椭圆曲线

本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519，Curve25519得到广泛使用，其自身的长处简单说明，没有展开

文章详细介绍了如何使用多项式承诺方案在零知识证明中验证多项式乘法的正确性，包括算法步骤和优化方法，并附有代码实现。

Ed25519使用了扭曲爱德华曲线，签名过程和之前介绍过的Schnorr,secp256k1, sm2都不一样，最大的区别在于没有使用随机数，这样产生的签名结果是确定性的，即每次对同一消息签名结果相同。

本文介绍了在椭圆曲线背景下的配对技术，强调其在零知识证明协议和BLS签名中的应用。文中详细阐述了一维函数、阿贝尔群和计算难题，并通过具体示例深入探讨了配对的定义及相关性质。强调了对于椭圆曲线配对的计算需求及安全性考虑，同时对Weil和Tate配对进行了说明，最后指出将在后续文章中探讨具体的加密应用。

Besu Ethereum 客户端在处理椭圆曲线 alt_bn128 的 EIP-196/EIP-197 预编译合约时存在共识问题，版本 25.2.2 受此影响。攻击者可以构造一个点，该点位于正确的子群中但实际上并不在曲线上，从而绕过验证。该问题已在版本 25.3.0 中得到修复。

这篇文章全面介绍了椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）的基本概念及其在以太坊中的应用，讲解了公钥加密、数字签名的生成与验证过程，以及ECDSA的安全性基础。了解这些内容对于理解区块链技术中的身份验证和签名至关重要。

本文详细介绍了Schnorr签名和Musig的实现原理。首先讲解了与椭圆曲线相关的基础知识，然后深入探讨了Schnorr签名的签名和验证过程，以及为什么需要随机数nonce。接着介绍了Musig的聚合公钥和签名的实现，包括如何通过多轮通信防止关键取消攻击，确保多个参与者的安全和隐私。

本节扩展了一般椭圆曲线上密码协商的原理，原理更简单易于理解，接着讨论了大素数判定的方法，这是在密码学实现中普遍使用的方法，给出了简单的论证，并不详细

本文介绍了Ingonyama团队在2023年ZPrize竞赛中获得第一名的基于FPGA的MSM加速方案。该方案首次在加速器平台上实现了批量仿射椭圆曲线加法，显著降低了MSM的计算负担。该设计在AMD Alveo U250 FPGA上实现了高性能，支持BLS12-381和BLS12-377曲线，并在未来异构计算中具有广阔的应用前景。

本文将介绍一种新的椭圆曲线实例-- Baby Jubjub Elliptic Curve。

深入解析椭圆曲线

有限域上的椭圆曲线是零知识证明的基础。零知识的实现是基于离散对数问题。从计算的角度来看，F_p是个有限域，在之基础上建立的椭圆曲线点的运算都是在这个域范围内。有限域上的椭圆曲线上有很多循环子群F_r，具有加法同态的特性。离散对数问题指的是，在循环子群上已知两点，却很难知道两点的标量。

本文解释了数学难题 a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 4 的求解过程。该问题与椭圆曲线有关，通过将问题维度降低，利用已知的两个解，构建出一个寻找第三个解的算法，并通过不断迭代和坐标翻转，最终找到了一个正整数解。文中提供了Python代码来寻找更多解并验证。

本文介绍了用于多标量乘法（MSM）的Pippenger算法。该算法首先将标量分割成多个窗口，然后针对每个窗口，通过桶排序的方法计算点的和，最后将各个窗口的结果进行累加以得到最终结果。文章还提供了一个参考链接，可以了解更多关于多标量乘法策略和挑战的信息。