借贷协议如何计算利息

「宇宙间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利。」 ——爱因斯坦

因交易成本，在智能合约中无法执行大规模计算。那么借贷协议是如何高效的为每位借贷人计算利息的呢？总不能分别为一万个两万个甚至更多的借款人实时更新利息。下面七哥（公众号“七哥链道”）将同你讲解计息算法，通过本文学习你可掌握计息算法原理，并掌握Compound借贷协议的计息逻辑。

什么是复利

通俗讲，复利就是常说的利滚利。 比如在一段时间内以 10% 的月利率借高利贷 100 元，每月结束依次会产生 10 元、10 元、10 元的单利，但会产生 10 元、11 、 12.1、13.31... 的复利。

计算复利是定期将累积的利息与现有本金合计，然后计算新本金的利息。新的本金等于初始本金加上累积的利息。复利经常按每年、每半年、每季度、每月等定期计算。

设初始本金 $P$，年利率 $R$，时长 $T$（单位:年），每年复利次数 $N$，则到期复利金额 $A 计算公式如下：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} A = P (1+ \frac{R}{N})^{NT} \end{aligned} \end{equation} $$

$A$ 是初始本金与累计利息之和。如果每年复利一次，公式可简化为： $$ \begin{equation} \begin{aligned} A = P (1+ R)^{T} \end{aligned} \end{equation} $$

如下图，同样借 100 元，年利率 4.75% ，不同计息方式随着时间推移复利增长得越来约快。复利让利息累积到本金中，使利息随着时间的推移增长得更快，呈指数级增长！还记得国际象棋的棋盘上放米粒的故事吗？背后都是等比数列所展示的威力。

浮动利率怎么办？

在区块链借贷协议中，大部分采用复利方式计算利息，但并非固定利率，而是浮动利率。即每次复利计息时所使用的利率是根据市场借贷供关系决定的。因此，我们并不能使用固定利率公式计算复利，只能根据利率滚动计算，公式如下： $$ \begin{equation} \begin{aligned} A_{t+1}= At(1+R{t+1}) \end{aligned} \end{equation} $$

• $A_{t+1}$ 表示在 $t+1$ 时的复利额。
• $A_t$ 表示 $t$ 时的复利额，是 $ t+1 $ 复利计息时的新本金。
• $R_{t+1}$ 是在 $t+1$ 时刻计算出的利率，表示从 $t$ 到 $t +1$ 时间段内的区间利率。

我们很容易推导出： $$ \begin{equation} \begin{aligned} A_{t+1}&= A_1 (1+R_2)(1+R_3)(1+R_4)(1+R5)...(1+R{t+1}) \ &=P(1+R_1)(1+R_2)(1+R_3)(1+R_4)(1+R5)...(1+R{t+1}) \end{aligned} \end{equation} $$

借一段时间的利息是多少？

现在，我们已经掌握复利计算公式，可问题是不是所有人都是从 0 时刻开始借款，而是在一个不确定的时刻借走的，复利计算时需要知道一段时间的利率是多少。假如七哥在 $t_i$ 时刻借走500万U，在 t_n 时刻还款时连本带息应还多少呢？

根据公式4可以推导出应还本息公式：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} A&= P(1+Ri)(1+R{i+2})...(1+R{n-1})(1+R{n}) \ &=P \frac{ (1+R_1)(1+R_2)(1+R_3)(1+R_4)(1+R5)...(1+R{t+1}) }{ (1+R_1)(1+R2)... (1+R{i-1})(1+R_i) } \end{aligned} \end{equation} $$ 如果把 $ (1+R_1)(1+R_2)...(1+Rt)(1+R{t+1})$ 称之为 $t+1$ 时的累积利率 $\mathcal{R}{t+1}$，则有： $$ \begin{equation} \begin{aligned} A = P \frac{\mathcal{R}{t+1}}{\mathcal{R}_{i}} \end{aligned} \end{equation} $$ 因此，计算本息时只需要知道借款和还款时的累积利率，便可计算出本息额。减去借款本金，剩余部分为借款应付利息。

Compound协议计息方式

有了理论支撑，我们一起看看 Compound 借贷协议是如何计息的。当有人存款、借款、还款、提现、清算时都会先执行一次计息。这相当于不定时的复利，复利频次由市场活跃度决定。如下图，不管张三存款还是李四借款，都会触发计息。

每笔借贷触发计息，在计息时只需要存储当前的累积利率，累积利率在Compound中被称之为 BorrowIndex。Compound计息方法在合约中比较冗余，下方是简化版代码：

function accrueInterest(){

  var currentBlockNumber = getBlockNumber(); //获取当前区块高度
  //如果上次计息时也在相同区块，则不重复计息。
  if (accrualBlockNumber == currentBlockNumber) {
      return NO_ERROR;
  }

  var cashPrior = getCashPrior();  //获取当前借贷池剩余现金流
  //根据现金流、总借款totalBorrows、总储备金totalReserves 从利率模型中获取区块利率
  var borrowRateOneBlock = interestRateModel.getBorrowRate(cashPrior, totalBorrows, totalReserves);  
    // 计算从上次计息到当前时刻的区间利率
  var borrowRate=borrowRateOneBlock*(currentBlockNumber - accrualBlockNumber);
    // 更新总借款，总借款=总借款+利息=总借款+总借款*利率=总借款*（1+利率）
  totalBorrows = totalBorrows*(1+borrowRate);
  // 更新总储备金
  totalReserves =totalReserves+ borrowRate*totalBorrows*reserveFactor;
  // 更新累积利率：  最新borrowIndex= 上一个borrowIndex*（1+borrowRate）
  borrowIndex = borrowIndex*(1+borrowRate);
  // 更新计息时间
  accrualBlockNumber=currentBlockNumber;
  return NO_ERROR;
}

为方便理解代码，请阅读注释部分。最核心部分是 borrowIndex 累积利率的更新计算，在合约中始终记录着最新累积利率。当用户借款时，将存储用户借款金额和此刻的累积利率。如下图演示的是借贷时的计息过程。

当张三第一次借出1000 U 时，先更新累积利率从1%更新到 1.02%，然后在账簿上记录张三借款本金1000和此时刻的累积利率 1.02%。一个小时后，张三还入200U。假设这一小时没有其他借贷发生，这一小时的借款利率是2.15%，累积利率更新成 1.04193%。根据当前的累积利率计算出张三的借款本息为 1021.5 U 。最后，除去200U还款，更新账簿上张三新的借款本金为 821.5 U，并同步更新累积利率。

Compound就是通过这种简单方式维护着借款账簿，只需维护好累积利率，便可实时的追踪每位借款人的本息。

思考

1. 你会将资产存入高流动性还是低流动性的借贷协议中？
2. 你有办法提高自己在借贷协议中的收益吗？