能听出CFMM的形状吗？（第一部分）——占位符

由 Guillermo Angeris , Alex Evans , Tarun Chitra 撰写

显然，听出鼓的形状很难（Marc Kac, 1966），但CFMM的形状呢？

2019年Uniswap的崛起是DeFi交易的一个分水岭。Uniswap的简洁性、Gas效率以及颠覆专家预期的表现，使其迅速成为链上交易所的主导场所。今年年初Curve的推出表明，即使对恒定函数做市商（CFMM）的设计进行微小改动，也能显著提升资本效率和性能。特别是，Curve开创了一条局部更平坦的曲线，为稳定币对稳定币交易提供了更低的滑点。这一调整使Curve能够捕获大量交易量，同时经常超越已有的交易所和场外交易柜台。由于Curve的成功，曲率越来越被认为是CFMM设计空间中的一个关键组成部分。尽管如此，曲率选择对市场行为的具体影响尚未得到深入研究。

在本系列文章中，我们将具体化CFMM曲率的概念。我们将讨论曲率选择对均衡价格、稳定性、流动性提供者收益以及市场微观结构的影响。这些文章将借鉴我们为即将发表的论文《何时尾巴摇狗？曲率与做市》所做的研究。该论文将与本系列的第三篇文章同时发布。在第一篇文章中，我们将提供曲率的工作定义，并讨论其对流动性和价格稳定性的影响。

2020年夏天改变了CFMM的格局。在很大程度上得益于流动性挖矿，CFMM日益成为多种交易对流动性最强的市场。这需要一个新的分析框架来研究这些市场。我们表明，曲率提供了研究CFMM主导市场所缺失的环节。当一个CFMM成为流动性最强的交易场所时，其他场所大多会调整到CFMM的价格。我们框架的第一步是理解具有有限流动性的场所如何相互交互。

两个市场模型

假设有两个场所交易一对给定的资产。其中一个场所比另一个更具流动性。我们如何建模流动性的差异？一个简单的练习是观察固定规模交易的影响。如果相同规模的交易在一个市场上引起比另一个市场更大的价格变化，我们可以粗略地说前者流动性更差。在CFMM的情况下，这个简单模型出人意料地具有描述性。CFMM为每个交易对实现特定的曲线，使我们能够精确描述给定交易的影响。这就是曲率的作用所在。非正式地说，曲率描述了一笔小额交易后CFMM报告价格的绝对变化。在其他条件相同的情况下，储备金更高的CFMM将表现出更低的曲率。然而，在给定的储备金价值下，某些CFMM的曲率会比其他CFMM更低。通过比较Uniswap和Curve可以看出这种差异。从储备金相等的点开始，我们可以从下图中看到，在点$x=y=5$附近，Uniswap的曲率高于Curve。

正如我们所见，曲率为给定市场的流动性提供了一个优雅的模型。市场的曲率越低，给定交易的价格影响就越小。

大多数CFMM模型假设一个具有有限流动性的CFMM和一个具有无限流动性的“参考”市场。这些模型表明，在相当一般的条件下，CFMM的价格将由套利者调整以反映参考市场的价格（这在最初的CFMM论文中被形式化）。这些模型在实践中表现良好。由于Uniswap及其类似产品的套利问题通常是凸的，套利者可以轻松地确定如何调整储备金以反映当前市场价格。这一理论支撑了CFMM在各种链上应用程序中作为价格预言机的使用（例如，Uniswap v2预言机）。然而，在2020年夏天CFMM繁荣之后，我们需要一个能更好地捕捉CFMM驱动市场现实的模型。

为此，让我们换个角度。假设我们有一个高流动性（低曲率）的CFMM和一个流动性较差（高曲率）的参考市场。参考市场可以基于CFMM、限价订单簿、报价请求系统、拍卖或任何组合。只要市场具有非零曲率（有限流动性），市场的选择就不会影响模型。如果两个市场的价格不同，套利者可以通过在每个市场上进行对冲交易来获利，直到两个市场报告的价格一致。如果两个市场流动性相同，我们预计最终的无套利价格将介于两个市场交易前的价格之间。然而，如果CFMM流动性更强，最终价格将更接近CFMM套利前的报告价格。换句话说，如果CFMM的流动性显著高于参考市场，那么参考市场价格的变化对无套利价格的影响会更小。

