配对的密码学并创建了一个简短的证明。 最好的 Rust 库之一是 Bellman 库。 在这里了解更多：
[https://learnblockchain.cn/article/22054](https://learnblockchain.cn/article/22054?postPublishedType=initial)

## 结论

与 Groth16 的创建者交谈真是太棒了，他开启了一个全新的机会世界，证明事物，而不会泄露我们的秘密。 在[此处](https://www.youtube.com/watch?v=ooOYmDzoQj0)收听和观看。

## 参考文献
[1] Groth, J. (2016, April). On the size of pairing-based non-interactive arguments. In **年度密码技术理论与应用国际会议** (pp. 305–326). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.

>- 原文链接： [billatnapier.medium.com/...](https://billatnapier.medium.com/groth16-and-proving-your-know-the-answer-to-x%C2%B2-2x-15-029f6db184d0)
>- 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～

非交互式零知识证明的美妙之处

NI-ZKPs

zk-SNARKs 的魔力

虽然 zk-SNARKs 早已被提出作为一个不错的理论概念，但 Groth16 是第一个定义了具有高效验证的恒定大小的证明，并且可以在链上区块链上实际实现。这使用了基于配对的密码学的魔法 [here][1]：总的来说，通过 Groth16，我们信任特定于电路的设置，然后具有强大的知识假设，这为我们提供了现代 NI-ZKP 方法（如 STARK、PLONK 和 Halo）的开发参考点。

认识 Jens

所以，昨天，我很幸运赶上了 Groth16 的创造者：

https://www.youtube.com/watch?v=ooOYmDzoQj0

总的来说，Jens 专注于 NI-ZKP 领域，现在为 Nexus [here] 工作，该公司专注于将 ZKP 构建到Layer 1 区块链中。 Jens 在奥胡斯大学获得了博士学位，该大学是世界上一些最好的密码学研究的所在地，并且拥有像 Ivan Damgard 这样优秀的的研究人员 [here]： Ivan 发明了许多令人惊叹的密码学方法，但可能最出名的是他发明的与 MD5、SHA-1 和 SHA-256 一起使用的哈希方法：Merkle-Damgard (MD) 方法：你可以在这里找到更多关于 Ivan 的信息。获得博士学位后，Jens 曾担任伦敦大学学院的密码学教授，之后转任 Nexus 首席科学家。对于 Jens 来说，学术界和工业界之间的跳跃是很自然的，而且似乎发生在他职业生涯的正确时机。

Groth16

用简单的方式解释 Groth16 并不容易，但我会尝试展示它如何集成到程序中。第一个核心原则是使用基于配对的密码学，如果我们有两个曲线上的基点（U 和 V），我们有配对关系 (e())：

然后，点 a.U 和 bV 的配对与 ab.U 和 V 的配对相同。所以，让我们举一个例子： x²-2x-15=0

这个的解是：

(x-5)(x+3)=0

所以 x=5 或 x=-3。使用 Groth16，我们现在可以证明我们知道方程的答案，而无需实际展示我们的答案。然后我们最初创建一个代表我们方程的电路：

circuit := cs.New()  

    // declare secret and public inputs
    // 声明 secret 和 public 输入
    x := circuit.SECRET_INPUT("x")  
    y := circuit.PUBLIC_INPUT("y")  

   //  x^2+ax+b.   
    xval:= -3  
    yval:= 0  
    a:=-2  
    b:=-15

然后可以用逻辑表示：

x3 := circuit.MUL(x, x) // x^2  
x2 := circuit.MUL(a, x) // a.x
circuit.MUSTBE_EQ(y, circuit.ADD(x3, x2, b)) // x^2+ax+b

然后我们定义什么是秘密的，并创建 Groth16 所需的 R1C2 电路：

good := cs.NewAssignment()  
good.Assign(cs.Secret, "x", xval)  
expectedY := cs.Element(yval)  
good.Assign(cs.Public, "y", expectedY)  

//.. circuit definition
//.. 电路定义
r1cs := cs.NewR1CS(&circuit)

现在，我们可以创建一个 Proving Key 和一个 Verification Key：

var pk groth16.ProvingKey  
var vk groth16.VerifyingKey  

groth16.Setup(r1cs, &pk, &vk)

然后我们创建一个证明，证明我们知道解决方案：

public := cs.NewAssignment()  
public.Assign(cs.Public, "y", yval)  

proof, err1 := groth16.Prove(r1cs, &pk, good)

