本文翻译自：https://atiselsts.github.io/pdfs/uniswap-v3-liquidity-math.pdf

1.前言

Uniswap v3 作为 Uniswap 协议的最新版本，引入了集中流动性等许多新功能。它允许流动性提供者将其流动性集中在特定的价格范围内，从而提高资本效率。然而，头寸的流动性、资产数量及其价格范围之间的数学关系变得较为复杂。Uniswap v3 白皮书定义了流动性数学的核心概念，然而其提供的信息十分简洁，与 Uniswap 用户和开发人员提出的问题之间存在差距，例如：

• 给定头寸的总流动性和价格范围，该头寸在特定价格 $P$ 下拥有多少资产 $X$ 和资产 $Y$ ？

• 给定价格范围、当前价格 $P$ 和资产 $X$ 的数量 $x$ ，应向其供应多少资产 $Y$ 以涵盖这个价格范围？

• 给定要存入流动性池的 $x$ 数量的资产 $X$ 和 $y$ 数量的资产 $Y$ ，以及当前价格 $P$ 和预期价格范围的下限，预期价格范围的上限是多少？

本文旨在弥合这一差距，为 Uniswap v3 流动性数学提供进一步阐释。

2.计算

2.1 计算流动性和资产数量

白皮书中的方程 6.5 和 6.6 似乎给出了计算 $L$ ， $x$ 和 $y$ 的简单方法：

但是，这里的 $x$ 和 $y$ 是代币的虚拟数量，而不是真实数量。计算实际数量 $x$ 和 $y$ 的数学公式在白皮书的最后给出，具体见方程 6.29 和 6.30。

这些方程可以从白皮书中的关键方程 2.2 推导出来：

尝试直接解方程 2.2 以得到 $L$ 的结果会得到一个非常复杂的答案。相反，我们可以注意到在价格范围之外，流动性完全由单一资产提供，要么是 $X$ ，要么是 $Y$ ，具体取决于当前价格在价格范围的哪一侧。我们有以下三个选择：

1. 假设 $P ≤ p_a$ ，流动性的 position 完全由代币构成，因此 $y = 0$ ：

该头寸的流动性为：

2. 假设 $P ≥ p_b$ ，流动性的 position 同样完全由代币构成，因此 $x = 0$ ：

该头寸的流动性为：

当前价格位于范围内： $p_a < P < p_b$ 。理解这一点的方式是考虑在最优位置，两种资产将平等地贡献流动性。换句话说，在范围的一侧 $(P,p_b)$ 由资产 $x$ 提供的流动性 $Lx$ 必须等于在范围的另一侧 $(p_a,P)$ 由资产 $y$ 提供的流动性 $Ly$ 。

根据方程 (5) 和 (9)，可以得到如何计算单资产范围的流动性。当 $P$ 位于范围 $(p_a,p_b)$ 时，我们可以将 $(P,p_b)$ 视为 $X$ 提供流动性的子范围，将 $(p_a,P)$ 视为 $Y$ 提供流动性的子范围。将此代入方程 (5) 和 (9)，并令 $Lx (P,p_b) = Ly (p_a,P)$ ，可以得到：

方程式 (10) 非常重要，因为它可以解出 $x$ 、 $y$ 、 $P$ 、 $p_a$ 、 $p_b$ 中的任意一项，而无需参考流动性。然而，对于 $x$ 和 $y$ 来说，这并非必要；简单修改方程 (4) 和 (8) 就足够了：

总结：

• 如果 $P ≤ p_a$ ，则 $y = 0$ ，而 $x$ 可以通过方程 (4) 计算。

• 如果 $P ≥ p_b$ ，则 $x = 0$ ，而 $y$ 可以通过方程 (8) 计算。

• 否则，当 $p_a < P < p_b$ 时， $x$ 和 $y$ 可以分别通过方程 (11) 和 (12) 计算。

从概念上讲，这个结果只是以稍微不同的形式重新陈述了白皮书中的方程 6.29 和 6.30。然而，白皮书中对 $∆$ 的使用可能会对新用户造成困惑 —— $∆$ 的差异是什么？如果这是一个全新的头寸呢？为保持简单，方程 (4) - (12) 避免了以上提及的任何差异。当然，深入研究时可以明确，白皮书中的方程 6.29 和 6.30 甚至适用于新头寸：在这种情况下，我们只需要将 $∆L = L$ 。

