Balancer 无常损失：公式与影响

学习关于 Balancer 中无常损失公式的内容。这篇 DeFi LP 指南说明了无常损失如何影响 DeFi 中的流动性提供者。

备注：本文公式渲染有 bug，请查看原文。

引言

去中心化交易所，特别是自动做市商（AMMs），在 DeFi 生态系统中扮演着至关重要的角色。由于其重要性，必须审视与这些产品相关的风险。为了比较主要 DEX 之间的预期无常损失，我们发现尚未有关于 Balancer 的无常损失公式的明确证明。因此，这篇博客旨在通过推导 Fernando Martinelli 的页面 中概述的公式来填补这一空白，该页面提供了良好的直觉。

快速概述，Balancer 是一个去中心化交易所，允许用户在一个无信任的环境中交易基于以太坊的代币。它使用智能合约使用户能够交易 ERC-20 代币，为任何序列的代币创建流动性池。该平台使用独特的算法根据执行的交易自动调整代币价格。

无常损失 Impermanent Loss

“无常损失”（IL）一词用于流动性池的上下文中。当流动性提供者（LPs）将他们的代币贡献到一个池中以促进交易时，他们可能面临一个机会成本。IL 指的是池的价值中，若 LPs 只是将代币保留在池外，其价值会更高的那部分。换句话说，IL 是一种间接持有代币的机会成本的衡量。这种成本是由于池中代币的相对价值随着时间波动，导致 LPs 投资的总价值减少。

为了简化，假设没有存款或取款，以便我们保持一个恒定值函数 KKK。注意，根据 Balancer 白皮书，输入代币相对于输出代币的现货价格（SP）或边际替代率（MRS）被证明是：

$$ SP{in→out(t)}= \frac { x{in}(t)/ω{in} } { x{out}(t)/ω_{out}}. $$

其中 x_in(t) 代表在时间 t 的输入代币的储备，ω_in 是池中相应的权重，xout(t) 是在时间 t 被购买的输出代币的储备，ωout 表示相应的权重。

重要的是强调，任何 Balancer 池中每种代币的权重严格在零和一之间，并且所有代币的权重总和为一。

为了简单起见，让我们将任何代币的价格表示为其当前美元值的每个代币，从而使我们能够将任何第 i 种代币的价格定义为时间的函数，如下所示：

$$ t↦pi(t) [\$ /Token_i]. $$

当交易者想要购买代币 i 时，他们可以直接使用可接受的货币通过交易所购买，或可以先购买代币 j ，然后使用它通过池获得代币 i 。为此，依据我们对现货价格的定义，且如 Balancer 白皮书所述，代币 i 的价格可以表达为：

$$ pi=p_jSp_j→i $$

由于之前的价格关系，以下属性对任何两个代币 i 和 j 在任何 Balancer 流动性池内都成立：

$$ p_i(t)x_i/ω_i=p_j(t)xj/ωj. $$

📝

作为一个例子，考虑一个 LP 将 BTC、ETH 和 BAL 作为流动性添加到 Balancer 池中，权重分别是 50% 、30% 和 20%。在时间 t=t0 时，BTC、ETH 和 BAL 的初始价格分别是 pBTC(t0)=50000、pETH(t0)=3000 和 pBAL(t0)=20，单位为 $/Token。在时间 t>t0 时，假设价格发生变化，目前 BTC、ETH 和 BAL 的价格分别为 pBTC(t)=55000、pETH(t)=2500 和 pBAL(t)=25。如果我们考虑以下价格比率：

$$ ΔBTC=pBTC(t)/pBTC(t0)=1.1,ΔETH=pETH(t)/pETH(t0)≈0.833andΔBAL=pBAL(t)/pBAL(t0)=1.25. $$

