多项式 - 拉格朗日插值

查克·诺里斯不需要拉格朗日插值。他瞪着那些分散的点，它们就会完美地按照他的意愿排列，形成一条纯粹、清澈的直线。

多项式拉格朗日插值

在前一节中，我们看到 n 个点可以完全定义一个次数至多为 n-1 的多项式。在本节中，我们将看到如何从这 n 个点的坐标中找到这样一个多项式的系数。

一种方法是使用拉格朗日插值法。虽然这个维基百科页面看起来令人深刻，但要遵循的步骤实际上非常简单。

我们想要找到一个次数至多为 2 的多项式 P，它满足以下 3 个约束：

• P(-1) = 4
• P(2) = 1
• P(3) = 4

为此，我们将构建 3 个子多项式（每个约束一个）P₁、P₂ 和 P₃，它们的次数至多为 2。

这 3 个子多项式必须遵循以下子约束：

每个子多项式在所有约束点上都计算为 0，只有一个点除外。

最后，我们设置：

\[\ P(x) = P_1(x) + P_2(x) + P_3(x)\ \]

让我们快速检查一下，参考前面的选项卡，P 是否满足其所有约束：

\[\ P(-1) = P_1(-1) + P_2(-1) + P_3(-1) = 4 + 0 + 0 = 4\ \]

\[\ P(2) = P_1(2) + P_2(2) + P_3(2) = 0 + 1 + 0 = 1\ \]

\[\ P(3) = P_1(3) + P_2(3) + P_3(3) = 0 + 0 + 4 = 4\ \]

我们刚刚验证了 P 满足其 3 个约束。现在，让我们构建 P₁、P₂ 和 P₃。

构建 P₁。

使用因式分解形式，我们可以将 P₁ 定义为：

\[\ P_1(x) = A(x-2)(x-3)\ \]

P₁ 已经满足约束

\[\ P_1(2) = P_1(3) = 0\ \]

现在让我们找到 A 使得

\[\ P_1(-1) = 4\ \]

我们有以下等式：

\[\ P_1(-1) = A(-1 - 2)(-1 - 3) = 4\ \]

这给了我们

\[\ A = \frac{1}{3}\ \]

最后

\[\ P_1(x) = \frac{1}{3}(x-2)(x-3)\ \]

P₁ 现在满足其 3 个子约束。

构建 P₂。

使用 因式分解形式，我们可以将 P2 定义为：

\[\ P_2(x) = B(x+1)(x-3)\ \]

P2 已经满足约束

\[\ P_2(-1) = P_2(3) = 0\ \]

现在让我们找到 B 使得

\[\ P_2(2) = 1\ \]

我们有以下等式：

\[\ P_2(2) = B(2 + 1)(2 - 3) = 1\ \]

这给了我们

\[\ B = -\frac{1}{3}\ \]

最后

\[\ P_2(x) = -\frac{1}{3}(x+1)(x-3)\ \]

P₂ 现在满足其 3 个子约束。

构建 P3。

使用 因式分解形式，我们可以将 P2 定义为：

\[\ P_3(x) = C(x+1)(x-2)\ \]

P₃ 已经满足约束

\[\ P_3(-1) = P_3(2) = 0\ \]

现在让我们找到 C 使得

\[\ P_3(3) = 4\ \]

我们有以下等式：

\[\ P_3(3) = C(3 + 1)(3 - 2) = 4\ \]

这给了我们

\[\ C = 1\ \]

最后

\[\ P_3(x) = (x+1)(x-2)\ \]

P₃ 现在满足其 3 个子约束。

构建 P

如前所述，

\[\ P(x) = P_1(x) + P_2(x) + P_3(x)\ \]

将 P₁、P₂ 和 P₃ 替换为它们各自的表达式，我们得到：

\[\ P(x) = \frac{1}{3}(x-2)(x-3) - \frac{1}{3}(x+1)(x-3) + (x+1)(x-2)\ \]

展开和简化后，我们得到：

\[\ P(x) = x^2 - 2x + 1\ \]

检查 P

让我们快速检查一下 P 是否满足 3 个约束：

\[\ P(-1) = (-1)^2 - 2*(-1) + 1 = 4\ \]

\[\ P(2) = 2^2 - 2*2 + 1 = 1\ \]

\[\ P(3) = 3^2 - 2*3 + 1 = 4\ \]

我们现在知道如何从 n 个约束构建一个次数至多为 n-1 的多项式。

• 原文链接： hackmd.io/@manunalepa/ry...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～