Uniswap V2 如何计算 mintFee

Uniswap V2 旨在将 1/6 的交换手续费收归协议。由于交换手续费为 0.3%，因此 1/6 的手续费为 0.05%。所以每笔交易的 0.05% 将会归协议所有。

尽管这个功能实际上并没有被激活，但我们还是讨论这个功能，毕竟一些分叉可能会使用它。此外，这个计算很容易出错，现在花时间理解它将有助于你在类似计算中捕捉错误。

先决条件

你需要熟悉 Uniswap V2 Book 中的所有前面的章节，才能跟上后面的内容。

在交易过程中收集协议手续费效率低下

在每笔交易中收取 0.05% 的手续费效率低下，因为这需要额外的代币转移。转移 ERC20 代币需要更新存储，因此将代币转移到两个地址而不是一个会产生更高的成本。

因此，当流动性提供者调用 burn 或 mint 时收取手续费。由于这些操作相对于 [交换代币](swapping tokens) 来说是不频繁的，这将节省 gas 费用。为了收取 mintFee，合约计算自上次发生以来收集的手续费，并铸造足够的 LP 代币到受益地址，使受益人有权获得 1/6 的手续费。

费用和 mintFee 的术语

为避免术语混淆，我们将“费用”称为在交换过程中从交易者那里收取的 0.3%，而“mintFee”则是 0.3% 费用的 1/6。是的，这两者都使用费用这个词并不是很好，但这就是我们必须处理的内容。

流动性是池中代币余额乘积的平方根。这个公式的理由在 Uniswap V2 交换函数文章中有所讨论。一些文献将其称为 $\sqrt{k}$，其中 $k = xy$，$x$ 和 $y$ 是池中的代币余额（$x$ 和 $y$ 的储备）。我们用 $\ell$ 来表示流动性，因为它写起来比 $\sqrt{k}$ 短。

计算 mintFee 的假设

为了使这个有效，Uniswap V2 依赖以下两个不变性：

• 如果没有调用 mint() 和 burn()，池的流动性只能增加。
• 流动性的增加仅仅是由于手续费（或捐赠）。通过测量自上次 mint() 或 burn() 交易以来流动性增加的情况，池知道收集了多少手续费。

这些将是写好的 不变性测试，但目前我们将理所当然地认为它们是真实的。

mintFee 示例计算

假设在 $t_1$ 时池中有 10 个 token0 和 10 个 token1。

经过大量交易和手续费收集后，$t_2$ 时新的池余额为 40 个 token0 和 40 个 token1。

流动性被测量为两个代币的乘积的平方根，即 $\ell = \sqrt{k}$。在 $t_1$ 时流动性为 10，在 $t_2$ 时流动性为 40。反过来说，$\ell_1 = 10$ 和 $\ell_2 = 40$。我们将对从 10 增长到 40 的部分收取手续费。

在 $t_2$ 时，总共 40 的流动性中有 30 单位是由于交换手续费。

我们想要铸造足够的 LP 代币，即“mintFee”，使得受益人可以获得池中“费用部分”的 1/6。也就是说，他们应该有权获得 5 单位的流动性 (30 / 6)，这是来自利润的。

协议不应收取任何“原始流动性”的费用，即 $\ell_1$。协议应仅收取增量的费用，即 $\ell_2 - \ell_1$。

当调用 mint() 或 burn() 时，Uniswap 为协议费用接收方铸造 LP 代币。这会导致稀释，使得 当前供应 的 LP 代币可以赎回原始流动性加上 5/6 的“利润流动性”（来自交换手续费的流动性）。

推导 mint fee 公式

让我们使用以下符号：

• $s$ 为稀释前的 LP 代币供应量。

• $\eta$ 为将铸造到协议的 LP 代币数量。它应足以进行 1/6 的利润流动性的赎回。

• $\ell_1$ 为原始存款的流动性，即 LP 提供的流动性。

• $\ell_2$ 为原始存款的流动性以及由于交换手续费而得到的流动性。

• $d$ 为除去协议手续费后应支付给 LP 的流动性金额。也就是说，LP 应获得其原始存款和 5/6 的利润。

• $p$ 为协议应获得的流动性金额。这是 5/6 的 $\ell_2 - \ell_1$。

要计算 $\eta$，我们观察到以下不变性必须为真：

$$ \frac{\eta}{p}=\frac{s}{d} $$

换句话说，前总供应量 $s$ 的 LP 代币可以赎回应给 LP 的流动性，而 $\eta$ 的 LP 代币可以赎回应给协议的金额。

下图解决了关于流动性变化时 $\eta$ 的推导问题。

Uniswap V2 的 _mintFee() 代码

考虑到这个推导，Uniswap V2 的大部分 _mintFee 函数应该是不言自明的。以下是一些符号的变更：

• 收费后的当前流动性 $\ell_2$ 为 rootK
• 先前流动性 $\ell_1$ 为 kLast
• 稀释前的 LP 代币供应量 $s$ 为 totalSupply
• 该函数是状态改变的，它在函数内部铸造 mintFee，而不是返回 mintFee 的计算（蓝色高亮）
• 费用可以通过 feeOn 标志开关，该标志我们尚未讨论

我们将进一步深入讨论此功能，但首先我们想指出 kLast 是在哪里更新的。

kLast 更新的位置

在上面的代码中，kLast 只有在 feeOn 设为 false 时才会设置。它在 mint 和 burn 完成时设置，但不是在 swap 时设置，因为我们希望测量由于交换而引起的流动性增长，涉及存款和取款事件。从标记的黄色框中可以看到设置 kLast 的位置。

Mint 函数更新 kLast

Burn 函数更新 kLast

_mintFee 代码条件

现在我们理解了 kLast 如何更新，我们可以充分解释 _mintFee 函数。

让我们考虑上面代码片段中的可能性，重复以方便理解。

1. feeOn 为 false，什么都不会铸造（绿色高亮）
2. feeOn 为 false，kLast 为零（黄色高亮）
3. feeOn 为 false，kLast 不是零（黄色高亮）
4. feeOn 为 true，但流动性没有增长（橙色高亮）
5. feeOn 为 true，并且流动性有所增长（橙色高亮），因此适用铸造费用（蓝色高亮）

在决策树中更容易看到逻辑，因此这就是与 if 语句的分支颜色相同的决策树。

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原始发布于 2023 年 11 月 14 日

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