通过将这些输入放入 Balancer 协议联合创始人 Fernando Martinelli 在他的 Medium 页面 提供的公式，我们可以说，如果这个 LP 选择在这个假设的 Balancer 池中提供流动性，他在时间 t>t0 面临的 IL 将是：

$$ IL=ΔBTC0.5⋅ΔETH0.3⋅ΔBAL0.20.5ΔBTC+0.3ΔETH+0.2ΔBAL−1≈−1.1%. $$

因此，特别是，这个流动性提供者将承受大约 1.1% 的无常损失或机会成本，基于其初始资本。

无常损失公式

在这个框架下，我们想要展示，如果我们考虑一个包含多个代币的流动性池，无常损失 IL 可以表示为

$$ IL=∏i∈IΔiω_i∑i∈IΔiω_i−1, $$

其中 ω_i 和 Δi 分别表示代币 i 在池中的权重和相关的未来与初始价格比率。

两代币情况的证明

读者需要知道，这个证明可以通过考虑一般情况直接完成，即由多个 ERC 代币组成的流动性池。然而，由于这个公式的复杂性，从每一步所需的理由构建出安全的直观非常有利，而这正是仅由两种代币构成的流动性池情况下提供的证明的原因。

在这种设置中，考虑最简单的情况，即有两种代币 x 和 y。LP 通过提供两种代币的资产形成池储备，分别表示为在瞬时 t 的 x(t) 和 y(t)。通过定义 ϕx,ϕy∈[0,1] 作为 LP 提供的池储备的分数，池中代币 x 和 y 的总量可以表示为 x/ϕx 和 y/ϕy。注意，实际上，LP 不需要按照池中代币的确切比例来提供代币。

让我们操作没有存款或取款的情况，因此我们可以假设 Balancer 池函数 K^ 是常数，yielding

$$ K^=(x(t)ϕx)ωx(y(t)ϕy)ωy. $$

其中 ωx 和 ωy 表示在此特定池中代币 x 和 y 的权重，即价值比例。请回忆一下，因为这是一个 Balancer 加权池，正如前面所述，我们知道 0<ωx,ωy<1 并且 ωx+ωy=1.

此外，定义 K=ϕxyωxyϕyxωyx 为与 LP 相关的池不变量，得到

$$ K=x(t)ωxy(t)ωy. $$

因为 x(t) 和 y(t) 分别表示池中的代币数量，我们自然有 x(t),y(t)>0 时对所有 t≥t0。

如之前所提到的，条件 x(t)px(t)/ωx=y(t)py(t)/ωy 始终成立，其中分别表示代币 x 和 y 在任何 t≥t0 时的价格（以每个代币美元计算）。

该属性使我们能得到

$$ px(t)=y(t)x(t)ωxωypy(t)⟺py(t)=x(t)y(t)ωyωxpx(t). $$

从上述方程中，如果我们用表达式替换 y(t)，将其从 K 中分离出来，得到的结果是：

$$ px(t)=K1ωyx(t)−(1+ωyωx)ωxωypy(t)⟺x(t)=(K1ωyωxωypy(t)px(t))11+ωxωy⟺x(t)=(K1ωyωxωypy(t)px(t))ωy, as ωx+ωy=1⟹ωxωy=1ωy−1⟺x(t)=K(ωxωypy(t)px(t))ωy. $$

类似的，我们可以推导出 y(t) 的表达式，结果为

$$ y(t)=K(ωyωxpx(t)py(t))ωx. $$

因此，对于 t≥t0，LP 投资的价值（以美元计），即 V_{invest}(t) 将给出

$$ V_{invest}(t)=x(t)px(t)+y(t)py(t)=K(ωxωypy(t)px(t))ωypx(t)+K(ωyωxpx(t)py(t))ωxpy(t)=K[ωxωyωy−ωypx(t)1−ωypy(t)ωy+ωx−ωxωy1−ωypx(t)ωxpy(t)1−ωx]=Kωx−ωxωy−ωypx(t)ωxpy(t)ωy(ωx+ωy)=Kωx−ωxωy−ωypx(t)ωxpy(t)ωy. $$