2.2 根据资产数量计算价格范围

2.2.1 价格范围边界

在给定资产数量和当前价格 $P$ 的情况下，不可能同时推断出两个边界 $p_a$ 和 $p_b$ 。因为只有一个方程（方程(10)），因此当存在两个未知变量时，结果是不确定的。对于任何给定的资产比例，都存在无穷多个相应的价格范围。

然而，以下问题可以解决：

• $P, x, y$ 和 $p_a$ 已知； $p_b$ 的值是多少？

• $P, x, y$ 和 $p_b$ 已知； $p_a$ 的值是多少？

• $P, x$ 和 $y$ 已知；如果价格从当前价格增加 z%，则价格将达到 $p_b$ 。 $p_a$ 对应的价格下跌百分比是多少？换句话说，给定 $p_b/P$ 的比率， $p_a/P$ 是多少？

计算这些答案的一种方法是首先计算价格一侧的流动性。这里开始，我们假设价格在一个非空的范围内，并且不等于范围的端点；形式上， $p_a < P < p_b$ 。一旦 $L$ 已知，就可以分别使用方程 (12) 和 (11) 计算 $p_a$ 和 $p_b$ 。使用平方根能极大简化解，使用起来更方便计算。

或者，可以跳过流动性计算，直接解方程 (10) 得到 $p_a$ 和 $p_b$ 的平方根：

2.2.2 价格区间比例

用户还可以根据当前价格的增加或减少来考虑价格范围。我们引入新的符号 $c$ 和 $d$ 来 表示，令 $c^{2}\cdot P$ 等于范围的上限， $d^{2}\cdot P$ 等于下界：

显然可以得到以下内容：

现在可以使用方程 (10) 来表示它们之间的相互关系。

现在，例如已知 $p_a$ 对应于当前价格的 70%（ $c^2$ 等于 70% = 0.7），可以通过使用方程 (24) 计算 $d^2$ 来计算对应于 $p_b$ 的当前价格的百分比。

3 应用

3.1 实施细节

在将这些数学应用于源代码时，请注意以下几个方面：

• Ticks: Uniswap 中的价格范围具有称为 tick 的离散边界。第 i 个 tick 的价格定义为 $p(i) = 1.0001^i$ 。只有与初始化的 tick 对应的特定价格点可以作为价格范围的边界。

• 刻度间隔: 并非所有刻度都可以初始化。可以索引的确切刻度索引取决于池的费用水平。1% 的池具有最宽的刻度间隔，为 200 个刻度，0.3% 的池为 60 个刻度，0.05% 的池最小，为 10 个刻度。

• Fixed point math:  Uniswap v3 使用 fixed point math。这是因为 Solidity 不支持浮点数，而且定点数学有助于最小化舍入误差。这种数学带来了新的挑战，例如需要将带有定点基数的数字相乘或相除以保持其正确的范围。

• Decimal:  ERC20 代币定义了一个称为decimal的字段。在以太坊生态系统内部，加密货币的数量以整数表示。为了将 ERC20 代币的数量从这种内部表示转换为人类可读的值，需要除以 $10^{decimal}$ 。不同的 ERC20 合同为其代币定义了不同数量的小数点；例如，DAI 的 decimal 为 18，而 USDC 有 6 个。1 USDC 的人类可读价格约为 1 DAI；但从流动性计算的角度来看，1 USDC 相对于 DAI 的价格约为 $10^{(18-6)} = 10^{12}$ 。

3.2 没有实施细节的示例

在这个示例子节中，为了增加解释的清晰度，我们忽略了上面提到的实施细节。请注意，与从 Uniswap 代码和 UI 获得的结果相比，这可能导致小的数值误差。

3.2.1 示例 1：从给定价格范围计算资产金额

问题：一个用户拥有 x = 2 ETH，并希望在 ETH/USDC 池中建立一个流动性仓位。ETH 的当前价格为 $P$ = 2000 USDC，目标价格范围为 $p_a$ = 1500 到 $p_b$ = 2500 USDC。他们需要多少 USDC（ $y$ ）？

解决方案：首先，使用方程 (5) 计算范围顶半部分的流动性（将 $p_a$ 替换为 $P$ 以获得顶半部分）：

然后，使用 $L$ 的值通过方程 (8) 计算 $y$ ：

答案是 $y$ = 5076.10 USDC。

3.2.2 示例 2：从给定资产金额计算范围

问题：用户有 x = 2 ETH 和 y = 4000 USDC，并希望使用每 ETH $p_b$ = 3000 USDC 作为流动性提供上界。为确保已开仓位使用其全部资金，做市范围的下界（ $p_a$ ）是多少？

