算术化

本文是“STARKs中的算术化”系列的第二部分，详细探讨了预处理AIR（PAIR）的概念，该方法通过将多个不相交的约束合并为一个更大的约束来提高计算完整性。文章介绍了执行跟踪的定义，结合示例说明了如何使用选择器列进行约束的组合，并分析了该方法对后续低阶邻近测试的影响及其复杂性。适合有一定基础的读者，持续深入该领域的理解。

本文介绍了Circom中Rank 1约束系统的规则，即每个约束最多只能有一个信号间的乘法，超过则会报错。文章通过正反例解释了这一规则，并说明了常量乘法、加法、减法是被允许的。此外，还解释了Circom如何处理除法，以及为何数组索引、模运算、左移等操作不被允许。最后总结了约束系统的限制，并提及了绕过这些限制的设计模式。

本文深入探讨了PLONK（Permutations over Lagrange-bases for Oecumenical Noninteractive arguments of Knowledge）的工作原理和协议基础，PLONK 是一种常用的零知识简洁非交互式知识论证（ZK-SNARK）。

本文深入对比了PLONK和Halo两种零知识证明系统，详细阐述了它们的相似之处和关键差异，特别是在可信设置、配对使用以及证明递归等方面。

本文是Circle STARK系列文章的第四部分，旨在将前三部分介绍的Mersenne素数域、Circle曲线、域定义、Circle FFT算法及维度间隙等概念整合，构建一个完整的Circle STARK协议。

本文深入解析了ZK虚拟机的原理与实现。前半部分构建概念基础：零知识证明、算术电路、将计算转化为代数方程，以及从证明特定计算转向证明虚拟机执行。后半部分用Rust实现了一个基于STARK的最小ZKVM，包含6条指令、4个寄存器，逐步展示了执行、轨迹生成、代数约束（AIR）、证明生成与验证的完整流程。文章最后讨论了真实ZKVM缺失的特性（内存、零知识、边界约束等），并提供了丰富的学习资源和生产级ZKVM列表。

本文介绍了Succinct提出的Jagged Polynomial Commitments技术，该技术通过对表进行稀疏表示，减少了padding开销，并开发了针对稀疏/Jagged多项式的PCS方案，从而实现了更高效的以太坊区块证明。该技术结合M3算术化，可以显著降低证明时间和成本，并有可能扩展以太坊和L2区块，从而支持更多用户和用例。

本文深入探讨了Binius的M3算术化框架，以Merkle树包含性证明为例。重点介绍了表和通道作为M3中的基本抽象，取代了传统顺序执行轨迹的概念，转而使用声明式、数据驱动模型。计算被分解为模块化表，并通过通道平衡来维护全局一致性。文章还分析了 MerkleTreeCS 工具，协调多个表和通道来验证 Merkle 路径的正确性。

本文深入探讨了零知识虚拟机（zkVM）的设计权衡，涵盖指令集架构（ISA）、支持的编程语言、算术化策略、证明系统以及模块化与单体架构的选择。文章还介绍了Valida zkVM的设计原则及其背后的逻辑，包括定制ISA、广泛的编程语言支持、高级约束系统和多项式承诺方案，以及对模块化和最优字段的强调，旨在优化zk-proof生成性能和效率。

本文是关于Circle STARKs系列的第四部分，主要介绍了如何将前三部分构建的组件组合成完整的Circle STARK。

本文介绍了零知识证明（ZKP）中将计算转换为多项式的过程，即算术化。文章详细讲解了三种主要的算术化方案：R1CS、AIR 和 Plonkish，以及它们在电路计算和机器计算中的应用。此外，文章还提到了为优化算术化过程而提出的多种技术，如查找表、SNARK 友好的密码学原语、并发证明生成和硬件加速。

本文深入探讨了ZK-STARKs中约束的执行以及如何处理周期性应用的约束。文章解释了如何将计算的执行轨迹转换为多项式，并利用单位根的性质来简洁地表达和验证约束，尤其是在约束条件周期性重复出现的情况下，从而优化性能并简化理解。

本文介绍了 LambdaWorks 库的开发目标，该库旨在提供易于使用的零知识证明工具，并重点介绍了 STARKs 证明系统的原理和实现步骤，包括算术化、多项式方程转换和 FRI 协议，并通过一个玩具示例展示了 FRI 协议的运行过程，最后总结了 STARKs 的核心思想。

本文介绍了零知识证明中的查找论证（Lookup Arguments）技术，特别是Plookup方案，用于优化算术化过程中开销大的操作，如范围检查和位运算。文章详细解释了Plookup的工作原理，以及如何将其整合到Plonk协议中，并通过与置换论证的类比，深入浅出地阐述了其背后的数学原理和实现步骤，最后总结了查找论证在Plonk协议中的应用，并展望了未来的发展方向。

这篇文章深入探讨了STARKs中的算术化方法以及其与计算完整性之间的关系，主要聚焦于AIR及其变体PAIR。文章详细分析了在STARKs中的算术中介表示、执行轨迹的定义和构建、以及多元多项式的约束形式。作者提供了丰富的数学背景支持，并通过示例和公式说明了算术化过程的具体实施方案，是一篇技术深度和结构清晰的文章。