来看一个例子。我们有一个60-40的Balancer池和一个Uniswap池。在相同的储备金价值下，Uniswap池的曲率略低。为了强调差异，我们假设Uniswap池略大。在下图中，Balancer和Uniswap报告的价格从不同的点开始（它们切线斜率不同）。套利者在一个市场买入，在另一个市场卖出，直到两条切线斜率相等。请注意，Balancer的价格变动比Uniswap更大，但差异并不显著。这是因为尽管Uniswap市场的储备金更高且权重更均匀，但两个市场的曲率实际上相当接近。

Uniswap和Balancer之间的套利

再考虑一个储备金大致相等的Uniswap池和Curve池。在这种情况下，Curve的价格几乎不动，而大部分调整来自Uniswap。

Uniswap和Curve之间的套利

当交易的代币价格大致相等时，Curve的曲率远低于Uniswap。这意味着，即使流动性较低场所的价格波动很大，最终价格也不会偏离Curve报告的价格太多。请注意，这种套利在实践中非常普遍。以太坊上的套利机器人持续地在Balancer、Uniswap和Curve池以及基于订单簿的交易所之间调整价格。在我们即将发表的论文中，我们从数学上建立了这种效应。如果CFMM相对于参考市场具有高流动性，那么即使参考市场价格大幅偏离，对无套利价格的影响也微乎其微。我们证明，只要价格跳跃受某个（可能很大的）常数限制，这一点就成立。这个假设排除了极端情况，例如稳定币锚定完全崩溃。最后，在脚注0和1中，我们概述了在正式描述曲率时需要考虑的一些更具技术性和数学性的考量。

sUSD的奇特案例

我们已经看到，低曲率CFMM可以“将自己的意志强加于”更广泛的市场。这也解释了另一个现象：价格稳定性。从2020年3月开始，Synthetix宣布将激励sUSD在Curve上的流动性，旨在更好地支持sUSD锚定。该sUSD池在Curve上的创建几乎立即对锚定产生了影响：sUSD开始更紧密地跟踪其他稳定币的价格。下面，我们展示了从2019年底到2020年9月sUSD在Uniswap上的隐含价格。该sUSD池于2020年3月中旬正式推出（并在不久后因安全事件重启）。从2020年3月底到6月初，sUSD在Uniswap上非常忠实地维持了其锚定。我们预计Curve和Uniswap之间的套利促成了这一效果：只要sUSD围绕锚定的价格波动有界，套利者就有动力将Uniswap上的价格与Curve对齐。请注意，除了Curve之外，sUSD在所有其他场所都缺乏流动性，导致Curve与其他所有市场之间存在非常大的曲率差异。最近，像Pickle Finance这样的项目直接将奖励与CFMM在给定稳定币上接近平价的程度Hook。

与此同时，这些数据显示了我们简单的两个市场模型的局限性。在6月的第二周，sUSD开始更频繁地脱锚。新状态几乎与2020年6月流动性挖矿的出现完全吻合。2020年6月初至中旬，Compound和Balancer推出了首批流动性挖矿计划。SNX（sUSD的主要抵押品）的价格开始上涨，6月份翻了三倍多，并在整个夏天继续上涨。其他DeFi项目也推出了流动性挖矿，而稳定币是大多数流动性挖矿策略的核心。结果，由于流动性挖矿的需求，几乎所有稳定币的波动性都增加了。显然，我们的两个市场模型未能捕捉到这些因素。因此，我们需要扩展模型以包括流动性挖矿及其与曲率的相互作用。我们将在本系列后面讨论这一扩展。

曲率的成本

低曲率存在权衡。如果CFMM的曲率为零，那么无论交易多少，CFMM报告的价格都不会改变。因此，恒定和曲线（如mStable）对CFMM可以持有的每种稳定币数量设置了上限，以防止LP只持有表现最差的资产。

