本文深入探讨了阈值密码学在实际应用中面临的挑战，通过分析Pedersen DKG、MtA、BitGo钱包等多个真实案例，揭示了诸如多项式阶数验证缺失、离散对数检查疏忽、知识证明遗漏、哈希编码歧义等漏洞攻击手段，强调了从理论安全到生产安全过渡过程中严格安全审计及参数验证的重要性。

本文深入探讨了超奇异同源密钥交换（SIDH）的构造与破解，详细介绍了椭圆曲线、超奇异曲线、同源等预备知识，以及SIDH协议的参数、密钥生成、共享秘密计算等过程。同时，重点解析了Castryck-Decru攻击如何利用二维阿贝尔簇的性质，构造神谕机来逐步破解SIDH的密钥，揭示了SIDH因公钥中包含辅助信息而存在的安全问题。

本文对比了三种零知识虚拟机（zkVM）的领域特定语言（DSL）：Halo2、Zirgen 和 Plonky3，它们分别代表了不同的零知识系统开发哲学，从高级抽象到低级数学原语，通过比较它们的架构、数据模型和Fibonacci示例的实际应用，帮助开发者理解零知识证明领域，并根据特定需求选择合适的工具。

以太坊基金会悬赏高达 1.11 亿美元，用于解决 Reed-Solomon 码的容量接近差距猜想，特别是其被称为互相关协议的强化变体。这个数学猜想是现代零知识证明的基石，尤其是在基于哈希的 SNARK 中使用的 FRI 和 WHIR 中。解决这个猜想将对整个区块链生态系统产生深远的影响。

文章主要介绍了Token Risks API，该工具旨在帮助交易者识别ERC20代币智能合约中存在的潜在风险，通过快速、深入和准确的扫描分析，Token Risks API能够检测20多种关键威胁，并提供风险评分、流动性及所有权状态以及合约风险等信息，从而帮助用户在交易前做出更明智的决策。

本文介绍了多方同态加密（MHE）的概念及其与传统多方计算（MPC）的区别，MHE通过共享解密能力而非数据本身，实现了非交互式的计算过程，显著降低了通信开销和同步需求。文章深入探讨了基于MBFV的MHE协议，包括密钥生成、重线性化、密钥切换和自举等关键技术，并提供了一个使用Lattigo实现的具体示例，展示了MHE在实际应用中的潜力。

本文深入探讨了广义BFV（Brakerski-Fan-Vercauteren）同态加密方案，该方案通过使用多项式商环代替传统的整数明文模数，突破了经典BFV方案中数据吞吐量和计算深度之间的限制。该方案在噪声控制、深度缩放、结构化插槽以及引导解决方案等方面实现了显著改进，为隐私保护机器学习、安全数据库操作和加密分析等应用开辟了新的可能性。

本文深入探讨了全同态加密（FHE）中的单指令多数据（SIMD）操作，详细阐述了如何利用代数和数论的概念，特别是理想、商环、单位根、分圆多项式以及中国剩余定理，将多个明文值打包进一个密文中，并同时进行并行计算，从而显著提高FHE的效率，使其从理论走向实际应用。文章还探讨了如何通过Galois自同构和掩码技术实现数据的移动和旋转。

本文探讨了零知识证明（ZKP）在Web3以外的实际应用，例如谷歌在钱包中使用ZKP进行年龄验证，Cloudflare利用ZKP实现私有Web认证，EZKL用于隐私保护的机器学习，以及TikTok使用ZKP为TEE构建无需信任的远程认证系统。这些案例展示了ZKP在构建更注重隐私、可验证和尊重用户互联网方面的潜力。

本文深入探讨了密码学电路中缺失范围检查攻击的原理和实例，首先介绍了群论的基础知识，包括群、子群、群的阶、元素的阶、生成器和循环群等概念，以及拉格朗日定理及其推论。