然后可以验证：

res,err2:= groth16.Verify(proof, &vk, public)  
if (err2==nil) { fmt.Print("\nVerified: ",res) }

完整的程序是这里 :

package main  

import
("github.com/consensys/gnark/cs"  
 "github.com/consensys/gnark/cs/groth16"  
  "fmt"  
 "os"  
 "strconv"  
)  

func main() {  
    // create root constraint system
    // 创建根约束系统
    circuit := cs.New()  

    // declare secret and public inputs
    // 声明 secret 和 public 输入
    x := circuit.SECRET_INPUT("x")  
    y := circuit.PUBLIC_INPUT("y")  

   //  x^2+ax+b.   
    xval:= -3  
    yval:= 0  
    a:=-2  
    b:=-15  

   argCount := len(os.Args[1:])  

    if (argCount>1) {xval,_= strconv.Atoi(os.Args[1])}  
    if (argCount>2) {yval,_= strconv.Atoi(os.Args[2])}  
    if (argCount>3) {a,_= strconv.Atoi(os.Args[3])}  
    if (argCount>4) {b,_= strconv.Atoi(os.Args[4])}  

    fmt.Printf("%d =x^3 + (%d) x + (%d) when x= %d\n\n",yval,a,b,xval)  

    x3 := circuit.MUL(x, x)  
    x2 := circuit.MUL(a, x)  
    circuit.MUSTBE_EQ(y, circuit.ADD(x3, x2, b))  

//    circuit.Write("cubic.r1cs")  

  good := cs.NewAssignment()  
  good.Assign(cs.Secret, "x", xval)  
  expectedY := cs.Element(yval)  
  good.Assign(cs.Public, "y", expectedY)  

    //.. circuit definition
    //.. 电路定义
    r1cs := cs.NewR1CS(&circuit)  

    var pk groth16.ProvingKey  
    var vk groth16.VerifyingKey  

    groth16.Setup(r1cs, &pk, &vk)  

    public := cs.NewAssignment()  
   public.Assign(cs.Public, "y", yval)  

    proof, err1 := groth16.Prove(r1cs, &pk, good)  

    if (err1==nil) {  
      fmt.Print("Proof: ",proof)  
     } else {  
          fmt.Print("No proof!")  
           return  
       }  

    res,err2:= groth16.Verify(proof, &vk, public)  
    if (err2==nil) { fmt.Print("\nVerified: ",res) }  
}

你可以在这里尝试其他方程式：

x=1, x ²−3 x −10=−12。成功。尝试一下！
x=1, x ²−3 x −10=−13。失败。尝试一下！
x=-3, x ²−2 x −15=0。成功。尝试一下！
x=5, x ²−2 x −15=0。成功。尝试一下！
x=4, x ²−2 x −15=0。失败。尝试一下！
x=-15, x ²+5 x −150=0。成功。尝试一下！
x=10, x ²+5 x −150=0。成功。尝试一下！
x=-8, x² +5 x −150=0。失败。尝试一下！

这难道不是很棒吗？

如果你想了解如何设置 Groth，请在此处尝试： zkSnarks：从电路到验证通过 zkSnark（一种非交互式自适应知识论证）

以及智能合约中的一个实际示例：

zkSnarks、智能合约和测试网络上的以太坊

使用 Groth16 构建一个真实的 ZKP

一根绳子(string)有多长？好吧，谁知道呢！但是，创建和验证零知识证明需要多长时间？好吧，这实际上是我们可以衡量的东西。我们会发现，我们大约需要两分钟来生成证明，但我们可以快速检查证明是否正确。总的来说，生成 ZKP 可能需要一段时间，但随后可以快速验证它。由于我们想要良好的性能，我们将使用 Rust 编程语言来实现这一点，它将被编译成一个可执行程序。一个常见的 ZKP 是 Groth16，它由 Jen Groth 在 2016 年创建 [1]。这使用了基于配对的密码学并创建了一个简短的证明。最好的 Rust 库之一是 Bellman 库。在这里了解更多： https://learnblockchain.cn/article/22054

结论

与 Groth16 的创建者交谈真是太棒了，他开启了一个全新的机会世界，证明事物，而不会泄露我们的秘密。在此处收听和观看。

参考文献

[1] Groth, J. (2016, April). On the size of pairing-based non-interactive arguments. In 年度密码技术理论与应用国际会议 (pp. 305–326). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.