当资产高度相关且均值回归时，较低曲率的CFMM表现更好。在这种环境下，CFMM能够通过较低的曲率吸引更多的交易量和费用，而均值回归则调节无常损失的影响。稳定币对稳定币的CFMM现在在很大程度上遵循了这一原则，债券等到期资产的CFMM也是如此。我们将在下一篇文章中，在信息不对称、均值回归和无常损失的背景下讨论曲率对LP的权衡。

脚注

[0] Curve和Uniswap的主要区别之一在于，Curve的定价函数在价格-数量空间的某个区域内“更平坦”，而在其他区域则“更弯曲”。为什么人们会偏好定价曲线的这种形态变化，其经济学直觉如下：

1. 我们有两种资产，其（相对于另一个的）价格是均值回归且低方差的（例如，它们的价格通常彼此相等）。

2. 使这些资产保持接近（例如，“软”锚定）的交易应该便宜，因为这鼓励套利者执行锚定。这是通过使曲线平坦化来实现的，从而降低交易者面临的滑点和市场影响。

3. 然而，当资产“脱锚”（例如，偏离共同均值超过一定标准差数量）时，交易者应支付更高的滑点。这实际上是为了补偿流动性提供者因偏离锚定而遭受的损失（当锚定被打破时，他们通过无常损失亏损），并确保他们不会撤回流动性，导致市场冻结。

与Uniswap在所有价格上具有更“均匀”的曲率水平不同，Curve适应了预期在其上交易的价格过程（例如，均值回归、有界方差）。这个例子表明，CFMM定价函数的选择与其上交易的资产类型以及保持流动性提供者满意所需的激励密切相关。

[1] 有没有办法超越模糊的“更平坦”或“更弯曲”概念，将其形式化？答案是肯定的，这要归功于卡尔·弗里德里希·高斯。在过去的几个世纪里，数学家们花费了大量时间通过分析和代数来量化和分类几何直觉。分析与代数之间的主要联系之一来自内蕴曲率的概念。曲面内蕴曲率表示曲面上小三角形的面积与平面上相同周长的三角形面积之比。内蕴曲率的一个关键特征是它不依赖于曲面的定向或参数化。例如，沙滩球的内蕴曲率不会因为你在任何方向上旋转任意角度而改变。我们可以更一般地将“内蕴”性质定义为：

对于任何旋转矩阵$A$和平移向量$b$，由$f(Ax+b) = k$定义的曲面与由$f(x) = k$定义的曲面具有相同的曲率。

微分几何的一个关键早期结果是高斯的绝妙定理，该定理指出，隐式定义曲面（例如$f(x) = k$）的曲率是内蕴的。

这与CFMM曲率的直观概念有何关系？回想一下，定义CFMM的等价方式是通过其交易集，这类似于其不变函数的上图。该集合的边界是一个由常数函数不变量定义的曲面。当我们谈论Curve比Uniswap更平坦（更低曲率）时，我们指的就是这个曲面的曲率。

但是，要求与流动性相关的曲率类型是内蕴的，是否有任何经济内容？假设我们用新变量$Z = (X+Y)/2$和$W = (X-Y)/2$来表示曲线的函数不变量。$Z$代表一个仅多头、规模减半的资产$X$和$Y$投资组合，$W$代表一个规模减半的多头$X$、空头$Y$投资组合。高斯的绝妙定理指出，我们直觉上所说的“曲率更平坦的CFMM需要更多交易量才能移动价格”这一陈述，不依赖于资产表示的选择。无论交易是从$X$到$Y$还是从$Z$到$W$，LP的收益和交易者的市场影响都不会改变。我们可以将曲率的“内蕴”性质等同于金融上的说法：两个具有相同收益的投资组合对风险中性投资者来说是等价的。

但是，这种曲率与CFMM作为主要市场与其他二级市场之间的相互作用有何关系？为了分析这一点，我们构建了两个具有不同曲率的市场之间的博弈，并比较二级市场中一笔交易的影响。

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