理解环理论

环理论扩展自群论，形式化了更多关于环的代数结构。此外，本文还将探讨多项式环及其元素，即多项式。

多项式并不是在数学的单一分支中明确界定的，而是在多个分支的多个上下文中进行定义。然而，一种方法是将多项式定义为并非独立结构而是次要结构，作为多项式环的一个元素。这类似于向量通常被视为向量空间的一个元素，而不是一个独立的结构。

环

环

环是一个配备了两个二元运算的集合，通常称为加法和乘法，使得加法与该集合形成一个阿贝尔群，乘法与该集合形成一个单群，且乘法对加法具有分配性。

注意，虽然加法和乘法是最常见的，但为了抽象的目的，在latex模块中，我们定义加法为星运算符，乘法为钻石运算符。

阿贝尔群是一个配备了一个运算符的集合，其具有结合性和交换性，包含一个当应用于任何元素时不会改变该元素的单位元，并且对于每个元素，存在一个逆元素，使得该元素与其逆元素的运算返回单位元。

∀a,b,c∈S:(a⋆b)⋆c=a⋆(b⋆c)∀a,b∈S:a⋆b=b⋆a∀a∈S,∃e∈S:a⋆e=e⋆a=a∀a∈S,∃a−1∈S:a⋆a−1=a−1⋆a=e

单群是一个配备了一个运算符的集合，其具有结合性并包含一个单位元素。

∀a,b,c∈S:(a⋄b)⋄c=a⋄(b⋄c)∀a∈S,∃e∈S:a⋄e=e⋄a=a

最后，乘法（钻石）对加法（星）是可分配的。

∀a,b,c∈S:a⋄(b⋆c)=(a⋄b)⋆(a⋄c)

def associative(a, b, c, op):
    return op(a, op(b, c)) == op(op(a, b), c)

def is_identity(a, e, op):
    return op(a, e) == op(e, a) and op(a, e) == a

def is_inverse(a, a_inv, e, op):
    return op(a, a_inv) == op(a_inv, a) and op(a, a_inv) == e

def commutative(a, b, op):
    return op(a, b) == op(b, a)

def distributive(a, b, c, op_add, op_mul):
    return op_mul(a, op_add(b, c)) == op_add(op_mul(a, b), op_mul(a, c))

结合环

结合环是一个乘法也满足交换律的环。

∀a,b∈S:a⋄b=b⋄a

非零结合环是一个至少有一个元素不是零元素的结合环。也就是说如下。

S≠{0}

除环

除环又称为斜域，是指每个元素（不包括零）都可以有一个乘法逆元的环，并且乘法单位元素不为零。乘法逆元对应于除法，就像加法逆元对应于减法一样。

∀a∈S,∃a−1∈S:a⋄a−1=a−1⋄a=e

域

域就是一个简单的结合除环。也就是说，加法和乘法是结合的、交换的，具有单位元素，具有逆元素，并且乘法对加法是可分配的。表示一个域 F 的一种方法如下。

F=(S,+,∗,0,1)

最常见的域是实数，在加法和乘法的理解中如常见的那样。所有实数在加法和乘法下都是结合和交换的，加法单位为0，乘法单位为1，加法逆元通过加上相同数的正负形式返回零，乘法逆元通过乘以一个数 N 和 1/N 返回一。

域扩展

域扩展对应于形成一个域的集合的超集。也就是说，如果一个域的集合 A 是另一个域的集合 B 的子集，那么 A 是一个子域，B 是一个域扩展。

(A,⋆A,⋄A,0A,1A)(B,⋆B,⋄B,0B,1B)A⊆B

一个常见的域扩展是复数，它用虚数扩展了实数。

R⊂C

伽罗瓦域

伽罗瓦域又称有限域，是一个具有有限数量元素的域。伽罗瓦域通常是正整数集合对某个质数求模。伽罗瓦域是密码学的有价值工具，能够支持非对称加密、同态加密和 zk-SNARKS。

set_s = { 0, 1, 2, 3, 4 }

add = lambda x, y : x + y % 5
mul = lambda x, y : x * y % 5

二进制域

二进制域是一个伽罗瓦域，其中质数模为二。这使得位运算和有限域算术的硬件实现高效。有趣的是，加法（星）操作对应于异或（XOR）逻辑门，而乘法（钻石）操作对应于与（AND）逻辑门，如下所示：

B={0,1}F2=(B,⊕,∧,0,1)∀a,b,c∈B:(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)∀a∈B,∃e∈B:a⊕e=e⊕a=a∀a∈B,∃a−1∈B:a⊕a−1=a−1⊕a=e∀a,b,∈B:a⊕b=b⊕a∀a,b,c∈B:a∧(b∧c)=(a∧b)∧c∀a∈B,∃e∈B:a∧e=e∧a=a∀a∈B,∃a−1∈B:a∧a−1=a−1∧a=e∀a,b,∈B:a∧b=b∧a∀a,b,c∈B:a∧(b⊕c)=(a∧b)⊕(a∧c)

