加密资产波动建模 第一部分

引言：加密货币的波动建模

加密市场经历了显著的波动，以2021年5月的市场崩盘为证，该事件导致其市值在短短数天内下降超过40%。这些突然的价格波动，加上最近的其他新闻，比如硅谷银行的倒闭，反复强调了该行业需要更好风险管理的必要性。我们在 Three Sigma 和其他研究人员及开发者，一直在探索前沿技术，以建立更可靠的风险模型，这些模型能更好地处理这些复杂性并解决这一重要问题。

波动性是一个必须考虑的重要因素，因为它显著影响所有风险模型。虽然在传统金融背景下得到了广泛研究，但加密市场的出现带来了新的挑战，要求对这一主题进行更深入的分析。加密资产的特点是大规模的价格波动和缺乏监管，这可能引入新的风险和不确定性，导致需要对用于考虑波动性的方法进行修订。本文旨在全面评估 加密货币市场的波动动态，探讨如何成功地对波动性进行建模。这篇博客文章是两篇中的第一篇，在这里我们研究波动性作为统计度量，它在加密货币市场的特殊性，以及用于尝试解释它的模型，包括 波动性的GARCH模型。

什么是波动性，为什么我们应该对其建模？

波动性是对数据在一段时间内围绕其均值的离散程度的统计度量。在金融中，它通常指资产价格随时间波动的程度。

在金融系统中，波动性非常重要，因为它影响股票、债券和货币等资产的价格。当市场波动性高时，可能导致这些资产价格的大幅波动，这可以为投资者创造盈利机会或带来风险。它也可能影响整个金融系统的稳定性，因为资产价格的大幅波动可能导致系统性风险。

在加密行业中，考虑波动性显得尤为重要，因为大多数加密货币由于其相对较小的市场规模、缺乏监管和投机性质而高度波动。例如，那些在2017年初购买比特币的人看到其价格从大约1,000上涨到接近20,000，而在峰值时买入的投资者在2018年其价格跌至大约3,000。如下面的图表所示，这些甚至不是最显著的价格波动，最显著的波动发生在2020年之后。

波动性是传统金融系统和加密行业中风险管理、定价和投资组合构建的关键因素。投资组合经理利用其评估整体投资组合风险，算法则利用其实时确定合适的交易率。

波动性也用于定价期权和其他结构化产品，交易员使用它来理解交易日内潜在的价格波动并计算交易成本。在期权定价理论中，波动性用于测量证券的风险，波动性较高的资产承受更大与更高回报概率有关的风险。风险与回报之间的平衡被称为风险-收益权衡，投资者在做出投资决策时必须考虑。此外，波动性本身也可能通过衍生品进行投机交易。

波动性特性

波动性虽然不可直接观察，但在许多资产收益中表现出一些特征。这些特征被称为风格化事实，包括波动性聚集，即高波动和低波动的时期交替出现，以及其概率分布中的重尾，表明大波动的可能性比正常分布中预期的要大。

此外，波动性任意并重复地波动，波动性尖峰会在长期水平上稳定之前持续。它通常也表现出均值回归的特性，因为它保持在一个设定区间内。此外，所谓的杠杆效应通常会导致不对称效应，即大幅价格下降对波动性的影响大于大幅价格上涨，导致负波动性峰值大于正波动性峰值。关于这一点将在文中进一步阐述。通常还观察到异方差性，即残差的方差在一系列测量值范围内不是恒定的。

在加密资产的收益中也发现了类似的特征。然而，实证研究表明，加密货币市场表现出更大的波动性，其概率分布的尾部比传统金融市场更肥厚 (Tsyvinski & Liu, 2018; Alexander & Gholampour, 2018; O'Connor, 2019)。

下图展示了自比特币诞生以来的对数收益，演示了波动性聚集和均值回归的现象。例如在2018年，比特币收益图表中可以看到高波动性期后面是低波动性期。

下图展示了标准普尔500指数和以太坊对数收益的分位-分位（Q-Q）图。这种图是一种图形工具，可以帮助我们确定数据集是否可能源自某个理论分布，比如正态分布。如果我们对此假设进行统计分析，建议使用标准正态Q-Q图来验证残差是否呈正态分布。

当两组分位数相互绘制时，得到的结果是一种称为Q-Q图的散点图。如果两组分位数来自同一分布，点应形成相对直线。然而，与正态分布对比时，下图中的模式表明了一个具有重尾的分布。换句话说，该分布的偏差超出了正态分布预测的方差水平。忽略离群值有趣的是，尽管标准普尔500的分布在右尾的几个观察值中向上弯曲，但以太坊的收益展现的却是一个平滑的上升曲线。这可能表明标准普尔500收益具有左偏或不对称分布，左侧尾部较大。