如果 LP 保持其代币不变，资产数量将保持不变，我们可以推导出在 t>t0 时的价值（将表示为 V_{hold}(t)）。请注意，我们可以通过将 LP 的初始（和恒定）储备数量替换为池的关系来代替，这样在初始瞬间，根据定义没有价格变化 - 这在以后直接比较表达式时将非常有用。由此可得：

$$ V_{hold}(t)=x(t0)px(t)+y(t0)py(t)=K(ωxωypy(t0)px(t0))ωypx(t)+K(ωyωxpx(t0)py(t0))ωxpy(t). $$

继续进行得到的表达式变为：

$$ V_{hold}(t)=K(ωx1−ωxωy−ωy)px(t)px(t0)px(t0)ωxpy(t0)ωy+K(ωy−ωxωy1−ωypy(t)py(t0))px(t0)py(t0)ωxpy(t0)ωy=Kωx−ωxωy−ωy(px(t0)ωxpy(t0)ωy(ωxΔx+ωyΔy)). $$

考虑到简化方案的以下记法：

$$ Δx(t0,t)=px(t)/px(t0), 和 Δy(t0,t)=py(t)/py(t0), $$

得到的最终结果为：

$$ V_{hold}(t)=Kωx−ωxωy−ωy(px(t0)ωxpy(t0)ωy(ωxΔx+ωyΔy)). $$

结合 V_{invest}(t) 和 V_{hold}(t) 的表达式，并考虑无常损失（IL）的定义，我们得出在到期时间 t>t0 时，LP 将承受的无常损失 IL 给出如下：

$$

\begin{align*} \mathrm{IL} &= \dfrac{V_\mathrm{invest}(t) - V_\mathrm{hold}(t)}{V_\mathrm{hold}(t)} \\ &=\dfrac{K\,\omega_\mathrm{x}^{-\omega_\mathrm{x}}\,\omega_\mathrm{y}^{-\omega_\mathrm{y}}\,p_\mathrm{x}(t)^{\omega_\mathrm{x}}\,p_\mathrm{y}(t)^{\omega_\mathrm{y}}}{K\,\omega_\mathrm{x}^{-\omega_\mathrm{x}}\,\omega_\mathrm{y}^{-\omega_\mathrm{y}}\,p_\mathrm{x}(t_0)^{\omega_\mathrm{x}}\,p_\mathrm{y}(t_0)^{\omega_\mathrm{y}}\left(\omega_\mathrm{x}\Delta_\mathrm{x} + \omega_\mathrm{y}\Delta_\mathrm{y}\right)}-1\\ &=\dfrac{p_\mathrm{x}(t)^{\omega_\mathrm{x}}\,p_\mathrm{y}(t)^{\omega_\mathrm{y}}}{p_\mathrm{x}(t_0)^{\omega_\mathrm{x}}\,p_\mathrm{y}(t_0)^{\omega_\mathrm{y}}\left(\omega_\mathrm{x}\Delta_\mathrm{x} + \omega_\mathrm{y}\Delta_\mathrm{y}\right)}-1\\ &=\dfrac{\Delta_\mathrm{x}(t_0,t)^{\omega_\mathrm{x}} \Delta_\mathrm{y}(t_0,t)^{\omega_\mathrm{y}}}{\omega_\mathrm{x} \Delta_\mathrm{x}(t_0,t) + \omega_\mathrm{y}\Delta_\mathrm{y}(t_0,t)} - 1 \, . \ end{align*}

$$

现在我们通过证明结果在最简单的情况下成立，即一个由两个 ERC 代币组成的流动性池，来建立我们的直觉，让我们证明当考虑一个由 ≥2 代币组成的池时这个结果依然成立。