解决方案：可以使用与上述示例 1 中相同的半范围技巧计算头寸的流动性，然后计算做市范围的下界。然而， $p_a$ 也可以通过方程 (15) 直接计算：

答案是 $p_a$ = 1333.33 USDC。较低的价格是当前价格的三分之二，而当前价格是较高价格的三分之二：这是因为 USDC 和 ETH 的初始值相等。

3.2.3 示例 3：价格变动后的资产

问题：使用示例 2 中创建的流动性头寸，当价格变为 $P$ = 2500USDC/ETH 时，资产余额是多少？

解决方案：首先计算头寸的流动性，使用之前计算出的 $p_a$ = 1333.33：

使用 64 位浮点数运算，结果分别为 $Lx$ = 487.41718030204123 和 $Ly$ = 487. 4144693682443。 $L$ 是这两者中的最小值： $L = min (Lx, Ly)$ ，在这种情况下对应于 $Lx$ 。

现在，设 $P'$ = 2500，我们可以使用方程 (4) 和 (8) 找到 $x'$ 和 $y'$ ：

答案是 $x$ = 0.85 ETH 和 $y$ = 6572.89 USDC。可以从这个结果计算出无常损失。

我们也可以使用白皮书提供的 delta 计算，即方程 6.14 和 6.16，来计算这个答案：

变动值为： $∆x$ = −1.15 ETH 和 $∆y$ = +2572.89 USDC。

3.3 包含刻度数学和价格转换的示例

刻度数学是解释 Uniswap v3 API 提供的值和 Uniswap v3 子图中索引的数据所必需的。首先，让我们简要回顾一下白皮书中的刻度数学。Uniswap v3 将所有可能价格的连续空间映射到由刻度索引的离散子集。刻度与价格之间的唯一关系由刻度基本参数定义，在 Uniswap 中等于 1.0001。第 i 个刻度对应的价格是：

这表明：

在使用价格的平方根进行计算时：

3.3.2 将价格转换为人类可读的形式

在内部，价格只是 $y$ 和 $x$ 之间的关系。然而，为了在用户界面中显示它，必须考虑资产 $X$ 和 $Y$ 的小数位数。让我们分析一个 Uniswap v3 NFT 来证明这一点，以 ID 为 600006 的 NFT 为例。如图 1 所示，这个 NFT 的「Min Tick」为 200240， “Max Tick”等于200700。将这些刻度数转换为价格，我们得到以下价格范围：

问题在于 USDC（第一个资产 $X$ ）只有小数位数 decimalsx = 6，而 wrapped ETH（第二个资产 $Y$ ）有小数位数 decimals = 18。由于价格是 $y/x$ ，不带小数的价格等于：

在示例池中：

这些表示了以 ETH 为单位的 USDC 的价格。要以 USDC 为单位获取 ETH，需要反转价格：

请注意，最后一个范围是反转的，反转价格在顶部刻度处低于底部刻度处的反转价格。

3.3.3 当前刻度范围内资产的数量

为了了解价格范围内的资产数量，首先我们必须得到池的流动性。一个池变量跟踪特定的刻度范围内的流动性。Uniswap v2 只要不向池中添加或删除资产，池的流动性就保持不变，而与 v2 不同的是， Uniswap v3 中的池流动性可能会在价格跨越价格变动范围边界时发生变化。特别是在跨越具有非零流动性净值的刻度边界时会发生变化。

在本文中，该查询返回的 $L$ 为 22402462192838616433，刻度为 195574，对应价格为 3211.84 USDC/ETH。

池的价格变动间隔由其费率决定。对于 0.3% 的池，刻度间距等于 60。这意味着 只能初始化可被 60 整除的刻度。最接近具有此属性的返回值的刻度是：

因此，价格范围为：

使用方程 (11) 和 (12) 来计算可以从当前价格范围内的流动性中获取的 USDC 或 ETH 的最大值：

在调整各代币的小数后：

大约有 165 万 USDC 和 671 ETH 被锁定在当前的价格范围内。这意味着购买 165 万 USDC 的人将当前价格移动到当前价格范围的一端。相反，如果有人购买 671 ETH，那将把价格移动到范围的另一端。