Circle STARKs

本文深入探讨了Circle STARKs的工作原理及其在零知识证明中的应用，特别是在小字段上的优化和效率提升。

本文介绍了 Circle STARKs，它通过利用具有最快有限域算术的梅森素数，展示了卓越的性能。Circle STARKs 通过移动到圆群来解决梅森素数上定义的字段的非平滑结构，并密切遵循其经典的 STARKs 类似物，虽然有一些细微之处，但幸运的是，大多数细微之处都对开发人员隐藏了，Circle STARKs 以及高效的查找可以帮助提高通用 ZKVM 的性能。

本文是关于Circle STARKs中Circle FFT算法的系列文章的第一部分，主要介绍了构建圆形域的基础概念，包括STARK友好的素数演变、圆曲线、群结构、孪生陪集和标准位置陪集等，并给出了详细的示例和推导。文章还提供了Python代码示例，帮助读者理解和实践这些概念，为后续深入研究Circle FFT算法奠定基础。

本文深入探讨了Circle STARKs的代数基础，包括复数、单位圆的群性质，以及在有限域上的扩展。文章还讨论了单位圆的子群结构、余集，以及在Circle STARKs中用于计算轨迹的trace domain（标准位置陪集或更一般的双陪集）上的多项式插值和消失多项式。

本文是关于 Circle STARKs 系列的第一篇文章，主要介绍了 Mersenne 素数域在 STARK 中的应用动机和背景。由于 Mersenne 素数域具有非常高效的模约简算法，但在传统 STARK 中无法有效支持 FRI/STIR，Circle STARKs 解决了这个问题，使得在这些特定域上使用 STARK 更高效。