多代币情况的证明

在多代币 Balancer 加权池中，当前代币 i 的储备记作 x_i(t)，对于任意 i∈I，其中 I 是池中代币的索引集。

例如，可以有： I={BTC,ETH,BAL}。

请注意，即使对于一个有多个代币的流动性池，我们仍然可以断言我们迄今为止所使用的基本前提依然成立，即对于每个 i,j∈I， $$ x_i(t)ω_ipi(t)=xj(t)ωjp_j(t)⟺xj(t)=x_i(t)ωjω_ipi(t)pj(t).\begin{equation} \frac{x_\mathrm{i}(t)}{\omega_\mathrm{i}}\, p_\mathrm{i}(t)= \frac{x_\mathrm{j}(t)}{\omega_j}\, p_\mathrm{j}(t) \iff x_\mathrm{j}(t) = x_\mathrm{i}(t) \frac{\omega_\mathrm{j}}{\omega_\mathrm{i}}\frac{p_\mathrm{i}(t)}{p\\mathrm{j}(t)}. \end{equation} $$

类似于 2 代币的情况，我们可以从与 LP 背后代币数量相关的恒等式中单独抽出 x_i(t)，得出 $$ x_i(t)=K1ω_i∏j∈I∖{i}xj(t)−ωj/ωi.\begin{equation}x_\mathrm{i}(t) = K^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I \setminus \{\mathrm{i}\}} x_\mathrm{j}(t)^{-\omega_\mathrm{j}/\omega\\mathrm{i}}. \end{equation} $$

重要的是强调这些权重加在一起等于 1，这导致

∑s∈I∖{i}ωs=1−ωifor eachi∈I.\begin{equation*} \sum_{\mathrm{s} \in I \setminus \{\mathrm{i}\}} \omega_\mathrm{s} = 1-\omega\\mathrm{i} \quad \text{for each}\quad \mathrm{i} \in I.\end{equation*}s∈I∖{i}∑​ωs​=1−ω_i​对于每个i∈I.​

通过将代币 j 的储备在方程 (2) 中替换为其对应的表达，得到

x_i(t)=K1ω_i∏j∈I∖{i}(x_i(t)ωjω_ipi(t)p_j(t))−ωj/ω_i⟺x_i(t)=K1ω_i(x_i(t)pi(t)ω_i)− ⁣ ⁣ ⁣∑s∈I∖{i}ωs/ω_i∏j∈I∖{i}p_j(t)ωj/ω_iωj−ωj/ω_i⟺x_i(t)1+ ⁣ ⁣ ⁣∑s∈I∖{i}ωs/ω_i=K1ω_i(pi(t)ω_i)1−1ω_i∏j∈I∖{i}p_j(t)ωj/ω_iωj−ωj/ω_i⟺x_i(t)1ω_i=K1ω_ipi(t)1−1ω_iω_i−1+1ω_i∏j∈I∖{i}p_j(t)ωj/ω_iωj−ωj/ω_i⟺x_i(t)=Kω_ipi(t)∏j∈Ipj(t)ωjωj−ωj,fort≥t0.\begin{align*} & x_\mathrm{i}(t) = K^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}}\displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I \setminus \{\mathrm{i}\}} \left(x_\mathrm{i}(t)\frac{\omega_\mathrm{j}}{\omega_\mathrm{i}}\frac{p_\mathrm{i}(t)}{p_\mathrm{j}(t)} \right)^{-\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}} \\ \iff& x_\mathrm{i}(t) = K^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}}\left( \frac{x_\mathrm{i}(t)\, p_\mathrm{i}(t)}{\omega_\mathrm{i}}\right)^{ -\!\!\!\sum\limits_{\mathrm{s} \in I\setminus \{ \mathrm{i}\}} \omega_s/\omega_\mathrm{i}} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I\setminus \{\mathrm{i}\}}p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}} \\ \iff& x_\mathrm{i}(t)^{1+ \!\!\!\sum\limits_{\mathrm{s} \in I\setminus \{ \mathrm{i}\}} \omega_\mathrm{s}/\omega_\mathrm{i}} = K^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} \left( \frac{p_\mathrm{i}(t)}{\omega_\mathrm{i}}\right)^{1- \frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I\setminus \{\mathrm{i}\}}p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}} \\ \iff& x_\mathrm{i}(t)^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} = K^{\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} p_\mathrm{i}(t)^{1-\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}}\omega_\mathrm{i}^{-1+\frac{1}{\omega_\mathrm{i}}} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I\setminus \{\mathrm{i}\}}p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}/\omega_\mathrm{i}} \\ \iff& x_\mathrm{i}(t) = K \, \frac{\omega_\mathrm{i}}{p_\mathrm{i}(t)} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I}p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega\\mathrm{j}},\quad \text{for} \quad t\geq t_0. \end{align*}⟺⟺⟺⟺​x_i​(t)=Kω_i​1​j∈I∖{i}∏​(x_i​(t)ω_i​ωj​​p_j​(t)pi​(t)​)−ωj​/ω_i​x_i​(t)=Kω_i​1​(ω_i​x_i​(t)pi​(t)​)−s∈I∖{i}∑​ωs​/ω_i​j∈I∖{i}∏​p_j​(t)ωj​/ω_i​ωj−ωj​/ω_i​​x_i​(t)1+s∈I∖{i}∑​ωs​/ω_i​=Kω_i​1​(ω_i​pi​(t)​)1−ω_i​1​j∈I∖{i}∏​p_j​(t)ωj​/ω_i​ωj−ωj​/ω_i​​x_i​(t)ω_i​1​=Kω_i​1​pi​(t)1−ω_i​1​ω_i−1+ω_i​1​​j∈I∖{i}∏​p_j​(t)ωj​/ω_i​ωj−ωj​/ω_i​​x_i​(t)=Kpi​(t)ω_i​​j∈I∏​p_j​(t)ωj​ωj−ωj​​,fort≥t0​.​

