Balancer 无常损失：公式与影响

引言

去中心化交易所，特别是自动化做市商（AMMs），在 DeFi 生态系统中扮演着至关重要的角色。由于其重要性，检视与这些产品相关的风险至关重要。在比较主要 DEX 之间的预期无常损失时，我们发现尚未有 Balancer 的无常损失公式的明确证明。因此，这篇博客旨在通过推导 Fernando Martinelli 的页面 中概述的公式来填补这一空白，该页面提供了清晰的直观解释。

简单来说，Balancer 是一个去中心化交易所，允许用户在一个无信任的环境中交易以太坊基础的代币。它利用智能合约使用户能够交易 ERC-20 代币，为任意顺序的代币创建流动性池。该平台使用独特的算法根据执行的交易自动调整代币价格。

无常损失 impermanent loss

“无常损失”（IL）一词用于流动性池的上下文中。当流动性提供者（LP）将其代币贡献给一个池以促进交易时，他们可能面临机会成本。IL 指的是池的价值中，低于如果 LP 保留其代币在池外时的价值的部分。换句话说，IL 是间接拥有代币而非直接拥有的机会成本的度量。这一成本产生是因为池中代币相对价值随时间波动，导致 LP 投资的总价值减少。

为简化起见，假设没有存款或取款，以便我们有一个常量值函数。注意，根据 Balancer 白皮书，输入代币相对于输出代币的现货价格或边际替代率（MRS）被证明为：

其中 代表在时间 被出售的代币的储备， 是池中的相应权重， 是在时间 被购买的代币的储备，而 表示各自的权重。

值得强调的是，任何 Balancer 池中每个代币的权重严格介于零和一之间，并且当加起来时，所有代币的权重总和为 1。

为了简单起见，让我们将任何代币的价格表示为每个代币的当前美元价值，这使我们能够定义任何 -th 代币的价格，其储备为 ，为时间的一个函数，例如：

当交易者想要购买代币 时，他们可以直接通过一个可接受的货币通过交易所进行购买，或者他们可以先购买代币 ，然后利用它在池中获取代币 。为此，遵循我们的现货价格定义，并且如同在 Balancer 白皮书中所述，代币 的价格可以表示为： 。

由于之前的价格关系，以下属性对于任何两个代币 和 在任何 Balancer 流动性池中都成立： 。

📝

作为一个例子，假设一个 LP 在 Balancer 池中添加了 BTC、ETH 和 BAL 作为流动性，其权重分别为 ， 和 。在时间 ，BTC、ETH 和 BAL 的初始价格分别为 、 和 ，单位为 。在时间 ，假设发生了价格变化，目前 BTC、ETH 和 BAL 的价格（以美元计）分别为 、 和 。如果我们考虑以下价格比率：

通过使用这些输入到无他人的 Balancer 协议联合创始人 Fernando Martinelli 在他的 Medium 页面 中提供的公式中，我们可以说，在这个假想的 Balancer 池中，如果这位 LP 选择提供流动性，他们将在时间 面临的 IL 为

所以特别是，这位流动性提供者将遭受约 的初始资本的无常损失或机会成本。

无常损失公式

在这个框架中，我们想要表明如果考虑一个包含多个代币的流动性池。不考虑代币索引集 ，无常损失 可以表示为

其中 和 分别代表代币 的池权重和相关的未来与初始价格比率。

二代币情况的证明

读者需要知道这个证明可以直接考虑一般情况，即由多个 ERC 代币组成的流动性池。然而，由于这种表述的复杂性，深入理解每一步出现在一般情况下证明背后的理由是非常有利的，这正是提供仅由两个代币组成的流动性池的情况下证明的原因。

在这个设置中，考虑最简单的情况，其中有两个代币 和 。LP 通过为池储备提供这两种代币的资产投入池中，这些储备分别在时刻 用 和 表示。通过定义 为 LP 提供的池储备的比例，池中 和 的总量将分别表示为 和 。请注意，在实践中，LP 不需要按照池内的确切比例提供代币。

让我们假设没有存款或取款的情况下进行操作，因此我们可以假设 Balancer 池函数 是常量，得出

其中 和 分别代表代币 和 在这个特定池中的权重（即价值比例）。还要记住，因为这是一个如上所述的 Balancer 加权池，我们知道 和 。

此外，通过定义 为与 LP 相关的池不变的量，有

因为 代表池中的代币数量，我们自然有 对于所有 。

正如我们之前提到的，条件 是成立的，其中分别表示代币 和 的价格（以美元计），在任何时刻。

这个属性使我们能够得到

从上面的方程中，如果我们替换，例如表达式中 isolating 和，得到的表达式为：

同样，我们可以推导出 的表达式，结果是

因此，LP 在时刻 投资的价值（以美元计），即 对于 ，将由下式给出

如果 LP 只是持有他们的代币，资产数量将保持不变，我们可以推导出他们在时刻 的价值 - 这将用 表示。注意，我们可以用池的关系替换 LP 储备的初始（且恒定的）数量，因为在初始时刻，按定义没有价格变化-这在后面直接比较表达式时将派上用场。得出：

为了简化，我们考虑以下符号：

那么之前的结果变为：

结合 和 的表达式，并考虑无常损失 的定义，我们可以得出 LP 在到期时间 将面临的无常损失 表示为：

现在我们通过证明最简单情况下的结果，构建了我们的直觉，当我们有一个由两个 ERC 代币组成的流动性池时，让我们证明这个结果在考虑由 个代币组成的池时也是成立的。

多代币情况的证明

在多个代币的 Balancer 加权池中，代币 的当前储备表示为 ，对于任何 ，其中 是池中代币的索引集合。

例如，可以有: 。

注意，即使对于一个具有多个代币的流动性池，我们仍然可以断言我们迄今为止使用的基本前提仍然成立，即对于每个，

与两代币的情况类似，我们可以从与 LP 的代币数量关联的不变项中隔离出 ，得到的结果是：

重要的是要强调权重加起来为 1，这导致

通过在方程中用其相关的表达式替换代币 的储备，我们得出

因此，在时间 中属于 LP 的池价值的比例（以美元计）为

同样，如果 LP 只是持有他们的代币，而不是将其流动性提供给池，这些代币的数量将从时间 起保持不变，明确地表示为 ，对于 。因此，持有的美元价值给出

记住无常损失的定义，我们可以得出 LP 在时间 将面临的无常损失，这将表示为

其中我们针对每个 考虑 。

• 原文链接： threesigma.xyz/blog/bala...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～