写在前面
上一节我们介绍了离散域上的椭圆曲线运算和安全性原理，有了这些基础，本节将介绍如何使用离散域上椭圆曲线进行加密和解密过程。若果觉得阅读理解本文有困难，可以先参考之前的一些铺垫的历史文章。以后所说的椭圆曲线默认都是指离散域上模素数的椭圆曲线。
加密原理和流程
利用上一节的知识，在模𝑝（p是非常大的素数）有限域上，使用椭圆曲线来进行加密和解密也是与RSA一定程度的类似（后续会有专门文章讲解RSA），每一个用户都有属于自己的公钥和私钥。私钥就是用户选定的数字𝑛（实际算法中是随机数生成器随机生成的不可预测的一个值），私钥自己秘密保存；公钥就是由𝑃=𝑛𝐺（G是选定的生成元），计算出来的点，公钥对外公开。
总结一下：私钥是一个不公开的数字，公钥是椭圆曲线上的一个点。
假定A与B进行加密通信，其加密的流程如下：
（1）A首先将明文消息转换（编码）为$E_p(𝑎,𝑏)$中的$P_m(𝑥,𝑦)$，然后随机选定一个正整数𝑘(同样由随机数生成器产生)，并且利用B的公钥$P_B$, 按如下计算出密文：
$C_m={𝑘𝐺,P_m+𝑘P_B}$
因此，密文实际上是有两个点组成。
（2）B收到密文$C_m$，利用自己的私钥$n_B$进行如下计算，可以解密得到明文：
$P_m+𝑘P_B−n_B(𝑘𝐺)=P_m+𝑘(n_B𝐺)−n_B(𝑘𝐺)=P_m+𝑘(n_B𝐺)−kn_B(𝐺)=P_m$
上式中，用到了点乘法交换律:
$𝑘(n_B𝐺)=n_B(k𝐺)$
解密过程简单说也就是，（1）中产生的密文中，第二个点$P_m+𝑘P_B$减去第一个点𝑘𝐺与自己的私钥𝑛之积。
同理，B加密信息发送给A，A解密过程也是如此。大家不妨自己构思下。
实例演练
椭圆曲线方程中的参数（不了解椭圆曲线方程参考上一篇）选定为：𝑎=0, 𝑏=−4,𝑝=199,𝐺=(2,2)，该椭圆曲线方程为：
$y^2=x^3−4$
假设B选定的私钥为$n_B=113$，其公钥:
$P_B=113𝐺=(192,161)$
A希望将消息$P_m=(88,57)$(注：一般完整的使用场景是一段文字先转化为椭圆曲线上的点，转化的方法可以有多种，后续如有需要可以单独介绍，这里直接使用转化的点举例，便于说明) 加密后发送给B，于是A随机选定正整数𝑘=103，并通过B的公钥加密得到密文：
$C_m={103(2,2),(88,57)+103(192,161)}={(96,66),(124,70)}$
B收到密文消息后，利用自己的私钥$n_B=119$进行解密：
$P_m+𝑘P_B−n_B(𝑘𝐺)=(124,70)−113(96,66)=(124,70)−(190,62)=(88,57)=P_m$.
注意：这里的‘+’ 是模p的点加运算，之前介绍过。
到这里，B顺利解密得到明文消息，A与B之间成功完成加密通信。需要说明的是，这里是椭圆曲线参数选取比较小，便于计算和理解，实际选择是非常大的整数，提高安全性。
大家可以看下实际椭圆曲线算法（英文简称：ECC）参数，p,g,n非常巨大。
ECC推荐参数：256k1
p=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F a=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 b=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007 G=79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8 n=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141————————————————
下一节讲椭圆曲线的签名及其验证过程。
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