区块链中的数学 - 参与者 < 门限值t的密钥更新Amir Herzberg方案

写在前面

上一节讲了动态密钥分享方案，攻击者必须在一个时间段内，获得门限值t (threshold)个密钥分片，由于时间限制，提高攻击难度，使得旧密钥可以安全删除。只要参与动态更新的节点数 >= 门限值t (threshold).

本文说下如果参与密钥分片更新的参与者少于门限值 t 时，该如何处理？

理解本文的基础是前一篇，空中楼台终难稳固，如果不了解，建议先搞懂背景知识！

Amir Herzberg改进方案

本文的符号含义，未提及的与上文一致！

假设参与密钥分片更新的节点数为k, k < t, 参与者记为$P_i,i \in [1,2,...,k]$ 新的密钥分片更新如下：

1. 每个参与者$P_i$都随机选择一个$x_i \in Z_q^*$, 公开$g^{x_i}$给其他参与者,
2. $P_i$检查$x_i$值与其他参与者值均不同，继续执行，否则重新选择。 令 $Bi(m)=\prod {j-1}^k,j\neq i \frac{m-j}{i-j}$, 其中m 取值k+1,k+2,...,n 再随机选择$\lambda{i1},\lambda{i2},...,\lambda{ik},\lambda{ij}\in Z_q^* $，且两两不等. 使得：$x_iBi(m)=\lambda{i1}^{(m)}+\lambda{i2}^{(m)}+...+\lambda{ik}^{(m)}$ 将$\lambda_{ij}^{(m)}$发送给其他参与者$P_i,j\in [1,k]$

3. $Pj$收到其他参与者发来的$\lambda{ij}^{(m)}$，执行计算$$ \lambdaj^{(m)}=\sum{i=1}^k \lambda_{ij}^{(m)} $$

   发送给其余节点$P_m,m \in [k+1,n]$

   $P_i$密钥分片更新为：$s_i’=s_i+x_i*i^{t-k}$

   到此，k个参与密钥分片即子密钥更新操作完成，接下来是剩余n - k节点自行计算更新子密钥。

4. $P_m, m\in[k+1,n]$计算: $xm= \sum{j=1}^k \lambda_j^{(m)}$ $s_m'=s_m+x_m*m^{t-k}$

原理分析

步骤1是每个节点生成一个秘密随机数，使用幂的方式公开（当然，具体实现可以是多种形式）。 步骤2利用公开的幂来比较自己生成的随机数是否与别人重复，要确保唯一， 然后利用拉格朗日插值法构造多项式元素。 步骤3 每个参与交互更新的节点准备多项式元素，供步骤4使用

步骤4的节点是没有参与前三步骤的节点，也就是说不在k之内。节点单独计算，没有任何交互。

总结来说，该方案的原理是利用插值法构造一个k-1次多项式,有k个点$(i,x_i), i=1,2,...,k$ , 多项式$h(x) = b_0+b1x+...+b{k-1}x^{k-1},x_i=h(i)$, 可得$x_m=h(m),m\in [k+1,n]$

证明简单如下式：

存储的子密钥更新是通过多项式$p(x) = h(x)x^c,c = t - k$, 将原来多项式变更为 $f'(x)=f(x)+p(x)$ 参与者$P_i$存储的密钥分片更新为： $s'_i=f(i)+p(i)=s_i+x_ii^c=s_i+h(i)i^c$

对比上一篇，可以发现当c = 0 即k = t 退化成经典的Amir Herzberg密钥更新方案。

如果对以上多项式构造过程不明白，说明拉格朗日插值知识有所欠缺，建议看下该方法涉及文章

小结

本文介绍参与者少于门限值t时的方案，实质上是通过提高c的值来改变门限值。 需要说明的是后m个节点虽然也参与计算了，但不是和前k节点一样（生成秘密随机数，计算准备多项式），属于被动参与，不会影响最终结果。

密钥分享是密码学中一个细分方向，除了最近几篇介绍的方法方案外，还有其他的，如基于中国剩余定理的方案，动态添加或者删除参与者的方案，一次分享多个密钥（秘密）的方案等。

本系列文章聚焦区块链领域，所以暂时不再进行更深入介绍。

下一篇将继续介绍区块链中应用的BLS签名以及阈值签名实现相关！

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