因此，流动性池在时间 t>t0 的美元价值比例是

V_{invest}(t)=∑i∈Ipi(t)x_i(t)=K∑i∈I(pi(t)ω_ipi(t)∏j∈Ip_j(t)ωjωj−ωj)=K(∑i∈Iω_i)∏j∈Ip_j(t)ωjωj−ωj=K∏j∈Ipj(t)ωjωj−ωj.\begin{align*} V_\mathrm{invest}(t) &= \sum_{\mathrm{i} \in I} p_\mathrm{i}(t) x_\mathrm{i}(t) \\ &=K\sum_{\mathrm{i} \in I}\left( p_\mathrm{i}(t)\frac{\omega_\mathrm{i}}{p_\mathrm{i}(t)} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I}p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}}\right) \\ &=K\left( \sum_{\mathrm{i} \in I}\omega_\mathrm{i}\right) \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I} p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}} \\ &=K\prod_{\mathrm{j} \in I} p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}} \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}} \, . \end{align*}V{invest}​(t)​=i∈I∑​pi​(t)x_i​(t)=Ki∈I∑​​pi​(t)pi​(t)ω_i​​j∈I∏​p_j​(t)ωj​ωj−ωj​​​=K(i∈I∑​ω_i​)j∈I∏​p_j​(t)ωj​ωj−ωj​​=Kj∈I∏​p_j​(t)ωj​ωj−ωj​​.​

再次说明，如果流动性提供者将其代币保留而不是将其提供给这个池，那么每个代币的数量从时间 t=t0 开始将保持不变，即 x_i(t)=x_i(t0)，对于 t≥t0。因此，美元的持有价值为