上述的杠杆效应，即收益与未来波动性之间公认的负相关关系可能对此负责。它表明，波动性在大幅价格下跌后上升，而对于上涨的价格变动则不如此影响显著。这通常在股市中观察到，但在加密资产中发现这一效应并不强 (Zhao, Chen, & Zhang, 2022)。确实可以注意到，标准普尔500收益似乎比以太坊更能体现这一影响。

加密货币市场缺乏监管和基本驱动因素，导致价格波动的随机性和不可预测性更大。此外，由于存在更热情且不太成熟的交易者将价格上涨视为积极趋势，因此在加密货币市场中不对称效应的影响可能较小。了解这些加密货币市场的独特特征，对于准确分析和预测其金融时间序列至关重要。

波动模型

这些风格化事实为各类波动模型的发展提供了基础。波动模型可以分为两种主要类型：隐含或前瞻性波动模型，以及条件或历史波动模型。隐含波动模型旨在捕捉市场对波动性的认知，通常带有溢价。

通过这些模型获取估计的方法包括期权定价和其他结构化产品的反向工程。一些使用案例包括VIX，这是标准普尔500中使用最广泛的波动指数，以及VI，这是加密资产的类似指数。相比之下，条件或历史波动模型利用过去数据进行波动性估计。这些模型的例子包括二次收益、标准差、贝塔系数、Heston模型以及 ARCH/GARCH模型。通过使用过去的数据或市场感知，这些模型提供了对特定资产或市场波动性的见解，帮助投资者做出明智的决定。

Engle在1982年引入的ARCH模型，使得ARCH家族模型在经济和金融时间序列的波动建模和预测中得到了广泛应用。多年来，该家族扩展到包括大量模型，包括Bollerslev和Taylor在1986年提出的GARCH(1, 1)模型，成为最受欢迎的模型之一。为了深入了解ARCH家族中的各类模型，Hansen和Lunde（2005）进行了全面的回顾和比较。多年来，为了克服基本GARCH模型的一些缺陷，出现了许多GARCH模型的扩展，例如不能反映正负冲击对波动性影响的不对称性。

IGARCH模型允许在波动性中纳入长期依赖，而EGARCH模型则考虑到了杠杆效应。ARGARCH模型包括自回归因素，以解释波动性冲击的持续性。这些修改旨在提高金融时间序列研究和预测的准确性和可靠性。

目前的研究着重于GARCH/E-GARCH类型的条件波动模型，因为它们能够应对多种波动特征。首先，这些模型在其方程中包含滞后波动性项，有效地考虑了金融市场收益中常见的持续性特征。此外，GARCH和EGARCH模型通过考虑过去的收益和过去的波动性来解决波动聚集问题。

基本的GARCH模型忽略了残差符号对波动性的影响，因为它只考虑平方残差。然而，如前所述，负向冲击往往对金融波动性的影响大于正向冲击。为了考虑这一点，Nelson（1991）引入了EGARCH模型，该模型纳入了这一效应。通过考虑这些各种波动特性，GARCH/E-GARCH模型已经被证明是估计金融市场波动性的有用工具。

鉴于GARCH/E-GARCH模型在金融市场波动性估计中的广泛用途，如著名文献Zivot和Wang（2006）以及Gonçalves和Meddahi（2018）所示，本研究旨在探讨这些模型在加密货币市场中的适用性。

GARCH类

在George Box和Gwilym Jenkins于1970年出版的《时间序列分析：预测和控制》一书中，他们提出了ARMA（自回归滑动平均）模型及其变体作为有效的时间序列数据建模和预测方法，此后ARMA模型和其变体被广泛采用。从那时起，ARMA模型不仅成为时间序列分析中的一种广泛统计工具，也成为金融、经济、工程和环境研究等应用领域的常见技术。ARMA模型结合了两个过程：自回归（AR）过程，该过程建模观察值与其先前观察值之间的关系，以及滑动平均（MA）过程，该过程建模观察值与其过去错误之间的关系。ARMA模型通常表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别表示自回归和滑动平均成分的阶数。其正式描述如下：

其中：

是时间t的时间序列值；

是常数项或截距；

是自回归系数；

是滑动平均系数。

代表随机创新，即随机噪声，其为：

；

，其中是创新的方差。

AR(p)过程是一种自回归模型，其中当前观察值的值被建模为其p个先前值的线性组合（Cryer和Chan，2008，p. 66）。参数p代表自回归模型的阶数，指示模型中包含的先前时间滞后的数量。AR(p)过程对于识别时间序列数据中的趋势、季节模式和其他模式非常有用，并且可以用于对系列未来值的预测。它由以下方程描述：

类似地，MA(q)过程是一种时间序列模型，其中当前观察值的值被建模为q个先前错误的线性组合（Cryer和Chan，2008，p. 57-65）。MA(q)过程用于消除时间序列数据中的随机波动或噪声的影响，并且在识别数据中的短期模式方面尤为有效。通过分析MA(q)模型的残差，可以识别数据中可能对预测系列未来值有用的任何系统性模式或趋势。其描述如下：