B = { 0, 1 }

logical_and = lambda x, y : x & y
logical_xor = lambda x, y : x ^ y

for a in B:
    for b in B:
        assert associative(a, b, a, logical_xor)
        assert commutative(a, b, logical_xor)
        assert is_identity(a, 0, logical_xor)
        assert is_inverse(a, a, 0, logical_xor)

        assert associative(a, b, a, logical_and)
        assert commutative(a, b, logical_and)
        assert is_identity(a, 1, logical_and)

        # 0从来没有乘法逆元
        if not a == 0:
            assert is_inverse(a, 1, 1, logical_and)

多项式环

多项式环，表示为 R[X]，是一个其元素为系数在 R 中的多项式的交换环，变量或称不确定量在 X 中，并且有一个将 X 映射到 R[X] 的函数。

f:X→R[X]

多项式

一个多项式 "p"，作为多项式环 R[X] 的一个元素，可以表示如下。

an∈R,x∈X:p∈R[X]=∑n=0nanxn

一种更熟悉和常用的表示方式如下。

(a0+a1x1+a2x2+…anxn)∈R[X]

单变量多项式在 X 中只有一个变量，而多变量多项式在 X 中有多个变量。

多项式的度是指多项式中最高的变量指数。

首项系数（leadco）是指具有最高度的系数。

常数项（const）是指变量被指数化到0次方时的项。

degree(3x2+x+4)=2leadco(3x2+x+4)=3const(3x2+x+4)=4

注意：每个函数的名称并不一定是标准的，出于直观考虑而任意选择。

多项式插值从 n+1 个点构造 n 度多项式。拉格朗日插值寻找一个插值给定点集的多项式。

线性多项式

线性多项式不需要指数化，可以表示如下。

a,b∈R,x∈X:a+bx

多项式代数

如前所述，多项式环形成了一个环。

多项式的加法是通过相加对应变量和指数的系数来进行的。

(a0x0+a1x1+⋯+anxn)=a∈R[X](b0x0+b1x1+⋯+bnxn)=b∈R[X]((a0+b0)x0+(a1+b1)x1+…(an+bn)xn)=c∈R[X]a+b=c

多项式的乘法是相互乘以每个多项式项来进行的。也可以通过相应变量和指数的系数相加进行简化。

(a0x0+a1x1+⋯+anxn)=a∈R[X](b0x0+b1x1+⋯+bnxn)=b∈R[X]((a0b0)(x0x0)+(a1b1)(x1x1)+⋯+(anbn)(xnxn)=c∈R[X]a+b=c

由多项式形成的环如下。

∀a,b,c∈R[X]:(a+b)+c=a+(b+c)∀a∈R[X],∃e∈R[X]:a+e=e+a=a∀a∈R[X],∃a−1∈R[X]:a+a−1=a−1+a=e∀a,b,∈R[X]:a+b=b+a∀a,b,c∈R[X]:a∗(b∗c)=(a∗b)∗c∀a∈R[X],∃e∈R[X]:a∗e=e∗a=a∀a∈R[X],∃a−1∈R[X]:a∗a−1=a−1∗a=e∀a,b,∈R[X]:a∗b=b∗a∀a,b,c∈R[X]:a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)

除了多项式的加法、减法和乘法，还有标量-多项式乘法，其中 R 中的标量可以与多项式中的所有系数相乘。

a,b∈R,x∈X:(a0x0+a1x1+⋯+anxn)×b=(ba0x0+ba1x1+⋯+banxn)

态射

环同态

环同态是两个环之间的一个函数，保持加法、乘法和乘法单位。

f:A→B

环同构

如果环同态是一个双射，也就是说如果函数定义域（输出）的元素与函数的赋值域（输入）的元素一一对应，那么存在一个同构，使得元素可以从 A 映射到 B，以及从 B 映射到 A。

f:A→Bg:A→Af∘g=h:A↔B

环自同态

环自同态是一个从环到其自身的环同态。

f:A→A

结论

环理论，正如所有抽象的废话一样，相当直接。然而，群论中定义的概念以及由此扩展的环理论，是抽象化及“黑盒”功能强大的工具，从椭圆曲线到 zkSNARKS。多项式环使得在多项式上进行算术运算，以创造简洁的证明，而伽罗瓦域为椭圆曲线及其阿贝尔群的基础，后者用于非对称加密。这应该是一个有用的资源，帮助我们在未来探讨更深层的数学概念。

下次再见。

• 原文链接： jtriley.substack.com/p/r...
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