本文通过可视化方法，利用单位圆解释了 n 次单位根的性质，特别是当两个单位根的指数相差 n/2 时，它们互为加法逆元。文章通过图示和动画生动地展示了单位根的乘法和加法运算在单位圆上的几何意义，并解释了如何在单位圆上可视化同余关系。

本文介绍了在指数形式下求平方根的方法，特别是在单位根上的应用。文章解释了只有偶数次幂的单位根才能开平方，并展示了如何通过开平方操作将k次单位根转化为2k次单位根，同时提供了相关的示例和练习题。

当对偶数阶的单位根集合中的每个元素进行平方时，得到的新集合大小是原来的一半。文章通过举例和证明，详细解释了这一现象，并说明了为什么k必须是偶数，同时证明了平方一个k次单位根会产生一个 k/2 次单位根。

本文介绍了图像保持定理，它是数论变换（NTT）的核心概念。该定理指出，对于多值函数，在特定条件下的图像与原始函数在不同定义域上的图像相同。通过重复取平方根来计算单位根，并展示了如何利用该定理来优化多项式求值，为后续章节中利用平方根扩展评估多值函数奠定基础。

本文探讨了有限域中本原单位根的关键性质，即当k为偶数时，ω的k/2次方与-1同余。通过数学证明和Python代码示例，验证并解释了这一性质，并展示了如何在具体例子中使用该性质寻找加法逆元。

本文讨论了将k次单位根 ω 提高到 k/2 次方的问题，结果只能是1或-1。文章给出了证明，当指数为偶数时，结果为1；当指数为奇数时，结果为-1。这种性质可以用于优化多项式在单位根上的求值计算，通过因式分解尽可能多地提取出 x^(k/2) 项，从而简化计算。

本文介绍了Vandermonde矩阵的概念及其在多项式求值中的应用。Vandermonde矩阵可以将多项式的系数表示转换为其在一组点上的值表示，通过矩阵乘法实现多项式在多个点上的高效求值。文章以四次单位根为例，展示了如何简化Vandermonde矩阵的计算。

本文介绍了数论变换（NTT）算法，该算法用于将有限域中的多项式从系数形式转换为点值形式。文章通过使用平方根展开，并结合像保留定理，优化了在单位根上评估多项式的过程，并给出了在四次和八次单位根上评估多项式的示例，展示了NTT算法的计算过程和优化方法。

本文介绍了使用平方根展开方法在单位根上评估多值函数。通过将函数转换为多值函数并在域上进行评估，避免了直接在单位根上进行评估的复杂性。文章详细展示了如何通过嵌套平方根来展开和简化计算，并探讨了不同类型的项（如 和 ）的计算复杂性，以及如何优化多项式以减少计算量，最终引出快速数论变换（NTT）算法。

本文介绍了有限域中的单位根的概念以及它们与乘法子群的关系。文章证明了在有限域中，当 k 能整除 p-1 时，k 次单位根的集合与 k 阶乘法子群相同。同时，文章还解释了如何找到本原单位根，并提供了一些例子来展示如何使用基本定理来寻找给定 k 的所有 k 次单位根。