为了在有限域中执行 FFT 算法（数论变换），需要存在 -th 个单位根，使得 是 2 的幂。
理想情况下，我们希望 2 的幂尽可能大，这样我们就可以乘更大的多项式。有几个常用的有限域（几乎都有一个朗朗上口的名字）。本文列出了一些较常见的有限域。
简单来说，域的 特征 是我们取模的素数，所以在有限域 中， 是特征。（如果我们考虑有限域扩张，这个定义会有些细微差别，但我们现在不想深入探讨。就我们的目的而言， 是一个素数，并且是有限域的特征）。
正如我们在有限循环群基本定理中看到的，如果子群的阶能整除群的阶，则存在子群。
因此，如果域适合 FFT，则存在某个 使得 且 是一个很大的 2 的幂。换句话说， 可被一个很大的 2 的幂整除。
这里的列表并不完整 —— 我们仅包括截至发布时相对知名的有限域。
适合 FFT 的域列表
Goldilocks 域
Goldilocks 域的特征为 ，并且有 -th 个单位根。
以下 Python 代码断言，该域中存在一个阶为 的乘法子群。
q = 2**64 - 2**32 + 1
k = 2**32
assert (q - 1) % k == 0
由于特征小于 64 位，因此元素可以存储在大多数现代硬件（通常为 64 位）上的单个字中。
但是，将两个 64 位数字相乘暂时需要 128 位，这需要额外的寄存器进行乘法运算。
这促使人们使用更小的仅使用 32 位的域。
Baby Bear 域
Baby Bear 域使用特征 。它具有 -th 个单位根。
q = 2**31 - 2**27 + 1
k = 2**27
assert (q - 1) % k == 0
“Baby Bear”这个名称模仿了Goldilocks 的童话，这个故事强调了 Baby Bear 的小尺寸与故事的主角（Goldilocks）相比。
由于该域适合 32 位，因此 64 位计算机可以在单个字中将两个元素相乘。
Teddy Bear 域
Teddy Bear 域使用特征 并且具有 -th 个单位根。
q = 2**32 - 2**30 + 1
k = 2**30
assert (q - 1) % k == 0
与 Baby Bear 域相比，它适合 32 位，但具有更大的、大八倍的乘法子群。
Teddy Bear 域是由 Ingonyama 在这篇论文中提出的。
Koala Bear 域
Koala Bear 域是另一个特征 适合 32 位且具有 -th 个单位根的域。
q = 2**31 - 2**24 + 1
k = 2**24
assert (q - 1) % k == 0
BN-128 域
BN-128 域因其对椭圆曲线配对的支持而被使用，但它也具有相对较大的乘法子群，其阶为 。
## curve_order = 21888242871839275222246405745257275088548364400416034343698204186575808495617
from py_ecc.bn128 import curve_order
k = 2**28
assert (curve_order - 1) % k == 0
STARK 域
Starknet 使用的 Cairo VM 具有特征 ，并且具有非常大的 -th 个单位根。
q = 2**251 + 17*2**192 + 1
k = 2**192
assert (q - 1) % k == 0
BLS12-381
BLS12-381 是另一个配对友好的椭圆曲线，其曲线阶数具有 -th 个单位根。
## curve_order = 52435875175126190479447740508185965837690552500527637822603658699938581184513
from py_ecc.bls12_381 import curve_order
k = 2**32
assert (curve_order - 1) % k == 0
库支持
Plonky3 库 具有 Goldilocks、Baby Bear 和 Koala Bear 的库。