上述模型指其创新的方差，也称为波动性，在整个时间内保持恒定；这称为同方差。然而，这一假设对于实际数据往往过于严格，因为它并没有考虑到如波动聚集等特征的建模。为了解决这个问题，Engle（1982）提出了ARCH（自回归条件异方差）模型，该模型考虑了时间序列的异方差性，并应用于AR(p)过程。后来，Bollerslev（1986）引入了GARCH（广义自回归条件异方差）模型，这是ARCH模型的一种推广。

ARCH模型是一种时间序列方程，通过添加一个额外的组件来捕获系列的条件方差，从而扩展了ARMA模型。具体而言，ARCH模型使用ARMA模型的自回归（AR）组件仅来估计系列的条件方差。ARCH模型假定在时间t系列的条件方差是AR模型在过去平方错误或者残差的函数。

自Engle的原始论文以来，ARCH模型在金融和经济领域的时变金融数据波动表示中得到了广泛应用。多种扩展已应用于该模型，包括GARCH模型。GARCH模型允许系列中的波动性随着时间变化，类似于ARCH模型，但它通过捕捉波动性的持久性来扩展ARCH模型。Bollerslev的GARCH模型通过同时使用ARMA模型的自回归（AR）和滑动平均（MA）组件建模时间序列的条件方差。

广义自回归条件异方差（GARCH）模型可以通过结合上述定义的ARMA(p,q)过程和使用条件方差来派生。

假设，其中是标准化残差。

一个波动性-GARCH(p,q)过程定义为

其中：

是时间t的条件方差；

是常数项或截距；

是自回归系数；

是滑动平均系数。

通常假设残差服从正态分布。这是一个重要假设，因为它允许使用标准统计技术，如最大似然估计，来估计模型的参数。然而，需要指出的是，正态分布的假设在实践中可能并不成立。在某些情况下，可能会更倾向于使用替代分布，例如学生的t分布或广义误差分布（GED），正如在本文的第二部分中所讨论的。这些分布更加灵活，可以适应残差分布中的重尾或偏斜。

GARCH(1,1)

最常用的GARCH模型是GARCH(1,1)模型，它指定时间t的条件方差是时间t-1的平方误差项、时间t-1的条件方差和常数项的函数。如下方程所述，GARCH(1,1)模型有三个参数，这些参数通过使用统计技术如最大似然估计从数据中估计。许多研究发现，简单的GARCH（1，1）模型对日数据中观察到的时序依赖性提供了良好的近似；请参见Baillie和Bollerslev（1989），Bollerslev（1987），Engle和Bollerslev（1986）以及Hsieh（1989）的一些早期证据。

假设，其中是标准化残差。

其中：

是时间t的条件方差；

是常数项或截距；

是自回归系数；

是滑动平均系数。

EGARCH

EGARCH（指数GARCH）模型是GARCH模型的扩展，允许正向和负向冲击对波动性产生不对称影响。尽管这两种模型都结合了ARMA成分来建模时间序列的条件方差，但EGARCH模型允许ARMA成分具有非线性效应。这种非线性使EGARCH模型能够捕捉条件方差中的更复杂模式，包括对波动性对正向和负向冲击响应的非对称性。

此外，与GARCH模型不同，EGARCH模型施加限制，即AR和MA项的系数之和必须小于1，以确保模型的平稳性。这种限制可以被视为EGARCH模型的一个缺点，因为它限制了模型的灵活性，但也确保了模型是良好行为的，并且可以容易地进行估计。此模型由以下方程描述：

假设，其中是标准化残差。

其中：

是时间t的条件方差；

是常数项或截距；

是自回归系数；

是滑动平均系数；

是杠杆效应系数；

是预期值

GARCH模型的宇宙随着时间的推移从ARMA模型演变到ARCH和GARCH模型，每一种模型都更为复杂。这些模型允许建模金融数据中的时变波动性和波动性持久性。由于金融市场的不断演进，GARCH模型也在不断发展，新扩展如EGARCH、TGARCH和IGARCH正在开发，以捕捉不同的波动特征。

你还可以查看 GARCH模型在加密货币市场中的应用。

结论

波动性是传统金融系统和加密行业风险管理、定价和投资组合构建的关键因素。然而，加密市场的独特特征强调了研究针对性的方法以建模和预测波动性的必要性。为实现这一目的，本研究关注GARCH/E-GARCH模型，这些模型能够考虑诸如持久性、聚集性和不对称性的各种波动特征。GARCH模型家族已证明是估计金融市场波动性的宝贵工具，本文探讨了其在加密货币市场中的适用性。

在本文的下一部分，我们将对加密货币市场的波动动态进行全面评估。这是通过估计能够更好地考虑波动性的各种规范、参数和滞后模型来实现的。我们将描述我们的方法论，讨论结果，提供建议，并概述未来的研究方向。

来源与参考

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