V_{hold}(t)=∑i∈Ipi(t)x_i(t0)=K∑i∈I(pi(t)ω_ipi(t0)∏j∈Ip_j(t0)ωjωj−ωj)=K∑i∈I(ω_ipi(t)pi(t0))∏j∈Iωj−ωjpj(t0)ωj.\begin{align*} V_{\mathrm{hold}}(t) &= \sum_{\mathrm{i} \in I} p_\mathrm{i}(t) \,x_\mathrm{i}(t_0) \\ &= K\sum_{\mathrm{i} \in I} \left(p_\mathrm{i}(t) \frac{\omega_\mathrm{i}}{p_\mathrm{i}(t_0)} \displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I} p_\mathrm{j}(t_0)^{\omega_\mathrm{j}}\, \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}} \right) \\ &=K\sum_{\mathrm{i} \in I} \left( \omega_\mathrm{i} \frac{p_\mathrm{i}(t)}{p_\mathrm{i}(t_0)} \right)\displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I}\omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}}p_\mathrm{j}(t_0)^{\omega_\mathrm{j}} \, . \end{align*}V{hold}​(t)​=i∈I∑​pi​(t)x_i​(t0​)=Ki∈I∑​​pi​(t)pi​(t0​)ω_i​​j∈I∏​p_j​(t0​)ωj​ωj−ωj​​​=Ki∈I∑​(ω_i​pi​(t0​)pi​(t)​)j∈I∏​ωj−ωj​​p_j(t0)ωj​.​

牢记暂时损失的定义，我们可以得出结论，流动性提供者会在时间 t≥t0 时面临暂时损失，其计算如下：

IL(t)=V{invest}(t)−V{hold}(t)V_{hold}(t)=K∏j∈Ip_j(t)ωjωj−ωjK∑i∈I(ω_ipi(t)pi(t0))∏j∈Iωj−ωjp_j(t0)ωj−1=∏j∈I(p_j(t)p_j(t0))ωj∑i∈Iω_ipi(t)pi(t0)−1=∏j∈IΔj(t0,t)ωj∑i∈IωiΔi(t0,t)−1,\begin{align*} \mathrm{IL}(t) &= \dfrac{V_\mathrm{invest}(t) - V_\mathrm{hold}(t)}{V_\mathrm{hold}(t)} \\ &=\dfrac{K\displaystyle\prod_{\mathrm{j} \in I} p_\mathrm{j}(t)^{\omega_\mathrm{j}} \omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}}}{K\displaystyle\sum_{\mathrm{i} \in I} \left( \omega_\mathrm{i} \frac{p_\mathrm{i}(t)}{p_\mathrm{i}(t_0)} \right)\displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I}\omega_\mathrm{j}^{-\omega_\mathrm{j}}p_\mathrm{j}(t_0)^{\omega_\mathrm{j}} } - 1 \\ &=\dfrac{\displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I} \left( \frac{p_\mathrm{j}(t)}{p_\mathrm{j}(t_0)}\right)^{\omega_\mathrm{j}}}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i} \in I}\omega_\mathrm{i}\frac{p_\mathrm{i}(t)}{p_\mathrm{i}(t_0)}} - 1 \\ &=\dfrac{\displaystyle \prod_{\mathrm{j} \in I}\Delta_\mathrm{j}(t_0,t)^{\omega_\mathrm{j}}}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i} \in I}\omega_\mathrm{i}\Delta_\mathrm{i}(t_0,t)} - 1 \, , \end{align*}IL(t)=V{hold}(t)V{invest}(t)−V{hold}(t)=Ki∈I∑​(ω_i​pi​(t0​)pi​(t)​)j∈I∏​ωj−ωj​​p_j​(t0​)ωj​Kj∈I∏​p_j​(t)ωj​ωj−ωj​​​−1=i∈I∑​ω_i​pi​(t0​)pi​(t)​j∈I∏​(p_j​(t0​)p_j​(t)​)ωj​​−1=i∈I∑​ω_i​Δi​(t0​,t)j∈I∏​Δj​(t0​,t)ωj​​−1,​

我们考虑 Δi(t0,t)=pi(t)/pi(t0)对于每个 i∈I。 $$